Historia de las Matemáticas: un recurso didáctico

 

Antonio Pérez Sanz

http://platea.pntic.mec.es/aperez4

aperez@rsme.es

 

 

El objetivo del educador es hacer que el espíritu del alumno pase de nuevo por donde sus predecesores pasaron, moviéndose más rápido en ciertos estadíos, pero sin saltar ninguno de ellos.

En este sentido, la historia de la ciencia debe ser nuestra guía (Poincaré, 1908)

 

Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a un continuo reciclaje del presente que mantiene viva la creatividad humana. Este año la clase de matemáticas realmente nos ha mostrado el mundo matemático.

Alejandro Martín. Alumno de 4º de ESO

 

 

 

Introducción

 

Primera semana de clase del curso 2000/01. Un grupo de 4º de ESO (15 años). En la ficha de recogida de datos de los alumnos se me ocurrió intercalar una pregunta:

 

Escribe el nombre de los matemáticos famosos que conozcas, por ejemplo Pitágoras

 

Antes de ver los resultados uno, ingenuamente, piensa que estos alumnos llevan 9 años recibiendo clases de matemáticas; que los libros de texto están salpicados de dibujos y fotos de personajes matemáticos y alguna referencia a la vida y resultados de alguno de ellos. Es decir, espero encontrar en cada ficha no menos de cinco nombres emblemáticos de la historia de las matemáticas.

 

Cuando empiezo a leer las fichas mi sorpresa es enorme. La inmensa mayoría ha puesto dos nombres: Pitágoras y Thales o Pitágoras y Einstein. Algunos más lanzados completan la relación con Newton y con otros nombres tan poco relacionados con sus conocimientos matemáticos como Aristóteles, Sócrates, Platón, Sófocles... y un tal Eúfrates (sic).

 

Sólo dos repetidores incluyen a Ruffini, y un alumno cita a Pascal.

 

He aquí los resultados

El panorama es más que desolador. Pitágoras y poco más constituye todo su bagaje cultural sobre la historia de una asignatura que están estudiando desde los 6 años.

 

Conclusión: para ellos las matemáticas no tienen autores, detrás de los resultados y de los teoremas no hay personas, ni épocas, ni caras.

 

A cambiar radicalmente esta visión de las matemáticas me dediqué en cuerpo y alma, en letra impresa y en imagen de vídeo. Bien es verdad que mis otras dos ocupaciones extracadémicas de este año: la colección de Nivola "las Matemáticas en sus personajes" y la producción de la serie de TVE "Universo Matemático" me facilitaron mucho las cosas.

 

A lo largo del curso, ante la sorprendida mirado de los alumnos, han ido desfilando, los auténticos protagonistas de las matemáticas, que no son los radicales y los polinomios, las fracciones y los logaritmos: Pitágoras, Teano, Euclides, Arquímedes, Al-Kuwaritmi, Fibonacci, Tartaglia, Cardano, Galois, Abel, Gauss, Newton, Leibniz, Euler, Ramanujan, Apolonio, Laplace, Legendre, Lagrange, Monge, Mme. de Châtelet, Fermat, Sophie Germain, Sofía Kovaleskaya, María Agnesi...

 

Y lo más importante los alumnos han ido descubriéndolos no de manera ajena al desarrollo de las clases, impuestos como divertimento histórico, sino al hilo de los temas matemáticos que íbamos tratando a lo largo del curso. Al final del curso cada alumno ha realizado un trabajo monográfico sobre su matemático o matemáticos favoritos. Han investigado por su cuenta, han descubierto qué pocos libros hay sobre matemáticos, han descubierto sitios interesantes de Internet, han aprendido que hay muchas fuentes más interesantes que la Encarta.

 

Pero sobre todo han aprendido, y esto no se les olvidará jamás, que las matemáticas no es algo muerto; que como en todas las obras maestras detrás de cada resultado hay no una sino muchas personas con nombre, cara y vida propia. Han comprendido que las matemáticas a lo largo de la historia y no sólo en la actualidad ha sido siempre una ciencia viva. En el fondo, como dice uno de los alumnos menos buenos en la encuesta final del curso:

 

"Este año he empezado a disfrutar de las Matemáticas".

 

Aunque sólo sea por encontrar una respuesta como esta, el esfuerzo, mío y suyo, ha merecido la pena. Y yo he aprendido mucho de ellos.

 

Justificación

 

El objetivo es realizar una propuesta didáctica, en principio no negociada con los alumnos, en la que se combinen elementos psicológico-afectivos del aprendizaje, la resolución de problemas y el bagaje cultural que la historia de las matemáticas proporciona, apoyado con documentos escritos o audiovisuales de alto contenido icónico. Se trata de usar el conocimiento de la historia, sin menospreciar el valor de lo lógico del contenido y con atención cuidadosa del objetivo pedagógico, según las características del grupo de alumnos. El éxito de esta propuesta depende precisamente de una acertada combinación de lo lógico, lo histórico y lo pedagógico, que se nos presenta en la preparación y ejecución de cada acto en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

 

 

 

EXCURSIONES POR LA HISTORIA SIGUIENDO EL CURRICULO DE SECUNDARIA

 

PRIMER ACTO. NÚMEROS

No todo en la vida son radicales y progresiones aritméticas y geométricas.

 

El principio. La lucha por explicar la Naturaleza bajo la luz de la Razón.

 

Escena 1ª. Sur de Italia. Siglo VI antes de Cristo

 

Pitágoras.

El nacimiento de las matemáticas como ciencia.

La búsqueda de la armonía del Universo.

El primer modelo matemático para explicar el mundo. El misticismo numérico

El nacimiento de la Aritmética: la Teoría de Números.

 

 

Los pitagóricos son los primeros que van a intentar dotarse de una visión cosmológica del universo físico, es decir de construir una teoría matemática que proporcione una explicación global de todos los fenómenos naturales. Para los pitagóricos la esencia del mundo físico es matemática. Colocarán al número natural como origen, fundamento y explicación de todas las cosas.

 

Filolao llega a afirmar:

 

"Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido"

 

Esta visión no es muy distante de la mantenida por Galileo más de 2.000 años después en su cita del principio y se ha mantenido viva hasta nuestros días. En su concepción moderna lleva a algunos a firmar que las matemáticas no son una descripción de la realidad sino la expresión misma de la estructura de la realidad, el lenguaje auténtico de la realidad. Desde este punto de vista la eficacia de las matemáticas para explicar la naturaleza es automática, es más, la naturaleza sólo se puede explicar y entender a través de las matemáticas.

Cuadro de texto: Vídeo

                                   

Pitágoras: mucho más que un teorema
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sumario del vídeo

TIEMPOS

SUMARIO

00:00-03:20

Presentación. Cráteres de la Luna. Encuesta popular

03:20-06:00

Demostración china. Animación

06:00-08:00

Egipto. Nacimiento de la Geometría. Triángulo de lados 3-4-5

08:00-09:25

Babilonia. Herencia matemática. Sistema de medida de ángulos.

09:25-12:05

Tablilla Plimpton. Las ternas pitagóricas. Procedimiento.

12:05-15:52

Pitágoras y los pitagóricos. Las ramas del saber.

15:52-17:53

Armonía musical pitagórica.

17:53-20:08

Los números. Tetractis, números poligonales, números perfectos. Animaciones.

20:08-21:24

Astronomía. El modelo geocéntrico.

21:24-22:36

Demostración del Teorema de Pitágoras. Animación.

22:36-25:15

Números irracionales:  y F. Animaciones

 

Propuesta didáctica de trabajo de investigación

 

Regularidades numéricas: Los números poligonales.

 

Teoremas particulares.

Teoremas generales

Fórmulas para cada tipo de números

A la caza de una fórmula general.

Los números poligonales a través de la historia. Hipsicles, Teón, Nicómaco, Diofanto, Boecio, Bachet, Fermat, Descartes, Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy...

Material complementario:

Vídeos Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático). Números triangulares números cuadrados. (Ojo Matemático). Libro: Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola. La Gaceta de la RSME. Nº 2. Filosofía y mistica del número. M. Ghyka. Apóstrofe.

 

Resultados

 

Poligonal

Gnomon

Recurrencia

Descomp. triangular

T(n)

n

T(n) = T(n–1) + n

 

C(n)

2n–1

C(n) = C(n–1) + (2n–1)

C(n) = T(n) + T(n–1)

P(n)

3n–2

P(n) = P(n–1) + (3n–2)

P(n) = T(n) + 2T(n–1)

H(n)

4n–3

H(n) = H(n–1) + (4n–3)

H(n) = T(n) + 3T(n–1)

········

········

········

········

Pr(n)

(r–2)(n–1)+1

Pr(n) = Pr(n–1) + (r–2)(n–1)+1

Pr(n) = T(n) + (r–3) T(n–1)

 

Formulas particulares

Triangulares

Cuadrados

Pentagonales

Hexagonales

1,3,6,10...

[n(n+1)]/2

1,4,9,16...

n2

1,5,12,22...

[n(3n–1)]/2

1,6,15,28...

n(2n–1)

Fórmula general:

 

Fases.

1.       Introducción de  los números triangulares y cuadrados. Regularidades numéricas de las sucesiones.

 

§         Al considerar los números como puntos materiales, como guijarros, se pueden realizar con ellos configuraciones geométricas claras. Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados.

§         Así tres puntos formarán un triángulo. Si a estos tres puntos les añadimos otros tres seguimos teniendo un triángulo, y lo mismo ocurre si a éste le añadimos cuatro puntos.

§         Es decir los números 1, 3, 6, 10, 15... son números triangulares.

§         De forma mucho más clara con los números 4, 9, 16, 25... podemos formar cuadrados. Junto al 1 constituyen los números cuadrados

 


NÚMEROS  POLIGONALES

TIPO

ORDEN

1

2

3

4

5

TRIANGULARES

1

3

6

10

15

CUADRADOS

1

4

9

16

25

PENTAGONALES

1

5

12

22

35

HEXAGONALES

1

6

15

28

45

 

§         Siguiendo con esta visión geométrica, es inmediato descubrir los números pentagonales: 1, 5, 12, 22... O los hexagonales: 1, 6, 15, 28...

§         En todos los casos las series numéricas son sumas parciales de los primeros términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es siempre 1 y cuya diferencia es r. Siendo r el número de lados del polígono asociado a la serie menos dos unidades, es decir,  r = 1 para números triangulares, r = 2 para cuadrados, r = 3 para los pentagonales...

§         Lo que viene a demostrar, que sin ningún apoyo algebraico, y utilizando exclusivamente modelos geométricos,  los pitagóricos dominaban los métodos para sumar progresiones aritméticas simples del tipo ;  y seguramente del tipo

§         Esta visión geométrica les permitió obtener los primeros resultados generales sobre propiedades de los números naturales y poligonales.

§         Algunos evidentes, al fin y al cabo eso es lo que significa la palabra griega "teorema", lo que se contempla, lo que se ve; aunque nada simples si los miramos con ojos exclusivamente aritméticos

 

 

2.       Los primeros teoremas geométricos. Conocemos a Hipsicles, Teón de Esmirna, Nicómaco de Gerasa y Boecio.

 

§         El tema se convirtió en uno de los tópicos pitagóricos más habituales. Fue tratado por Pseusipo y Filipo (en la Academia platónica), así como por Hipsicles quien durante un tiempo fue honrado al ser llamados los números poligonales como Números de Hipsicles. Teón de Esmirna realizó una descripción bastante desarrollada de los números poligonales, que incluye algunos de los teoremas generales anteriores en su obra Cuestiones útiles en Matemáticas para la lectura de Platón.

 

§         Aunque no llegaran a efectuar demostraciones generales de las relaciones entre los distintos tipos de números poligonales, sembraron la semilla de la curiosidad en un campo abonado. Un campo que va reclamar la atención de matemáticos de todas las épocas.

 

§         Tn = 1+2+3+...+n.                    

 

 

§         Cn = 1+3+5+...+n.

 

 

§         Cn = Tn + Tn-1                                                                              

Teorema de Teón

 

3.       ¿Cuánto suman los n primeros cubos?. La sorpresa de Nicómaco

 

§         Nicómaco de Gerasa (s. I d. de C.) en su Introducción a la Aritmética llegó a descubrir resultados generales de interés como el hecho de que el cubo de todo número entero n, es la suma de n números impares consecutivos:

 

13 = 1; 23 = 3+5; 33 = 7+9+11; ...  Y por tanto

13+23+33+...+n3 = 1+3+5+7+...+n(n+1)-1=  (1+2+3+...+n)2 = (Tn)2

 

§         A pesar de contar con un modelo geométrico claro, la obtención de fórmulas algebraicas generales para obtener directamente estos números ya no es tarea tan simple. La obra de Nicómaco va a suponer un cambio radical en el estudio de estos números, la simple generalización empírica de la verificación aritmético–visual es reemplazada por proposiciones rigurosamente demostradas casi al estilo euclídeo.

 

4.       La Edad Media. La herencia de Diofanto y Boecio. Los teoremas generales.

 

§         Diofanto de Alejandría ( s. III d. de C) además de su famosa Aritmética, escribió otro libro, del que por desgracia sólo se conservan fragmentos, sobre los números poligonales, en el que la idea de su construcción se extiende al espacio, haciendo su aparición los números piramidales, que se obtienen apilando en capas los sucesivos números poligonales de un mismo orden.

 

§         Los números piramidales de base triangular se obtienen a través de las sumas parciales de los números triangulares, también se les conoce como números tetragonales. Son: 1, 4, 10, 20...

 

§         Los piramidales cuadrados son: 1, 5, 14, 30...

 

§         Los de base pentagonal: 1, 6, 18, 40...

 

§         Pero la pervivencia de la curiosidad por estos números en la Edad Media se la debemos a Boecio, cuya principal obra matemática, la Aritmética, va a constituir una de las escasas fuentes de alimentación de las matemáticas hasta la llegada de las traducciones de las obras griegas realizadas por los sabios islámicos.

 

Manuscrito medieval representando los números poligonales

 

 

Su traducción a una tabla moderna

Números

N  

      D

1

2

3

4

5

Triangulares

3

1

3

6

10

15

Cuadrados

4

1

4

9

16

25

Pentagonales

5

1

5

12

22

35

Hexagonales

6

1

6

15

28

45

Heptagonales

7

1

7

18

34

55

 

§         Ahora es fácil comprobar que la relación de los números cuadrados con los triangulares, Cn = Tn + Tn-1 , es un caso particular de una ley más general:

 

"Todo número poligonal es la suma del poligonal del mismo orden y de una dimensión inferior más el nº triangular de orden inferior". Teorema de Nicómaco

 

Nd,n = Nd-1,n + Tn-1

 

5.       El Renacimiento. Bachet y su famosa edición de la Aritmetica de Diofanto (1621). G.Bachet de Meziriac publicó en 1621 la obra de Diofanto con interesantes apostillas sobre números poligonales, que inspiraron los bellos descubrimientos de Fermat sobre la materia.

§         La descomposición triangular

Nd,n = Tn + (d -3) Tn-1.

 

 

§         De donde es elemental obtener la fórmula algebraica general:

 

 

Propuesta didáctica cumplida

 

 


6.       Descartes en su tratado Progymnasmata de Solidum Elementis va a recuperar los números piramidales e hiperpiramidales descubriendo tanto los gnomons que permiten su formación como las fórmulas generales de los mismos. También realiza un estudio profundo sobre los números figurados sólidos basados en los poliedros regulares.

 

7.       Pero ya puestos, acabemos la historia. El gran reto de Pierre de Fermat:

 

"Todo número entero puede expresarse mediante suma de, a lo sumo, n números n-gonales".

 

§         Esta conjetura es una generalización de otra recogida ya en la Aritmética de Diofanto: "Todo número es suma de cuatro números cuadrados"

§         Fermat dice que lo demostró por le método de descenso infinito, para los cuadrados

§         Euler lo intenta sin éxito

§         Lagrange (1772) demuestra que todo número entero se puede expresar mediante la suma de, a lo sumo, cuatro cuadrados.

 

Gauss (1796), Disquisitiones Arithmeticae ¡¡Eureka: N = D + D + D

 

§         La anotación de Gauss en su diario responde a la alegría de haber encontrado una demostración para el caso particular de números triangulares:

N = D + D + D

 

"Todo número entero es suma de, a lo sumo, tres números triangulares".

 

§         No se quedó ahí, en sus Disquisiciones Aritméticas, publicadas cinco años después de esta anotación, Gauss, nos brinda la demostración no solo para números triangulares sino también nos demuestra que todo número entero es suma de, a lo sumo cuatro números cuadrados, por una vía completamente distinta a la de Lagrange.

 

Disquisitiones Arithmeticae

293. Las disquisiciones precedentes también proporcionan una demostración del famoso teorema que dice que todo entero positivo se puede descomponer en tres números triangulares, como hace tiempo fue descubierto por Fermat, pero cuya demostración rigurosa ahora se ha logrado.

 

§         No habrá que esperar mucho tiempo para ver demostrada la conjetura general. Sería en 1815 en una de las dos memorias que Augustin-Louis Cauchy presentó a la Academia de Ciencias de París.

 

Tras más de dos milenios, los, en apariencia ingenuos, números poligonales de la escuela pitagórica contribuían a consagrar de manera definitiva a dos de los grandes matemáticos del Siglo XIX.

 

Hoy como siempre siguen constituyendo uno de los ejemplos más bellos de utilización de modelos geométricos para abordar problemas de la teoría de números. Y, por supuesto, un excelente material para fomentar investigaciones autónomas de los alumnos en las aulas de la enseñanza secundaria.

 

 

Para los que piden más

 

Los teoremas sobre números poligonales no se agotan con los vistos anteriormente. Si queremos seguir profundizando en el tema podemos aventurarnos con estos:

 

Cada número triangular es también un número hexagonal.

 

Todo número pentagonal en un tercio de un número triangular.

 

Todo número perfecto par es un número triangular T(n) con n primo.

 

T(2n) = 3T(n) +T(n–1), 

 

T(2n+1) = 3T(n) +T(n+1).

 

 

Escena 2º. Atenas. Siglo V antes de Cristo. GEOMETRÍA

 

Una herencia pitagórica. El pentagrama y los sólidos platónicos.

El más bello modelo geométrico-cosmogónico de la historia.

Una de las primeras teorías matemáticas completa.

 

Según la concepción platónica los matemáticos son, como Colón, descubridores de continentes. El papel de las matemáticas no es otro que el de ejercer de mediador entre el mundo de los sentidos y el mundo de las ideas con una existencia propia  e independiente del mundo sensible.

 

Cuadro de texto: Vídeo
                               
Orden y Caos: la búsqueda de un sueño.
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE

Las teorías matemáticas tienen su existencia propia en ese mundo ideal, el matemático sólo se limita a interpretar las sombras de esas ideas en las paredes de la caverna.

 

Extracto del vídeo

 

La esfera y el círculo, las formas geométricas perfectas, la armonía de la lira, las matemáticas y la música de la mano en la primera victoria del orden sobre el caos.

Platón el famoso filósofo griego fue más allá, llegando a afirmar que Dios, el creador del Universo, utiliza siempre procedimientos geométricos. 

Convencido de la actuación de Dios como un geómetra, Platón en su diálogo Timeo, asocia cada principio elemental con uno de los poliedros regulares, los sólidos platónicos:

El fuego, el elemento más ligero, es el tetraedro, formado por cuatro triángulos equiláteros, el sólido regular más sencillo.

El aire, el segundo elemento se compone de ocho triángulos unidos entre sí: el octaedro.

El agua nacería de la unión de veinte triángulos equiláteros. Sería el icosaedro.

La Tierra el elemento más pesado lo formaría la reunión de seis cuadrados, un cubo.

Y termina Platón diciendo:

"puesto que todavía había una quinta composición, el dios la utilizó para el universo cuando lo pintó"

Esa quinta composición es el dodecaedro, un sólido regular formado por 12 pentágonos.

¿Cómo poder sustraerse a la increíble belleza de un modelo geométrico tan armonioso como suprema expresión del orden en el Universo?

 

Propuesta didáctica. De los mosaicos a los poliedros regulares.

 

La razón aúrea y el pentagrama. Los inconmensurables

Poliedros regulares. Definición pitagórica.platónica

¿Por qué 5 y solo 5?

Propiedades. Construcción con varillas y plegados.

Los poliedros regulares en el Timeo de Platón

 

Los poliedros en los Elementos de Euclides. Las aristas

En el Renacimiento: Piero de la Francesca, Luca Pacioli, Durero y Kepler.

Trigonometría elemental

 

Material complementario:

Vídeos Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático). El número Áureo (Más por menos). Libro: Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola. Elementos de Euclídes. Libros X-XIII. Gredos. Luca Pacioli. La divina proporción. Akal.

 

Resultados:

Proposición 8.XIII de los Elementos de Euclídes: : = f.

 


Proposiciones 13-18. XIII de los Elementos de Euclides.

 

 

AD = 2DB

AH = AB, CL = KC

·         AZ es la arista del tetraedro =

·         BZ es la arista del cubo =

·         BE es la arista del octaedro =

·         MB es la arista del icosaedro =

·         NB es la arista del dodecaedro =

 

 

 

SEGUNDO ACTO. GEOMETRÍA

 

El Renacimiento

 

Un nuevo modelo geométrico: las cónicas. Las esferas dejan paso a las cónicas de Apolonio.

 

Las esferas de Aristóteles

Los epiciclos de Ptolomeo

La teoría heliocéntrica

Las órbitas elípticas. Las cónicas

 

Cuadro de texto: Vídeo
        

Orden y Caos: la búsqueda de un sueño.
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE

El modelo matemático de  Ptolomeo es demasiado complejo y poco útil a la hora de hacer predicciones astronómicas a largo plazo. Copérnico pone en marcha un nuevo modelo matemático que mejora las predicciones y sobre todo que es más sencillo a la hora de calcular. Coloca al sol en el centro del sistema y hace girar a todos los planetas a su alrededor. No abandona las órbitas circulares ni los epiciclos, pero siembra el germen de un cambio de paradigma científico que llegará a la cumbre con Galileo: la experimentación y la observación de la realidad como criterio de validación de la teoría científica.

Extracto del vídeo

 

Los matemáticos y astrónomos tendrán que crear auténticas filigranas matemáticas para hacer encajar las observaciones del movimiento de los astros con el modelo aristotélico.

La más conseguida será la de un astrónomo de Alejandría que vivió en el siglo II de nuestra era: Claudio Ptolomeo.

Su obra "Síntesis Matemática" pasará a la historia con el nombre de la traducción árabe: EL Almagesto, que significa "el muy grande".

Para explicar el movimiento de los planetas respetando la idea de que sólo se pueden mover en órbitas circulares Ptolomeo va a inventar un ingenioso modelo geométrico: loe epiciclos y los deferentes.

A cada planeta, incluidos el Sol y la Luna, les asigna un círculo imaginario llamado deferente. La Tierra está en interior de este círculo, aunque no necesariamente en el centro.

El planeta girará en un nuevo círculo llamado epiciclo cuyo centro será un punto del círculo deferente.

A moverse el centro del epiciclo a lo largo de la deferente, al planeta se acerca o se aleja de la Tierra lo que explicaba a la perfección los cambios de brillo de un mismo planeta observados en distintos momentos del año.

Ptolomeo pensaba que en realidad los planetas no se movían así, pero su modelo geométrico explicaba a la perfección lo que cualquier astrónomo veía en el cielo.

Los astrónomos que vinieron tras él tomaron su modelo como un dogma y aplicaron penosos cálculos matemáticos para realizar tablas que predijesen la posición de todos los planetas conocidos.

Uno de las más completas fueron las del rey castellano  Alfonso X el sabio. Las famosas tablas alfonsíes. Su elaboración era tan compleja que le hicieron exclamar al sensato rey Alfonso:

"Si el Señor Todopoderoso me hubiera consultado antes de embarcarse en la Creación, le habría recomendado algo más simple"

Con tablas como estás e instrumentos similares a este astrolabio, muchos astrónomos ocuparon buena parte de sus noches en descifrar el orden que impera en un firmamento inmutable.

Aunque unos de sus fines hoy no estaría muy bien visto por la comunidad científica: la elaboración de horóscopos. En esta época, como en muchas otras a lo largo de la historia, la astrología ha viajado al lado de la Astronomía.

A finales del siglo XVI, un joven toscano va a hacer temblar los principios de la interpretación del universo físico, tanto por debajo como por encima de la frontera de la esfera lunar: Galileo Galilei.

En el mundo terrestre, intentando descubrir las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos.

En una época en que las disputas políticas se arreglaban con excesiva frecuencia a cañonazos, nadie se había parado a investigar cuál era la trayectoria real de un proyectil.

Galileo descubrirá que cualquier bala de cañón describe un arco de parábola antes de impactar en el blanco. Pero también descubrirá que todos los cuerpos caen al suelo con la misma aceleración.

Galileo será el fundador de una nueva ciencia, la cinemática e intentará explicar todos los movimientos mediante leyes matemáticas.  Los ejércitos del orden matemático sitúan el frente de batalla contra el caos en la misma superficie terrestre.

Pero un extraño instrumento inventado por los holandeses va a hacer tambalear toda la doctrina oficial de la Iglesia basada en las ideas aristotélicas: el telescopio.

Gracias a él, Galileo va a destrozar una visión del universo que había prevalecido más de dos mil años: el mundo más allá de la Luna no es tan perfecto como decía Aristóteles, la Luna no es una esfera perfecta sino que presenta cráteres como la misma Tierra, Júpiter tiene satélites que órbitan a su alrededor... y hasta el Sol tiene manchas.

Le costaría la vista y casi la vida pero había desterrado la vieja idea de que la Tierra era el centro del universo. Y había conseguido algo mucho más importante: convertir a la experimentación en el motor fundamental de la ciencia.

 

La Iglesia le condenó, pero la Tierra se mueve....

 

Kepler construirá toda su teoría y descubrirá las leyes del movimiento de los planetas basándose en las precisas observaciones de Tycho Brahe. Las cónicas, esas atractivas curvas matemáticas estudiadas por Apolonio hace tantos siglos van a constituir una imprescindible herramienta matemática para explicar el mecanismo celeste. La eficacia de las matemáticas en el primero de los momentos estelares de la historia.

Cuadro de texto: Vídeo
 

Las leyes de Kepler
Serie: Universo Mecánico. Annenberg/CPB Proyect. 1987
Producción: California Institute of Tecnology
Distribuidora: Arait Multimedia S.A.

Propuesta didáctica: Estudio de las cónicas.

 

La secciones cónicas

Definiciones

Elementos característicos

Propiedades métricas

Propiedades físicas.

Menecmo, Apolonio, Galileo, Kepler

 

Material complementario:

Vídeos: Las cónicas: del baloncesto a los cometas. (Más por menos). Libros: Copérnico y Kepler. J.Luis García Hourcade. Ed. Nivola. Programa informático: cónicas de J.L. Abreu.

 

 

 

TERCER ACTO. FUNCIONES.

El nacimiento del análisis

Newton y Leibniz: la Naturaleza posee unas leyes matemáticas y el ser humano puede encontrarlas.

 

Funciones

El problema de la tangente

Máximos y mínimos

El cálculo diferencial y el cálculo integral.

La medida del Meridiano terrestre.

 

La culminación de la eficacia de las matemáticas para explicar el universo que nos rodea va a llegar unos pocos años más tarde con la figura de Newton y sus dos legados de valor incalculable: los Principia Mathematica, la explicación matemática definitiva del sistema del mundo y quizás más importante el cálculo diferencial y el cálculo integral.

 

Cuando en 1687 Newton publica sus Principia Mathematica, y su famosa Ley de Gravitación Universal realiza la culminación del pensamiento científico: la Naturaleza posee unas leyes matemáticas y el ser humano puede encontrarlas.

 

Durante tres siglos los científicos de todas las disciplinas se han lanzado a la desenfrenada carrera de encontrar esas leyes.

 

Pensaban que el mundo es un engranaje que funciona como un mecanismo de relojería. Las ecuaciones diferenciales podrán predecir el estado del sistema conociendo las Cuadro de texto: Vídeo

           

Orden y Caos: la búsqueda de un sueño
Newton y Leibniz. Sobre hombros de gigantes
Serie: Universo Matemático. TV2. 2000
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizadora: Ana Martínez
Distribuidora: RTVE
condiciones iniciales del mismo.

Extracto del vídeo

 

El mismo año que muere Galileo nace un genio que va ganar la batalla más importante en la guerra del orden contar el caos: Isaac Newton.

¿Por qué cae una manzana al suelo y en cambio la Luna no cae sobre nuestras cabezas?

Una manzana y la Luna y los planetas. Dos mundos completamente diferentes. Una cae y la otra permanece inmutable en su órbita.

Y aquí surge el genio... la manzana no es la Luna, pero la fuerza que hace que la manzana caiga al suelo es la misma que permite a la Luna seguir en su órbita. De hecho, la Luna también cae hacia la Tierra. Gracias a ello nuestro satélite ilumina nuestras noches mes tras mes.

Newton había dado un paso de gigante en la búsqueda del orden en el universo: había descubierto la Ley de Gravitación Universal. Una ley matemática que ponía un orden definitivo en el movimiento de todos los cuerpos no importa donde estuvieran, en la superficie terrestre o en los confines del sistema solar. Había descifrado el Sistema del Mundo.

Pero para ello y de paso había necesitado unas nuevas y potentes herramientas matemáticas, unas herramientas que él mismo tuvo que fabricarse: el cálculo diferencial y el cálculo integral.

Unas herramientas que de manera irrefrenable han extendido las fronteras del reino del orden matemático por casi todos los rincones del mundo científico: durante trescientos años la humanidad ha vivido el maravilloso sueño de creer que las ecuaciones diferenciales serían capaces de proporcionarnos las claves para comprender todas las leyes que regían el universo.

Parecía que el orden había derrotado definitivamente al caos. Que los hombres podrían mirar a los ojos de los dioses y decirles que habían descubierto por fin su secreto.

Que ellos también eran geómetras.

El gran anhelo del ser humano, conocer el futuro parecía la alcance de la mano: si pudiésemos medir las posiciones y la velocidad de todas las partículas del universo podríamos leer el pasado y el futuro del todo el universo.

Por desgracia no todo era tan simple. La herramienta matemática era potente y casi mágica, pero no solucionaba todos los problemas...

 

Propuesta didáctica

 

Introducción a las funciones.

Máximos y mínimos.

Introducción al cálculo diferencial

Resolución de triángulos.

 

Material complementario

 

Vídeos: El lenguaje de las gráficas ( Más por Menos). Derivadas e Integrales. (Universo Mecánico). Libros: Newton: el umbral de la ciencia moderna. J. Muñóz. Ed. Nivola. Principios matemáticos de la Filosofía Natural. I . Newton. Ed. Tecnos.

 

 

 

CUARTO ACTO. PROBABILIDAD

 

Los orígenes de la teoría de la probabilidad

 

Cardano, Fermat, Pascal, Jacques Bernoulli, Laplace, Euler...

 

El juego justo

Las partidas interrumpidas

El Ars Conjetandi

La paradoja de San Petersburgo

Teoría analítica: la aguja de Buffon

 

El nacimiento de la teoría de la probabilidad es más azaroso de lo que contamos en nuestras clases, a veces salpicado de errores hoy inaceptables incluso en alumnos de ESO.

Descubrir las aportaciones de muchos grandes matemáticos en este campo constituye un buen terreno para los alumnos en su camino para adentrarse en las leyes del azar, desde el primer ciclo de ESO hasta 2º de bachillerato.

 

Cuadro de texto: Vídeo
 
Las leyes del azar. Serie: Más por Menos. TV2. 1996
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizador: Pedro Amalio López
Distribución: RTVE

Propuesta didáctica

 

El problema del caballero de Mèré.

Las partidas interrumpidas. La esperanza matemática

Los juegos justos

La ley de los grandes números. ¿Cuánto de grandes?

El nacimiento de la combinatoria

La aguja de Buffon. Modelos geométricos y analíticos para es estudio de la probabilidad

 

Material complementario

 

Vídeos: Las leyes del azar ( Más por Menos). Matemáticas en la Revolución Francesa. (Universo Mecánico). Libros: Los Bernoulli. Viajeros y geómetras. C. Sánchez y C. Valdés. Ed. Nivola. Ensayo filosófico sobre las probabilidades. P.S. de Laplace. Alianza editorial. Material manipulable: Proyecto SUR

 

EPÍLOGO. OTRAS MATEMÁTICAS

 

El siglo XX. Fractales y Caos. La Geometría de la Naturaleza

 

Como muy bien dice Benoit Mandelbrot, uno de los creadores de la geometría fractal:

 

"las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son lisas y los relámpagos no se desplazan en línea recta".

 

El universo está poblado de sistemas que se comportan de manera caótica. Las llamas de una hoguera, el humo, el agua en un arroyo, las olas del mar, la forma de un relámpago son manifestaciones cotidianas del caos.

 

La historia de la Ciencia es la historia de la búsqueda del orden dentro del caos.

 

Las leyes de Newton nos permiten descifrar la órbita de la Tierra alrededor del Sol y predecir los eclipses. Incluso nos han permitido viajar a la Luna o mandar sondas.

 

Pero estas ecuaciones que podían servir para sistemas simples son incapaces de predecir el estado de las partículas de gas encerradas en un globo o de las miles de gotas que forman un torrente.

 

A lo largo del siglo XIX los científicos resolvieron en parte esta dificultad mediante el análisis estadístico de cantidades promediadas que trabaja con cantidades globales de movimiento. No podremos determinar el movimiento de todas y cada una de las partículas del torrente pero al menos sabremos lo que hará éste globalmente.

 

A principios de nuestro siglo coexistían estos dos paradigmas científicos:

 

·         el determinista, con sus ecuaciones diferenciales, para los sistemas simples; y

·         el estadístico para los sistemas complicados, con muchos grados de libertad en los que reina el azar.

 

Pero lo que nadie podía imaginar es que un sistema simple pudiese tener un comportamiento caótico y ahí poco podían decir las matemáticas.

 

En 1960 Edward Lorentz desarrolló un modelo matemático para realizar previsiones del tiempo. Este modelo era bastante simple y contemplaba sólo tres variables  que rigen el movimiento de convección, relacionadas entre sí mediante tres ecuaciones diferenciales hoy muy populares. Estaba naciendo la Teoría del Caos.

 

Y enseguida una matemática capaz de buscar el orden dentro del caos: la geometría fractal

 

Incluso en aquellas regiones de la naturaleza lejos de las cómodas regularidades de las ecuaciones diferenciales las matemáticas se revelan como la herramienta imprescindible para interpretar la naturaleza. Y por supuesto siguen manifestando de manera rotunda su increíble eficacia.

 

 

 

Cuadro de texto: Vídeos

    

Orden y caos: la búsqueda de un sueño. Universo Matemático. TV2. 2001
Fractales: la geometría del caos
Serie: Más por Menos. TV2. 1996
Autor: Antonio Pérez Sanz
Realizador: Pedro Amalio López
Distribución: RTVE
Extracto del vídeo

 

Sin embargo, quién puede predecir cuándo y dónde se producirá un torbellino en una corriente de agua, cómo bailan las llamas de una hoguera, qué volutas va describir el humo de un cigarro, cuándo y dónde se formará una tormenta, dónde descargará un rayo, qué figura extraña dibujará en el cielo. Decididamente son fenómenos al otro lado de la frontera del caos.

Pero las Matemáticas no se han detenido ante esta nueva frontera. Han buscado y lo que es más importante han encontrado manifestaciones de orden incluso dentro de los fenómenos en apariencia caóticos.

El desarrollo de la informática ha abierto la puerta a una nueva geometría,  la geometría fractal, la geometría del caos.

Una nueva herramienta matemática que la avanzadilla de los ejércitos del orden ha introducido en el corazón del territorio enemigo, del reino del caos, un territorio más extenso de lo que sospechamos.

Miren a su alrededor, el batir de las olas en un acantilado, las nubes que pasan sobre nuestras cabezas, el desarrollo de una plaga de langostas, los vaivenes de la bolsa, nuestra atmósfera y hasta el propio sistema solar son sistemas caóticos.

En contra del sueño de Newton, la Naturaleza tiene una componente caótica más fuerte de lo sospechamos.

Caos y orden, orden y caos. ¿No serán en el fondo las dos caras de una misma y maravillosa moneda: la Naturaleza?

 

 

 

Valoración

 

Los alumnos han aprendido, además de las matemáticas del curso, y los nombres de más de 20 matemáticos y matemáticas a lo largo de la historia, algo mucho más importante: que las matemáticas son una ciencia viva, con protagonistas, que ha impregnado el bagaje cultural de la humanidad desde hace más de dos mil años.

 

Quizás la mejor valoración sea conocer su propia opinión.

 

HABLAN LOS ALUMNOS...

 

...Además de todo esto, es demasiado interesante saber la historia de los mejores matemáticos y los problemas que tuvieron para dar a conocer, fueran ciertos o no, sus hipótesis y teorías.

 

Una forma práctica de que veamos nosotros mismos lo que estamos aprendiendo, que utiliza el profesor, es hacer que nosotros nos veamos en el problema con que estaba el descubridor del teorema que vamos a tratar

V. A. Echeverry

 

Este año he empezado a disfrutar de las matemáticas.

 

En mi vida me había enterado de tantas cosas en clase... Las clases de matemáticas son amenas... Me entero de diversas cosas y de la biografía de diversos personajes matemáticos por los que nunca me había interesado y por los que ahora hasta me meto en internet para recaudar información.

Guillermo Pérez

 

Las matemáticas han ido evolucionando a lo largo de la historia. Euler, Pitágoras, Fibonacci... y también mujeres Teano, Hypatia, Sª Germain... nos han introducido en esta ciencia.

Laura Álvarez

 

...También me ha gustado descubrir a los matemáticos/as que las han cultivado hasta nuestros días. Antes sólo conocía a los cuatro principales, pero ahora tengo el placer de conocer a muchos más y a muchas mujeres de las que antes no había oído ni hablar.

Mercedes Pérez

 

Durante este curso he aprendido más matemáticas que durante cualquier otro, pero también he aprendido a apreciarlas de forma diferente a como lo hacía antes. Antes sólo veía las matemáticas como una herramienta imprescindible para muchas facetas de la vida. Ahora, además, he conocido muchos nombres de matemáticos de la historia, y qué cosas lograron descubrir, esto nos acerca de una forma más humana al mundo de las matemáticas.

 

No nos hemos limitado a saber matemáticas, como los demás años, también a saber de dónde han salido y  por qué razón.

Sergio Jiménez

 

Durante este curso he descubierto que las matemáticas son mucho más que saber las tablas de multiplicar y resolver problemas teóricos (y casi siempre bastante "tontos") aplicando esas normas y reglas que los profesores nos enseñan. Las matemáticas nos rodean, invaden nuestras vidas.

 

Ha sido el año, con diferencia, que más he aprendido, porque otros años, sí, te enseñan cosas, fórmulas y métodos pero al cabo de 2 meses ya se me había olvidado todo.

Belén González

 

Me gustan ahora más que al principio. No sé realmente cual es la causa pero me gustan.

Jorge Benito

 

Para mí las matemáticas son una materia muy importante ahora, porque la verdad, antes pensaba que no servía para nada y que lo único que hacían era complicarnos nuestro tiempo en el instituto.

Yulie Quintero

 

Mi opinión sobre las matemáticas ha cambiado mucho. Este año he aprendido que todo lo que nos rodea son matemáticas, sin embargo antes pensaba que matemáticas significaba números y más números...

Mª Mar Jiménez

 

 

Las matemáticas son una ciencia muy interesante y gracias a ellas hemos descubierto muchas cosas... Las matemáticas aparecieron hace cientos de años y con ellas gran número de matemáticos importantísimos que hicieron grandes descubrimientos.

Luis A. García

 

Antes de empezar el curso mi opinión era muy diferente a la de ahora, antes pensaba que muchas cosas de matemáticas no servían para nada. Sin embargo ahora creo que son las herramientas más útiles ya que aparecen en casi todos los lugares.

Javier Muniesa

 

Mi opinión es completamente distinta a cuando empecé el curso, siempre me habían gustado, pero nunca pensé que una ciencia como las matemáticas pudiese abarcar tantos campos.

Lara Frías

 

Las matemáticas ahora me gustan mucho, pero a principios de curso las odiaba. He sido capaz de resolver problemas que en un principio creí ser incapaz y eso me hace sentirme bien.

Además he conseguido (lo hice ayer) una cosa que vd. dijo a principio de curso, " escribid todos los nombres de matemáticos que conozcais"; y como mucho escribimos cinco y vd. dijo que al final de curso sabríamos al menos 20. Y yo pensé que aunque los estudiásemos yo no conseguiría acordarme ni de la mitad y ayer puse 23 matemáticos y 4 matemáticas.

Mar Melero

 

Las matemáticas son una ciencia que gusta poco, a mí no demasiado... Las matemáticas si no son vistas con un ojo científico no se disfruta de ellas... De todas formas algunos matemáticos debían estar muy aburridos o muy locos para descubrir tantas cosas, cosas que están en la naturaleza, como la sucesión de Fibanacci, el número de oro, que aparece tanto. Aunque lo que más me ha gustado quizás de un matemático (Escher) es la combinación de las matemáticas con el arte.

A las matemáticas hay que darles una función que pueda ser aplicada a la vida...

Marcos Hernaiz

 

Durante estos años siempre me han gustado las matemáticas. En especial este año me han acabado por cautivar y captar mi atención. El aumento de conocimientos de esta ciencia en este último año me ha permitido observar con más detenimiento la mágica forma que posee ésta para presentarse en nuestra vida cotidiana y en la naturaleza.

Las matemáticas son y me "saben" a futuro, a un continuo reciclaje del presente que mantiene viva la creatividad humana. Este año la clase de matemáticas realmente nos ha mostrado el mundo matemático.

Alejandro Martín

 

 

 

Bibliografía

 

  • Colección: La matemática en sus personajes. Ed. NIVOLA. Madrid. 1999-2007

 

Libros

  • Boyer, Carl B. Historia de la Matemática. Ed. Alianza. Madrid 1987
  • Dunham, William. El universo de las matemáticas. Ed. Pirámide. Madrid 1995.
  • Dunham, William. Euler. El maestro de todos los matemáticos. Ed. Nivola Madrid 2000
  • Dunham, William. Viaje a través de los genios. Ed. Pirámide. Madrid 1993
  • Ghyka, Matila C. El número de oro. Ed. Poseidón. Barcelona 1978
  • Ghyka, Matila C. Filosofía y mística del número. Ed. Apóstrofe. Barcelona. 1998
  • Ifrah, Georges. Historia Universal de las Cifras. Ed. Espasa. Madrid 1998
  • Kline, Morris. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Ed. Alianza. Madrid 1992.
  • Mandelbrot B. La Geometría fractal de la naturaleza. Tusquets. Barcelona 1977
  • Pérez Sanz, A. Los números poligonales. La Gaceta de la RSME. Vol 3. Nº 2. Madrid 2000

·         Pérez Sanz, A. Aspectos didácticos de las Matemáticas. Vol 8. Universidad de Zaragoza. Zaragoza 2001.

·         Pérez Sanz, A .El lenguaje de las Matemáticas en sus aplicaciones. Aulas de verano. MECD. Madrid 2002

·         Pérez Sanz, A. Enfoques actuales en la didáctica de las matemáticas Aulas de verano. MECD. Madrid 2006

·         Pérez Sanz A. Usos matemáticos de Internet. Aulas de verano. MECD. Madrid 2005

  • Pérez Sanz A. VII Seminario Castellano-Leonés de Educación Matemática. Historias de los problemas con historia. León 2002.
  • Singh Simon, El enigma de Fermat. Ed. Planeta. Barcelona 1998
  • Wussing H. Lecciones de Historia de las matemáticas. Ed. Siglo XXI. Madrid 1998

 

 

Artículos del autor sobre el tema

 

·         Matemáticas en Internet. Cuadernos de Pedagogía. Nº 288. Febrero 2000

·         Recursos en Internet. SUMA nº 33. Febrero 2000

·         Audiovisual y Matemáticas. Ciudad Escolar y Universitaria. Diciembre 2000

·         Las Matemáticas y su enseñanza. Educación y Bibliotecas. Nº 118. Diciembre 2000

·         Las flores de Fibonacci. Revista SUMA nº 50. Noviembre 2005

·         Matemáticas en las aulas de secundaria. Historia de la enseñanza de las Matemáticas. La Gaceta de la RSME. Vol. 8.nº1. Abril 2005.

 

 

Vídeos

 

Serie "Universo Matemático". RTVE. Autor: Antonio Pérez. Realizadora: Ana Martínez

 

-          Pitágoras. Mucho más que un teorema

-          Fermat. El margen más famoso de la Historia

-          Números y cifras. Un viaje en el tiempo

-          Gauss. El príncipe de los matemáticos

-          Euler. Una superestrella

-          Newton y Leibniz

-          Historias de pi

 

Serie Más por menos. RTVE. Autor: Antonio Pérez. Realizador: Pedro Amalio López

 

  • El mundo de las espirales
  • Cónicas: del baloncesto a los cometas
  • Fractales. La geometría del caos
  • Fibonacci. La magia de los números

 

Serie Universo Mecánico. Annenberg/CPB. EE.UU. 1988

Derivadas

Integrales

Las leyes de Kepler

Reflexiones sobre cónicas

 

 

Antonio Pérez Sanz

IES Salvador Dalí. Madrid.

aperez@rsme.es