EXCEL

INTEGRAL DEFINIDA

 

APROXIMACIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA.

 

Vamos a elaborar una hoja de cálculo con Excel para aproximar automáticamente la integral definida de una función en un intervalo dado. Para ello descomponemos el intervalo de integración [a,b] en 50 partes. Cada una será de amplitud h=(b-a)/50. Como aproximación del área bajo la curva (área con signo) tomaremos la suma de las áreas de los rectángulos construidos sobre cada uno de los intervalos de la partición de [a,b]. El área correspondiente a uno de estos intervalos [a_i , b_i] será h*f(a_i) o h*f(b_i) según tomemos como altura el valor de la función en el extremo izquierdo o derecho. Si la función es monótona (creciente o decreciente) el valor real de la integral definida se encontrará entre los dos valores obtenidos en la aproximación : Σ h*f(a_i) para “Int.def.izq” y Σ h*f(b_i) para “Int.def.dch”. Podemos mejorar la aproximación aumentando el número de divisiones del intervalo [a,b] o sustituyendo los rectángulos por trapecios. En este caso el área de cada trapecio vendrá dada por  h*(f(a_i)+ f(b_i))/2.

Considera .  Lo que pretendemos se muestra en el siguiente ejemplo:

 

 

 CONSTRUCCIÓN DE LA HOJA

 

Abre una nueva hoja de Excel e introduce en las primera celdas lo siguiente:

 

 

En la celda B2 introduciremos  el extremo inferior a del intervalo de integración, y en la celda B3 el extremo superior b. En B4 hallaremos la amplitud de cada uno de los 50 intervalos en que dividimos [a,b]. Por tanto introducimos la expresión =(B3-B2)/50. Este valor de h será el incremento que habrá que añadir a cada valor de x_i para obtener el siguiente. Los 50 valores de x se introducen desde A6 hasta A56. El primer valor coincide con la x inicial a ; por eso introducimos en la celda A6 la expresión =B2. Cada uno de los siguientes valores será igual al anterior (celda inmediatamente superior) más el incremento que figura en B4. Para ello bastaría introducir =A6+B4 en la celda A/ y rellenar hacia abajo hasta A56. Pero al hacerlo obtendríamos =A7+B5, =A8+B6, =A9+B7,.... Para evitar que cambie la referencia a B4 ( incremento) utilizamos el signo $. Por tanto introducimos =A6+B$4 en la celda A7, seleccionamos desde A7 hasta A56 y pulsamos CTRL.+J para rellenar hacia abajo. Comprueba que el último valor coincide con la x final b.

Cambia los valores de a y b en las celdas B2 y B3 y comprueba como cambian los valores de la columna A.

 

Para la función f(x)=x²+3 habría que introducir en la celda B6 la expresión =A6^2+3 y “rellenar hacia abajo” hasta B56. Pero como estamos acostumbrados a utilizar x (piensa  en la incomodidad para otras funciones de expresión más compleja) vamos a asignarle el “nombre” x a la celda A6. Para ello sitúa el cursor en la celda A6 y elige la opción Insertar-Nombre-Definir en el menú de la barra de herramientas. Te aparecerá una ventana.

Escribe x en la primera línea y =$A6 en la última línea denominada “Se refiere a:”. Escribe =$A6 en vez de la expresión que propone Excel por defecto, ya que incluye el signo $ delante del 6 y queremos que la referencia a x se actualice al “rellenar hacia abajo”.

 

 

Tras aceptar ya podemos introducir en B6 la expresión =x^2+3 ( o también x*x+3) y “rellenar hacia abajo” hasta B56. No olvides incluir el signo . Recuerda que Excel no puede interpretar 5x como 5*x.

 

Para crear un gráfico con la representación de la función y poder apreciar, entre otras cosas, las zonas de “área positiva y negativa” sigue los siguientes pasos:

• Selecciona las celdas comprendidas entre A6 y B56.
•  Elige la opción Insertar-Gráfico en el menú de la barra de herramientas.
• Marca la opción XY(Dispersión) y pulsa el último botón “Finalizar”. Puedes marcar la opción de puntos unidos por líneas suavizadas sin marcadores para mejorar el aspecto.

En la columnas C hallaremos el valor de la función f(x) en el extremo derecho xd de cada intervalo que coincidirá con el extremo izquierdo del intervalo siguiente: f(xdi)=f(xii+1). Por tanto bastará introducir en la celda C6 la expresión =B7 y “rellenar hacia abajo” hasta C55. No debes incluir C56 porque para el último valor f(x)=f(b) “no hay siguiente”.

En la columna D hallaremos la altura media de los rectángulos “a la izquierda” y “a la derecha” con los que obtendremos el área de los trapecios. Para ello introducimos en la celda D6 la expresión =(B6+C6)/2 y “rellenamos hacia abajo” hasta D55.

En las columnas E, F y G obtenemos las áreas de los rectángulos “a la izquierda”, “a la derecha” y de los trapecios correspondientes a cada intervalo de la partición. Lo hacemos multiplicando por h ( que figura en B4) los valores correspondientes de las columnas B, C y D.

En conclusión  introduce en la fila 6 lo siguiente:

 

 

A continuación selecciona desde B6 hasta G55  y “rellena hacia abajo” pulsando Ctrl.-J. Observa que la referencia a h se hace con B$4 para que no se “actualice” al rellenar hacia abajo. Pero también debes rellenar la celda B56 ( cópiala de B55 o rellena la columna B por separado).

Para obtener los resultados finales basta sumar los valores de las diferentes columnas. Para ello introduce en D2 la expresión =SUMA(E6:E55), en D3 la expresión =SUMA(F6:F55) y en D4 la expresión =SUMA(G6:G55).

 

PRÁCTICAS

 

• Aproxima la integral definida de f(x)=3*x en los intervalos [0,4] y  [1,4] y compruébalo hallando manualmente las áreas del triángulo y del trapecio correspondiente. Halla también la integral definida en [-2,4] y posteriormente en [-2,0] y en [0,4]. Relaciona los tres últimos resultados.
• Aproxima las siguientes integrales definidas:

 

                               Interprétalo.

Debes introducir =x^2-9 en B6.

 

              Debe ser la cuarta parte del área de un círculo de radio 3.

Debes introducir =RAIZ(9-x^2) en B6. Observa que en este caso no es fácil hallar una primitiva para aplicar la regla de Barrow.

 

       Se trata de la cuarta parte del área de una elipse de semiejes 3 y 4.

Debes introducir =4*RAIZ(1-x^2/9) en B6.

 

Debes introducir =SENO(x) en B6, 0 en B2 y =PI() en B3.

 

                                                       

Debes introducir en B6 las expresiones =1/(1+x^2) , =EXP(x) , =x^x , =LN(x) respectivamente. Observa que en los últimos casos no es fácil hallar una primitiva para aplicar la regla de Barrow.

 

                                           

Observa que se trata de una función no continua. ¿Es utilizable la hoja en estos casos? Piensa que ocurre si alguno de los puntos intermedios utilizados en la hoja corresponde a x=0. Aunque no sea así ¿pueden aceptarse los valores obtenidos?

• Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x)=x²-7 y g(x)=5x-3. Puedes introducir =(x^2-7)-(5*x-3) en B6 y considerar el intervalo [1,4]. Observa que ambas funciones coinciden para x=1 y x=4. Interpreta el signo del resultado.

 

• Halla el área encerrada por las gráficas de las funciones f(x)=x^2 y g(x)=x^3. Considera el intervalo [0,1].

 

• Propón otras funciones , halla los puntos de intersección de sus gráficas y obtén el área limitada por ellas. Puedes elegir de antemano los “puntos de corte” y añadir a cada función el término independiente que convenga. No elijas funciones discontinuas.

 

• Halla el área encerrada por la gráfica de la curva f(x)=x*(x+3)*(x-1)*(x-2) y el eje OX. Descompón el recinto en tres partes para x en [-3,0], en [0,1] y en [1,2], halla la integral en cada una de ellas y suma los resultados en valor absoluto.

Repite la práctica con otras funciones.

 

AMPLIACIÓN

 

• Puedes mejorar el aspecto de la hoja poniendo colores de fondo para distinguir mejor las diferentes columnas y la zona de datos iniciales y resultados, centrando el contenido de algunas celdas, coloreando las celdas que contienen títulos o etiquetas, etc.

 

• El aspecto más incómodo de la hoja surge al cambiar la función y tener que “rellenar hacia abajo”. Pero podemos automatizarlo con una “macro”. Se trata de grabar varias acciones y asignarlo a unas teclas ( por ejemplo CTRL.+f ) de forma que al pulsarlas se reproduzcan automáticamente todas las acciones grabadas. Para ello sigue los siguientes pasos:

Elige la opción Herramientas-Macro-Grabar nueva macro. Te aparecerá la siguiente ventana:

 

 

Introduce funcion en la primera línea para asignarle un nombre ( o asume el propuesto por Excel) e introduce f en la siguiente casilla para que la macro se active al pulsar CTRL.+f. Puedes elegir otra combinación de teclas pero muchas de ellas ya están preasignadas por Excel.

Pulsa Aceptar pero ten en cuenta que desde ese momento todas las acciones se grabarán como se indica en la línea inferior de la ventana de Excel. Por tanto realiza con atención las siguientes acciones:

• Sitúa el ratón en la celda B6 y selecciona desde B6 hasta B56 ( o hasta el final de los datos si has dividido el intervalo en más partes).
• Pulsa CTRL.+J para que se copie el contenido de la primera celda en todas las demás.
• Pulsa CTRL.+Inicio para situar el cursor en la primera celda.
• Elige la opción Herramientas-Macro-Detener grabación de la barra de herramientas y comprueba que el mensaje “Grabando” desaparece de la parte inferior de la ventana.

Ya has creado una macro. Para probarla sitúa el cursor en B6, introduce una nueva función ( por ejemplo =3*x^2-5*x+1) y pulsa Intro. A continuación pulsa CTRL.+f y comprueba que todo se actualiza.

La última acción incluida en la macro ( Ctrl.+Inicio) no es imprescindible pero es una buena recomendación acabar una macro sin dejar celdas seleccionadas o con el cursor “descolocado”.

Si no te ha salido bien vuelve a abrir el menú Herramientas-Macro, elige la macro creada y elimínala para comenzar de nuevo. Ten en cuenta que cualquier modificación posterior de la hoja ( como insertar filas o columnas) cambiará las referencias y la macro no actuará como esperamos.

NOTA: Al abrir una hoja con macros asignadas aparecerá un mensaje de aviso solicitando tu aceptación para habilitar las macros. Las macros desconocidas pueden ser un vehículo de transmisión de virus. Por ello debes tener cuidado. Si tienes alguna noción de Visual Basic podrás comprobar que la macro creada se reduce a lo siguiente:

 

 

• También puedes añadir un comentario de ayuda que aparezca al pasar el ratón por alguna celda. Por ejemplo sitúa el cursor en la celda B6 y elige la opción Insertar-Comentario en la barra de herramientas de la parte superior de la ventana y escribe:”Introduce aquí la función f(x) y rellena hacia abajo” o “Pulsa Ctrl.-f  para rellenar hacia abajo”..

 

• Para obtener más precisión puedes incorporar más puntos y considerar 100 ó más en vez de 50. Es preferible que elimines el gráfico actual y lo vuelvas a crear que introducir las modificaciones pertinentes en el gráfico actual. También debes modificar la macro creada o eliminarla y volverla a crear incluyendo las nuevas celdas de la columna B.

 

• Puedes modificar la hoja añadiendo una celda donde introducir la expresión de una primitiva sf(x) de la función f(x) y obtener a partir de ella el valor real de la integral definida mediante la regla de Barrow.

En la siguiente figura se muestra el caso de f(x)=3x2-4x+1 en [2,8]. Para aplicar la regla de Barrow se ha introducido una primitiva =x^3-2x^2+x en la celda F2 ( y se ha copiado a la celda inferior F3).

 

 

Dado que la definición de x con el procedimiento de “Insertar Nombre” se refiere al valor situado en la primera columna de cada fila conviene “mover” los valores de a y b para que la expresión de la primitiva introducida en F2 y F3 pueda escribirse también en función de x, aunque ello suponga rehacer la expresión de A6 que debe ser =A2 en vez de =B2.

No olvides que tras introducir la función primitiva en F2 hay que copiarla también en F3. Basta arrastrar a F3 el cuadradito inferior derecho de la celda F2.

Finalmente basta introducir en F4 la expresión =F3-F2 para aplicar la regla de Barrow.

Puedes añadir un comentario en la celda F2.

 

En el archivo intdefinida.xls se muestra una hoja ya elaborada con las indicaciones que se proponen.

---