PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

(Los vectores los escribimos en negrita)

Se considera una base ortonormal del espacio vectorial V3; B= {e1, e2, e3}.

Llamamos producto vectorial de los vectores x e y al vector xÙy obtenido de la forma siguiente:

Siendo x = (x1,x2,x3) e y = (y1,y2,y3) respecto de la base B

Por tanto las coordenadas de xÙy  serán respecto de esa base:

PROPIEDADES

  1. Dirección: El vector xÙy es perpendicular a x e y. En efecto:

El producto escalar de xÙy por x es cero, y el de  xÙy por  y también es cero. Veámoslo:

Análogamente se haría el producto escalar de los vectores xÙy  e y

  1. Módulo: El módulo del vector es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman

El módulo del vector representa gráficamente el área del paralelogramo OACB 
que tiene por lados x e y

Área del paralelogramo OABC = base x altura =

  1.   Sentido: El sentido de xÙy debe ser tal que si OA, OB y OC son representantes de x de y y de xÙy, respectivamente, y se considera un tornillo colocado perpendicularmente al plano OAB en O, y describiendo el menor ángulo OA, OB, entonces el avance del tornillo será el sentido de OC.

En esta escena hemos representado el producto vectorial de los vectores X e Y con el símbolo x.

Si mueves con el ratón el extremo de los vectores X e Y verás en cada momento el vector X x Y, y en la parte superior de la escena el valor del módulo de X x Y, que se simboliza como |X x Y|

 

En esta escena puedes ver con más claridad cuál debe ser el sentido del vector producto vectorial de otros dos.

Si ponemos un tornillo en el punto O, perpendicularmente al plano OAB, y lo giramos de OA hacia OB por el ángulo más pequeño, el sentido de avance del tornillo es el del vector OAxOB=OC