VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

El volumen de una pirámide triangular es 1/3 del área de la base por la altura

Demostración:

El prisma triangular que aparece en esta figura, se puede descomponer en tres pirámides triangulares, P1 (VABC), P2 (VEBC) y P3 (VEFC), que vamos a demostrar que tienen el mismo volumen, o sea que son equivalentes.
Si pulsas con el ratón en la flecha azul del control P1, éste tomará el valor 1 y verás la primera pirámide.
Pon P1 a valor cero y pulsa P2, verás la segunda pirámide.
Y lo mismo con P3.
También puedes arrastrar con el ratón los vértices del prisma que tienen el punto más grueso, o sea los puntos V, B y C, para obtener otras posiciones del prisma.

Las pirámides P1 y P2 son equivalentes porque tienen las bases equivalentes y tienen la misma altura (bases, VAB y VEB (los dos triángulos que se forman al trazar la diagonal del paralelogramo VABE), altura= distancia de C a la cara VABE del prisma)

Y las pirámides P2 y P3 son equivalentes porque tienen las bases equivalentes y tienen la misma altura (bases, BEC y FEC (los dos triángulos que se forman al trazar la diagonal del paralelogramo EBCF), altura= distancia de V a la cara EBCF del prisma)

Por tanto si las tres pirámides tienen el mismo volumen:

Volumen del Prisma = 3 * Volumen de una de las Pirámides

Área ABC * altura Prisma = 3 * Volumen Pirámide

Volumen Pirámide P1 (VABC) = 1/3 * Área ABC * altura Pirámide

(altura Prisma = altura Pirámide)


Corolario:

El volumen de una pirámide cualquiera es 1/3 del área de la base por la altura
Tenemos una pirámide de vértice V y base un polígono cualquiera.

Trazando las diagonales desde un vértice del polígono de la base de la pirámide, dicho polígono se descompone en triángulos T1, T2, T3.

Pulsa las flechas azules de los parámetros T1, T2 y T3 de esta escena para ver los triángulos en que se descompone la base de la pirámide.

Cada uno de estos triángulos es la base de una pirámide con el mismo vértice V, pero triangular.

Si el volumen de cada una de las pirámides triangulares es 1/3 del área de su base triangular por la altura de la pirámide, el volumen total de la pirámide inicial será la suma de los volúmenes de cada pirámide triangular. Y como todas tienen la misma altura (distancia de V al polígono de la base) sería:

V = 1/3*área T1*h + 1/3*área T2*h + 1/3*área T3*h=

=1/3*(áreaT1+áreaT2+áreaT3)*h = 1/3*área base pirámide total*h


VOLUMEN DEL CONO

Dos pirámides de la misma altura y cuyas bases son polígonos equivalentes (de igual área), son equivalentes, o sea tienen el mismo volumen.

Este teorema se puede extender a una pirámide y un cono. Esto es, una pirámide y un cono cuyas bases, polígono y círculo, son equivalentes (tienen igual área), son equivalentes, o sea tienen el mismo volumen.

Lo mismo se podría decir de un cilindro y un prisma. Por tanto la misma relación que hay entre el volumen de un prisma y el de una pirámide hay entre un cilindro y un cono.

Volumen de un cono = 1/3 * área base * altura