LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Introducción

 

             En esta unidad, dedicada a alumnos de 4º de la ESO,  se analiza la representación gráfica de la función polinómica de 2º grado.

         Partiendo del caso más sencillo,  f(x)=x2, se estudian los distintos tipos de funciones de 2º grado estableciendo una relación de traslaciones con el caso inicial.

         Se van a tratar los aspectos fundamentales de la función cuadrática: expresión algebraica y gráfica, así como sus características principales.

 

             Para enfrentarse a la unidad los alumnos deben conocer:

-         La interpretación de funciones en general y sus características.

-         La elaboración de tablas de datos a partir de una expresión algebraica sencilla.

-         Unas  nociones  mínimas  sobre  cómo  representar unos ejes  de  coordenadas  cartesianas (perpendiculares entre sí y todas las unidades del mismo

     tamaño), además de representar pares ordenados (x, y), donde el primer valor se mide en el eje horizontal y el segundo en el vertical.

 

    Al finalizar la unidad, los alumnos deben imaginarse la gráfica con sólo ver la  expresión  analítica, así como conocer las principales características de las 

funciones cuadráticas y saberlas representar.

 


objetivos
 

 

Ø   Reconocer una función cuadrática por su expresión algebraica ó por su gráfica.

Ø   Saber el aspecto que va a tener la gráfica de una función polinómica de segundo grado a partir de su expresión algebraica.

Ø   Desarrollar la  capacidad  de  obtener algunos de los elementos  que  las  caracterizan e intuir su  gráfica  concreta (dar la expresión  algebraica de la

    función que se quiera analizar).

Ø   Identificar y obtener los elementos que caracterizan la parábola a la hora de representarla: vértice, eje de simetría  y puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Ø   Representar gráficamente cualquier función cuadrática y asociar la gráfica de una función de 2º grado a una parábola.

Ø   Ser capaz de dar una interpretación al menos elemental de la información suministrada por una gráfica.

Ø   Aprender a describir cualitativamente las propiedades de las funciones a partir de la gráfica de la función.

Ø   Adquirir una idea intuitiva de las propiedades de las funciones.

Ø   Calcular el dominio, imagen, variación y tendencia de una función cuadrática.

Ø   Saber representar cualquier función cuadrática, mediante traslaciones, partiendo de la gráfica de f(x)=x2.

Ø   Establecer semejanzas y diferencias entre las gráficas de dos funciones de 2º grado a partir de sus coeficientes.

 



  

     Experimenta

 

   Deberás ser tú, quién vaya escribiendo en tu cuaderno las propiedades, a partir de las cuestiones y la experimentación que te proponemos a continuación.

 

 

    La función cuadrática     f(x)=ax2


 

 

             Empecemos por la ecuación más simple  f(x)=x2

         La gráfica asociada puedes observarla en la siguiente escena: 

 

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         Analiza la gráfica anterior y trata de hacer, en tu cuaderno, una relación de todas las peculiaridades de esa gráfica:

              - ¿Cómo definirías su forma?

              - ¿Tiene algún tipo de simetría?

              - ¿Hay algún punto que te llame la atención especialmente?

 

             Cambia los valores de a  en la siguiente escena y observa la forma de las parábolas que resultan.   De esta manera obtienes una familia de parábolas.

 

 

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Ø   Dale valores diferentes al parámetro a y observa: ¿Qué tienen en común las parábolas con a>0?  ¿Qué tienen en común las parábolas con a<0?

Ø  Dale valores diferentes y positivos al parámetro a, ordenados de menor a mayor.  Anota lo que vas observando.

Ø  Dale valores diferentes y negativos al parámetro a, ordenados de menor a mayor.  Anota lo que vas observando.

Ø   ¿Cuál es el punto más bajo de las parábolas con a>0? ¿y el de las que tienen a>0?

Ø   ¿Qué sucede cuando variamos el único parámetro de la ecuación anterior?

Ø   ¿Cómo influye el valor de a y su signo en la forma de la gráfica? 

Ø   ¿Eres capaz de escribir por qué recta habría que doblar la figura anterior, para que las dos ramas queden superpuestas?

 

 

              Compara los resultados obtenidos con la curva inicial f(x)=x2

Ø   ¿Se modifica el vértice de la parábola?

Ø   Indica en tu cuaderno los cambios observados.

 

  

    Para terminar este apartado, y antes de comenzar el siguiente, conviene  que  escribas  las  respuestas y  algún  ejemplo,  en  tu  cuaderno  de  matemáticas

(puedes utilizar colores diferentes).

 


        Reflexiones del profesor:

 

             El punto más alto o más bajo de una parábola se llama  vértice  de la parábola.   Fíjate que  odas  estas  parábolas  tienen  el  mismo vértice: el  origen de

        coordenadas O(0,0).   

            Date cuenta que si  x=0  entonces  y=a02=0.  Por cierto, comprueba, que todas estas parábolas cortan siempre, y en un único punto, al eje X; ese punto es el

        origen de coordenadas.

            A la recta por la que,  doblando el papel,  permitiría superponer las dos mitades o ramas de la parábola se le llama  eje de simetría.   La parábola  es  una

       curva simétrica, de modo que, dibujando una mitad hasta el vértice, podemos obtener la otra rama como si de un espejo se tratara. Puedes comprobarlo también

       de forma analítica observando la siguiente tabla:

            Al variar, en la gráfica anterior, los valores de a se comprueba que la parábola sigue siendo simétrica.

        1.- Observa que si damos al parámetro  "a"  valores cada vez más grandes la función se  ESTRECHA,  pero  si  le  damos  valores  cada  vez  más  pequeñas  se

             ENSANCHA.  El grado de abertura está determinado por el valor de a.

        2.- Nota que en todos los casos, independientemente del valor que tome a, las parábolas pasan por el origen de coordenadas, que es el punto de menor ordenada

             de la curva y se llama VÉRTICE DE LA PARÁBOLA, es el punto donde alcanza el valor máximo o mínimo.

        3.- Comprueba que el DOMINIO de ambas funciones, como el dominio de cualquier polinomio, es todo R.

        4.- Verifica que sin embargo el  CONJUNTO  IMAGEN  o  RECORRIDO  de las funciones varía.   Para la primera ( y=ax2) son los reales positivos; y para la

             segunda (y=-ax2), es decir, cuando el coeficiente de la x2 es negativo, son los reales negativos.

        5.- Por último, hemos de fijarnos en que las funciones y=ax2 e y=-ax2 son SIMÉTRICAS respecto al eje de abscisas.

 

 

   Características de la funciones de segundo grado del tipo f(x) = ax2 donde a es número real distinto de cero.

  • Su representación gráfica es una parábola.
  • El vértice de la parábola está en el punto (0,0).
  • El eje de ordenadas es el eje de simetría de la parábola.
  • La parábola tiene un mínimo en su vértice si a > 0 y un máximo si a < 0; por tanto, si a > 0 se abre hacia arriba, y si a < 0 se abre hacia abajo.
  • Cuanto más pequeño es el valor absoluto del coeficiente a, más abierta es la parábola, y cuanto más grande es a más cerrada es la parábola.
  • Las gráficas de las funciones y = ax2 e y = -ax2 son simétricas respecto al eje OX .

 

 

 

 


    La función cuadrática     f(x)=ax2+c


 

 

 

             Igual que en el caso anterior deberás ser tú, quién vaya escribiendo en su cuaderno las propiedades, a partir de las cuestiones  y la  experimentación que te

        proponemos a continuación: 

 

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               Ø     Dale valores distintos, positivos y negativos, al parámetro c, sin cambiar el valor del parámetro a, y observa. ¿Qué sucede con la parábola?

            Ø     Dale ahora valores distintos al parámetro a, sin cambiar el valor del parámetro c, y observa. ¿Qué sucede con la parábola?

            Ø     Si a>0, ¿qué ocurre con la parábola según c va siendo mayor? ¿Y si ahora es a<0?

            Ø     Escribe las coordenadas del vértice de varias parábolas con valores de  c  distintos.   ¿Qué relación encuentras entre las  coordenadas  del  vértice y el

                  valor de c?

            Ø     ¿Para qué valores, o valor, de c, corta la parábola al eje X?

            Ø     ¿Cuál es el eje de simetría de estas parábolas?

            Ø     Haz una traslación de la gráfica de y = 2x2 cuatro unidades hacia arriba.  ¿Cuál es la ecuación de la nueva parábola?  ¿Cuál es el vértice de esa gráfica?

                 ¿Cuál es su eje se simetría?  Lo mismo con una traslación cuatro unidades hacia abajo.

           Ø      Igual que antes hemos considerado valores de x simétricos respecto al vértice.  Cambia los valores de a y c para comprobar las simetrías.

           Ø      Busca cuatro parejas de puntos simétricos, en algunas de las parábolas que dibujes, y escríbelos en tu cuaderno.

         Ø      Modifica, en la escena anterior,  el valor de los parámetros y observa la gráfica asociada a dichas funciones.

           Ø      Compara la gráfica de y=x2 con la de y=x2+3. ¿Qué observas?  ¿Se modifica el vértice de la parábola?  ¿Y el eje de simetría?.

 

 

        Anota en tu cuaderno las conclusiones.

               Ø      Prueba para otros valores de a y c.

               Ø      ¿Qué efecto produce el valor de c en la gráfica de la función? 

 

 

   Para  terminar este apartado,  y antes de comenzar el siguiente,  conviene que,  si no lo has hecho,  escribas  las  respuestas y algún ejemplo,  en tu cuaderno

de matemáticas (puedes utilizar colores diferentes).

 


        Reflexiones del profesor:

 

            Observa que estas parábolas se obtienen trasladando la gráfica y=x2,  c  unidades en la dirección del eje de ordenadas, es decir, el eje Y.

            Partiendo de la gráfica de la función  y = ax2   se puede dibujar la de cualquier función del tipo   y = ax2 + c   desplazando  c  unidades hacia arriba o hacia

        abajo según sea el signo de c.   A este movimiento de desplazamiento se le llama traslación.    Las gráficas de las dos funciones siguen teniendo la misma forma,

        lo único que hicimos es cambiarla de sitio.

 

 

Características de la funciones de segundo grado tipo f(x) = ax2+c donde a y c son números reales distintos de cero.

  • Su representación gráfica es una parábola.
  • El vértice de la parábola está en el punto (0,c).
  • El eje de ordenadas es el eje de simetría de la parábola.
  • La parábola tiene un mínimo en su vértice si a > 0 y un máximo si a < 0; por tanto, si a > 0 se abre hacia arriba, y si a < 0 se abre hacia abajo.
  • Cuanto más pequeño es el valor absoluto del coeficiente a, más abierta es la parábola, y cuanto más grande es a más cerrada es la parábola.
  • Las gráficas de las funciones y = ax2+c e y = -ax2+c son simétricas respecto al eje OX.

 

 

 

 

 


    La función cuadrática     f(x)=ax2+bx


 

 

              Ya estás acostumbrado: deberás ser tú, quién vaya escribiendo en su cuaderno las propiedades, a partir de las cuestiones y la experimentación que te

        proponemos a continuación:   

 

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           Ø      Dale valores al parámetro b diferentes al valor inicial que, como puedes ver es 0. ¿Qué ocurre con la parábola?

           Ø      Más en concreto: ¿qué ocurre si los valores de b son positivos? ¿y si son negativos?

         Ø      Repite las dos cuestiones anteriores, pero cambiando previamente el valor del parámetro a, (dale valores positivos y negativos).

         Ø      Comprueba que, ahora, la parábola corta al eje X en dos puntos salvo cuando b=0.   Es fácil ver cuales son las coordenadas de uno de los puntos.

         Ø      Comprueba que las coordenadas de los puntos de corte entre la  parábola y el  eje  X  son los que hemos obtenido.  (Verifícalo  para  diferentes  valores

                  de a y b).

         Ø      ¿Eres capaz de encontrar qué relación existe entre la abscisa del vértice y las abscisas de los puntos de corte con el eje X?

           Ø      Dale diferentes valores a los parámetros a y b ¿cuál es ahora el eje de simetría?

         Ø      Busca cuatro parejas de puntos simétricos, en algunas de las parábolas que dibujes, y escríbelos en tu cuaderno.

 

 

   Para  terminar  este  apartado,  y antes de comenzar el siguiente,  conviene que,  si no lo has hecho,  escribas las respuestas y algún ejemplo,  en tu cuaderno

de matemáticas (puedes utilizar colores diferentes).

 


 

        Reflexiones del profesor:

         

        Habrás podido observar que los  puntos  de  corte con el  eje  X, al estar sobre dicho eje, deben tener su coordenada  y=0;  es decir  deben  verificar  que

   ax2+bx=0, si resolvemos esta ecuación, obtendremos los valores de x  a los que les corresponde  y=0: podemos sacar factor común y tendremos  (ax+b)x=0;

   una de las soluciones es  x=0,  con lo cual, uno de los puntos de corte es el origen de coordenadas  O(0,0).    La otra solución se obtendrá a partir de   ax+b=0,

   es decir  ax=-b  y por tanto  x=-b/a, lo que implica que el otro punto de corte tendrá de coordenadas  (-b/a,0).   Observa que la gráfica siempre corta a los

   ejes en los puntos (0,0) y (-b/a , 0).

        Habrás observado que la abscisa del vértice es justo el punto medio de los dos puntos de corte con el eje X; es decir es x=-b/2a.

        Para observar las simetrías, seguimos el mismo método que en los casos anteriores: tomamos abscisas simétricas respecto a la abscisa del vértice.

   Fíjate que ahora la abscisa del vértice no es x=0, sino x=-b/2a. Hemos tomado los valores siguientes: -b/2a+1, -b/2a-1, -b/2a+2 y -b/2a-2.

 

Características de la funciones de segundo grado tipo f(x) = ax2+bx donde a y b son números reales distintos de cero.

  • Su representación gráfica es una parábola.
  • El vértice de la parábola está en el punto  (-b/(2a),f(-b/(2a))).
  • La recta x=-b/2a es el eje de simetría de la parábola que divide a la curva en dos partes simétricas.
  • La parábola tiene un mínimo en su vértice si a > 0 y un máximo si a < 0; por tanto, si a > 0 se abre hacia arriba, y si a < 0 se abre hacia abajo.
  • Cuanto más pequeño es el valor absoluto del coeficiente a, más abierta es la parábola, y cuanto más grande es a más cerrada es la parábola.
  • Los puntos de corte con los ejes serán los puntos (0,0) y  (-b/a,0).

 

 

 

 


    La función cuadrática     f(x)=ax2+bx+c


 

 

             Vamos a ver, por fin, la ecuación completa de la parábola, es decir la parábola cuya ecuación es  y=ax2+bx+c, donde a, b y c son números reales distintos

        de cero.

             Una vez más,  vamos a tomar como punto de partida el caso anterior,  la parábola  de  ecuación  y=ax2+bx.   Te proponemos, de nuevo,  que  seas  tú  quién,

        experimentando con las pautas que te proponemos, descubras y escribas en tu cuaderno las propiedades y ejemplos:   

 

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       Ø     Dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con la gráfica de la parábola?

       Ø     Cambia ahora los valores de los otros dos parámetros,  a  y b; ahora, para esos valores fijos de  b;  dale diferentes valores al parámetro  c,  ¿qué

            ocurre con la gráfica de la parábola? Repite los pasos anteriores varias veces.

       Ø     Puedes variar los diferentes parámetros de la parábola e ir observando cómo y dónde están los puntos de corte con el eje X.

       Ø     Varía los valores de  c   hasta que la  parábola  no corte al  eje X.  ¿Qué es lo que ocurre?   (Te sugerimos que escribas en un tu cuaderno la ecuación de

            la parábola que no corta al eje X e intentes resolverla ¿puedes?).

       Ø     Varía los valores de  c  hasta que la parábola corte al  eje X  en un  único  punto.  ¿Qué es lo que ocurre?   (Te sugerimos que escribas en un tu cuaderno

             la ecuación de la parábola que corta al eje X en un único punto e intentes resolverla ¿cuántas soluciones obtienes?).

    Ø      Varía los valores de c hasta que la parábola corte al eje X en dos puntos. ¿Qué es lo que ocurre? (Te sugerimos que escribas en un tu cuaderno la

             ecuación de la parábola que corta al eje X en dos puntos e intentes resolverla ¿cuántas soluciones obtienes?).

    Ø      Deja fijos los valores de los parámetros a y b y dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con el eje de simetría de estas parábolas?

    Ø      Dale ahora otro par de valores a los parámetros a y b, y vuelve a darle diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con estas parábolas?

    Ø      ¿Qué relación observas entre el eje de simetría de la parábola de ecuación y=ax2+bx+c y el de la parábola de ecuación y=ax2+bx?

    Ø      ¿Cuál es la abscisa de todos los puntos del eje de simetría de la parábola?

    Ø      Con los valores fijos de los parámetros  a y b, dale diferentes valores al parámetro c.  Comprueba cuáles son las coordenadas del vértice.  Haz lo mismo

            para valores distintos de a, b y c.   ¿Observas alguna relación entre el punto de corte con el eje de ordenadas y el valor del parámetro c?

 


 

    Para  terminar  este  apartado,  y antes de comenzar el siguiente, conviene que,  si no lo has hecho,  escribas las respuestas y algún ejemplo,  en tu cuaderno

de matemáticas (puedes utilizar colores diferentes).

 


        Reflexiones del profesor:

 

        1.- La función  y=a x2+bx+c  no es más que una traslación de la función y=a x2+bx, con lo que ya tenemos determinada la forma gráfica de cualquier parábola.

        2.- Su gráfica es una curva con dos ramas, una creciente y otra decreciente, que se llama parábola.

        3.- Si  a>0  la  parábola está orientada hacia arriba y si  a<0  la parábola está orientada hacia abajo.   Además, cuanto mayor es  "a"  (en valor absoluto) más

              cerrada está la parábola y cuanto menor es "a" más abierta está.   Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más estilizada es la parábola.

        4.- El valor de "c" indica la traslación de la parábola.

        5.- Corte con el eje X: Al igual que en el caso anterior, habrás podido observar que los puntos de corte con el eje X, al estar sobre dicho eje, deben tener su

             coordenada y=0; es decir deben verificar que ax2+bx+c=0; de tal modo que las abscisas x1 y x2, de los puntos en que la parábola corta al eje X, serán caso

             de existir, las soluciones de esta ecuación de segundo grado.

        6.- Con el eje OY siempre hay un punto de corte que es  I(0,f(0)).

        7.- La abcisa del vértice de la parábola se calcula hallando  -b/(2a)  y la ordenada es la imagen de  -b/(2a).   Hemos visto que la función   y = a x2+bx  corta al

             eje x en los puntos de abcisa 0 y -b/a.  Debido a la simetría que tienen las parábolas concluimos que la abcisa del vértice tiene que ser el punto medio entre

             0  y -b/a, con lo que obtenemos que  -b/(2a)  es la abcisa del vértice.    El  vértice de una parábola es el punto en el que la función pasa de ser creciente a

             decreciente, o viceversa.

        8.- El eje de la parábola es su eje de simetría (si doblamos la grafica de la parábola por su eje las ramas de se unen).   El eje tiene por ecuación a x=-b/2a.

        9.- Una vez  calculado el vértice,  el resto de valores de la  parábola se obtienen dando valores a  "x"  que sean cercanos al  vértice.   Sólo hay que dar valores

             hacia un lado del vértice (recuerda que las parábolas son simétricas respecto al eje vertical que pasa por el vértice).

        10.- Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente de  x,  las parábolas correspondientes son idénticas,  aunque  pueden estar situadas en  posiciones

              distintas.

 

Características de la funciones de segundo grado del tipo f(x) = ax2+bx+c donde a, b y c son números reales distintos de cero.

  • Su representación gráfica es una parábola.
  • El vértice de la parábola está en el punto (-b/(2a),f(-b/(2a))).
  • La recta x=-b/(2aes el eje de simetría de la parábola que divide a la curva en dos partes simétricas.
  • La parábola tiene un mínimo en su vértice si a > 0 y un máximo si a < 0; por tanto, si a > 0 se abre hacia arriba (cóncava), y si a < 0 se abre hacia abajo (convexa).
  • Cuanto más pequeño es el valor absoluto del coeficiente a, más abierta es la parábola, y cuanto más grande es a más cerrada es la parábola.
  • Los puntos de corte con los ejes serán los puntos (0,f(0)),  ((-b+√(b2-4ac))/(2a),0)  y  ((-b-√(b2-4ac))/(2a),0)  si tiene dos soluciones o el punto (0,f(0))   y  (-b/(2a),0)  si tiene una.
  • El DOMINIO es todo R.
  • El CONJUNTO IMAGEN o RECORRIDO de las funciones varía. Si a > 0 es   [-b/(2a),+)   y si a < 0 es  (-,-b/(2a)].

 

 

 

 

    


Representación gráfica de la parábola y=ax2+bx+c

 

        Ya hemos estudiado la parábola completa paso a paso, de modo que, a estas alturas debemos conocerla bastante bien en todos sus detalles.

   Se puede aprovechar todo lo anterior (simetría, vértice, corte con los ejes,...) para representar de forma sencilla y eficaz cualquier parábola. En efecto, para

   una parábola de ecuación y=ax2+bx+c, podemos seguir los siguientes pasos:

        1.- Saber si las ramas de la parábola van hacia arriba o hacia abajo  ¿Recuerdas de qué depende?  (Si no lo recuerdas puedes repasar la parábola de ecuación

             y=ax2).

        2.- ¿Corta, la parábola, al  eje X?  En caso afirmativo calcula las  coordenadas de los puntos de corte.   ¿Recuerdas cómo se hace?  (Si no lo recuerdas puedes

              repasar la parábola de ecuación y=ax2+bx+c).

        3.- Calcula las coordenadas del vértice (Si no lo recuerdas puedes repasar la parábola de ecuación y=ax2+bx+c).

        4.- Aprovechando la  simetría de la  parábola puedes construir una tabla de puntos de la misma.  Como los puntos son  simétricos respecto del  eje de  simetría,

             puedes construir la tabla tomando abscisas que sean simétricas respecto de la abscisa  xo  del vértice, por ejemplo  xo-1,  xo+1 xo-2,  xo+2; es decir, 

             que disten lo mismo por la izquierda y por la derecha del vértice; las ordenadas de estas parejas de puntos deben tener el mismo valor.  (Si no lo recuerdas

             puedes repasar la parábola de ecuación y=ax2+bx).

        5.- Si la parábola corta a los ejes, representa también estos puntos de corte.   (Si no lo recuerdas puedes repasar la parábola de ecuación y=ax2+bx+c).

        6.- Por último, recuerda que la parábola nunca tiene un pico en su vértice.

 

        

   Debes practicar en tu cuaderno y comprobar tus resultados con la escena siguiente:    

 

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Estudio de los coeficientes de la función cuadrática f(x)=ax2+bx+c

 

        Como ya sabemos la función cuadrática    f(x)=ax2+bx+c  (a distinto de cero) nos representa en un sistema de coordenadas  cartesianas  rectangulares a una

   parábola.

             La forma de dicha parábola y su situación respecto a los ejes coordenados podemos comprobar que dependen de los coeficientes  a,  b y c.  En los siguientes

        apartados podrás observar y sacar tus propias conclusiones.

            Tenemos que exigir que  a sea distinto de cero, ya que de lo contrario su gráfica no se trataría de una parábola, sería una recta y dejaría de ser una función

        cuadrática (su grado no sería 2 al ser nulo el término en x2).

1) Como influye el coeficiente "a".

   Para ver como influye el coeficiente  "a", vamos a partir de la parábola de ecuación  y = a x2  (es decir, estamos haciendo que b y c sean cero), y tratar de

        ver que sucede cuando aumentamos o disminuimos el valor de a. También se debe comprobar que sucede cuando a es positivo  y cuando a es negativo.

 

  

Contesta en tu cuaderno:

1. ¿Qué ocurre cuándo el valor de a aumenta? ¿Y cuándo disminuye?

2. ¿Qué diferencias observas entre los valores de a positivos y negativos?

 


        Reflexiones del profesor:

 

        * Si a aumenta en valor absoluto las ramas de la parábola se cierran aproximándose una a la otra.  Compruébalo utilizando la escena.  La parábola tiende a ser

           una recta vertical.

        * Si a disminuye en valor absoluto las ramas de la parábola se abren alejándose la una de la otra.  Compruébalo utilizando la escena.  La parábola tiende a ser

           una recta horizontal.

        * Si a>0 la parábola es cóncava hacia arriba (cóncava).  En el vértice la parábola alcanza un mínimo, es decir pasa de ser decreciente a creciente. Comprueba

           esta afirmación utilizando la escena, arrastra el punto P (que se encuentra sobre la parábola) de izquierda a derecha y observa las ordenadas.

        * Si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo (convexa).  En el vértice la parábola alcanza un máximo, es decir pasa de ser creciente a decreciente.  Comprueba

           esta afirmación utilizando la escena, arrastra el punto P (que se encuentra sobre la parábola) de izquierda a derecha y observa las ordenadas.

 

      2) Como influye el coeficiente b.

            Para ver como influye el coeficiente "b", vamos a partir de la parábola de ecuación  y = a x2 + b x  (es decir, estamos haciendo que  c sean cero), y tratar

        de ver que sucede cuando fijamos un determinado valor de  a  y aumentamos o disminuimos el valor de  b.   También debe comprobarse que sucede cuando  a  es

        positivo  y cuando  a  es negativo.

        ¿Qué sucede con los puntos de corte con los ejes?  ¿Se modifica el aspecto de la parábola o no?  ¿No se habrá producido simplemente una traslación de ella?

 

  

Contesta en tu cuaderno:

         3.- Si a permanece constante y hacemos cambiar el valor de b, ¿varía la forma de la parábola? ¿Varía su posición?

 


        Reflexiones del profesor:

 

            El valor de b traslada horizontal y verticalmente la parábola, realiza un desplazamiento del eje de simetría de la parábola hacia la izquierda si b>0, o hacia

       la derecha si b<0.

 

3) Como influye el coeficiente c.

            Para ver como influye el coeficiente  "c", vamos a partir de la parábola de ecuación   y = a x2 + b x + c, y tratar de ver que  sucede  cuando  fijamos  un

        determinado valor de a y de b y  aumentamos o disminuimos el valor de c

        ¿Sucede lo mismo en cuanto a la forma de la parábola que con lo sucedido al variar el parámetro b

  

Contesta en tu cuaderno:

4.- ¿Qué ocurre si mantenemos fijos a y b y hacemos variar c?

5.- ¿Observas alguna relación entre el punto de corte con el eje de ordenadas y el valor del parámetro c?

 


        Reflexiones del profesor:

 

   El valor de  c  la traslada sólo verticalmente  jugando el mismo papel que  n  en la recta, pues indica la ordenada en el origen, es decir,  la altura a la que la

parábola pasa por el eje vertical.  Desplazamiento vertical de la parábola, c unidades hacia arriba si c>0, o c unidades hacia abajo si c<0.

 

   

     Belén Fernández Alfageme