Pocos de los encuestados acertarían con la respuesta correcta: un balón.

Como casi siempre lo obvio nos pasa desapercibido, pero sin esa pequeña esfera, foco de
nuestras miradas y desvelos, este deporte, como tantos otros, no existiría.

Pero, a pesar de ser el objeto sobre el que gravita toda nuestra actividad en la cancha, no
le prestamos la atención que se merece. Vamos a mirarlo hoy detenidamente, pero desde
una óptica un tanto extraña: vamos a mirar el balón con...¡ojos matemáticos!. Si, no te
sorprendas, en ese balón que ha pasado tantas veces por tus manos, que tantas alegrías,
y alguna que otra tristeza, te ha proporcionado, hay más sorpresas matemáticas de las que
te puedes imaginar.

Cuando está bien inflado, parece una esfera perfecta, el cuerpo ideal de los filósofos griegos,
la creación de los dioses. Pero, ¿realmente es una esfera perfecta?.

 

Pero volvamos a sus caras. Te has parado alguna vez a contar cuantos pentágonos y
cuántos hexágonos tiene. Seguro que no. Y no es una tarea tan simple.

Antes de seguir leyendo, coge uno en tus manos y ánimo: cuéntalos... ¡Tiempo!. ¿Ya lo
tienes?. ¿No te habrás equivocado?... Bueno, los pentágonos no ofrecen demasiada
dificultad, efectivamente son los que habías dicho...12.

Vamos por los hexágonos..., esto se empieza a complicar. Si te faltan dedos para contar,
recurre a la mirada matemática y piensa... Cada pentágono está rodeado por cincos
hexágonos, luego debería haber doce por cinco... sesenta hexágonos. Pero cada uno de ellos
está unido a tres pentágonos diferentes... ¡Ya está! Sesenta dividido entre tres, en total veinte
hexágonos. En total 32 caras. ¡No ha sido tan complicado!

Ya puestos a contar, ¿cuántas costuras, o aristas como prefieras, tendrá? Te aconsejo que
no intentes contarlas a lo salvaje. Ponte otra vez las gafas matemáticas...

Si hay 20 hexágonos y cada uno tiene 6 aristas...120 aristas, más 12 pentágonos por cinco
aristas cada uno...60. En total 180 aristas. Pero cuidado, cada arista está compartida por dos
polígonos, así que la hemos contado dos veces. Luego hay... ¡bingo!...90 costuras. ¿Quién
lo diría?

Ya nos ha picado la curiosidad. ¿Cuántos vértices, ya sabes... dónde se juntan las aristas,
tendrá?

Siempre puedes coger un rotulador y empezar a poner un número en cada vértice, pero
seguro que la mente cuenta mejor. Veamos..., cada arista tiene dos vértices, así que hay 90
x 2, 180 vértices. Demasiados. ¡Ah, claro! Cada uno lo he contado varias veces. ¡Calma!...
Si en cada vértice confluyen tres aristas, cada uno lo he contado tres veces, asi que hay, ...
eso es, 180 dividido entre 3, 60 vértices.

Decididamente, no es para pararse a contarlos en mitad de un partido.

Por cierto, hablando de caras, aristas y vértices. Seguro que ahora te acuerdas de que había
una fórmula que relacionaba su número. Si, eso de que caras + vértices = aristas + 2.
¿Será verdad, con nuestro balón?. Pues claro, acaso lo dudabas: 32 + 60 = 90 + 2.

Esta relación la demostró un matemático suizo, Leonard Euler, uno de los matemáticos más
prolíficos de todos los tiempos. Prolífico en todos los sentidos, no sólo publico más de 500
libros y artículos, a pesar de quedarse tuerto a los 28 años y ciego 17 años antes de morir,
además le dió tiempo a tener trece hijos, lo que con toda seguridad constituye un record en
el mundo de las matemáticas.

Pero volvamos a nuestro balón, bueno, a nuestro icosaedro truncado.

Aunque a primera vista no lo parezca, este poliedro se obtiene al cortar los 12 vértices de un
icosaedro - uno de los cinco poliedros regulares descubiertos ya por Platón hace más de
2.500 años, formado por 20 triángulos iguales -, de ahí su nombre. Los 12 pentágonos
corresponden a los 12 cortes en los vértices del icosaedro y los 20 hexágonos son los restos
de las caras del icosaedro.

¿Por qué se utiliza este poliedro para construir los balones?, ¿es el que más se aproxima a
una esfera?

Su volumen es sólo el 86,74 % de la esfera correspondiente, que no es una mala
aproximación. Al curvar sus caras cuando se infla este porcentaje aumenta ligeramente y
sobrepasa el 95 %.

El "rombico" está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos... 62 caras en
total; casi el doble que nuestro sencillo icosaedro truncado. Tiene "sólo" 120 aristas y, según
Euler, 60 vértices. Sospechamos por qué ninguna casa deportiva se ha lanzado a la aventura
de comercializar un balón basado en este poliedro...tantas caras saldrían demasiado "caras".

Se pueden conseguir balones basándose en poliedros que se aproximan aún más a la esfera.
Para ello hay que utilizar polígonos no regulares, es decir, con lados de distinta longitud. De
hecho, algunos balones de fútbol se han construido de esta forma aunque también resultan
más caros de fabricar.

Si quieres ver como serían basta que te fijes en algunas de las bóvedas que se utilizan para
cubrir los radiotelescopios, esas cúpulas que hay en algunos observatorios astronómicos.
Parecen semiesferas perfectas, sin embargo, aunque un poco exóticos, son poliedros.

En fin, a partir de ahora, cuando hagas una vaselina y veas volar el balón hacia la portería
piensa que el viejo Platón, que identificaba al icosaedro con el agua, y el ciego Euler, que se
entretuvo en contar tantas caras y vértices de tantos poliedros han hecho posible, en parte,
que ese tanto suba al marcador.

Y si te parece ver entre el público a dos tipos raros, fantasmagóricos, vestidos con túnicas
griegas aplaudiendo a rabiar tu vaselina, no te extrañes. Son Menecmo y Apolonio, los padres
de esas curvas tan populares llamadas cónicas. Te aplauden, por que sin pretenderlo has
dibujado en el aire una de las cónicas que les hicieron inmortales: una parábola.

Pero esa es otra historia...