Números piramidales de base cuadrada

Un número piramidal de base cuadrada es un número figurado que se obtiene al apilar esferas iguales

formando capas en forma de cuadrados consecutivos.

Estos números son de la forma

$\sum_{k=1}^nk^2={(n^2 + n)(2n + 1) \over 6}$

Los primeros números piramidales son: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819

También se pueden escribir utilizando números combinatorios

${{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}$

Sólo hay un número piramidal cuadrado que es cuadrado perfecto, además del 1.

Fue demostrado por G. N. Watson en 1918.

Números tetraédricos o piramidales de base triangular

Son números figurados que se obtienen al apilar esferas iguales formando pirámides de base

triángulos equiláteros.

El n – simo número tetraédrico es la suma de los n primeros números triangulares.

La fórmula para obtenerlo es:

$T_n=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}n(n+1)(n+2).$

Los primeros son: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

También se pueden escribir utilizando números combinatorios

$T_n={n+2\choose3}$

Es decir, aparecen en una de las diagonales del triángulo de Pascal

Sólo hay tres números tetraédricos que sean cuadrados perfectos. Este hecho fue demostrado

por A.J. Meyl en 1878.

Y por cierto, desde 1988 sabemos que no hay ningún número tetraédrico que sea a la vez

piramidal cuadrado.