CONSTRUCCIONES


  .Construcciones, divisiones, transposiciones, ... con palillos, cerillas, monedas, triángulos, cuadrados, trapecios, polígonos, etc.

 1.    LOS SEIS PALILLOS. Con seis palillos iguales formar cuatro triángulos equiláteros.

 2.    LOS SEIS CUADRADOS. Formar con 12 cerillas 6 cuadrados iguales.

 3.    SEIS SOLDADOS, SEIS FILAS. Formar 6 filas, de 6 soldados cada una, empleando para ello 24 soldados.

 4.    DOS FILAS, TRES MONEDAS. Colocar 4 monedas como si fueran los vértices de un cuadrado. Moviendo sólo una de ellas, conseguir dos filas con tres monedas cada una.

 5.    LAS DOCE MONEDAS. Con 12 monedas formamos un cuadrado, de tal modo que en cada lado haya 4 monedas. Se trata de disponerlas igualmente formando un cuadrado, pero con 5 monedas en cada lado del cuadrado.

 6.    ALTERACIÓN DEL ORDEN. En una hilera hay 6 vasos. Los 3 primeros están llenos de vino y los 3 siguientes, vacíos. Se trata de conseguir, moviendo un solo vaso, que los vasos vacíos se alternen en la fila con los llenos.

 7.    ALTERNANDO VASOS CON VINO Y VACÍOS. En una hilera hay diez vasos. Los cinco primeros están llenos de vino y los cinco siguientes, vacíos. Para formar con ellos una hilera donde los vasos llenos y los vacíos se vayan alternando, sin mover más de cuatro vasos, basta con permutar entre sí los vasos segundo y séptimo, y después, el cuarto con el noveno. ¿Y por qué mover cuatro vasos? ¿Sabría Vd. hacerlo moviendo sólo dos vasos?

 8.    LAS 55 PESETAS. Se hace una hilera con tres monedas, dos de 25 ptas. y una de 5 ptas. en medio de las anteriores. ¿Cómo quitar la de 5 ptas. del medio sin moverla?

 9.    TRES MONEDAS Y UNA LÍNEA. Dibujar una línea recta en una hoja de papel y tratar de colocar tres monedas de manera que las superficies de dos caras estén por completo a la derecha de la línea y las de dos cruces totalmente a su izquierda.

10.    MONTONES CON LOS MELONES. Poner veinte melones en cinco montones que sean todos nones.

11.    DIVISIÓN DE LA TARTA. Dividir la clásica tarta cilíndrica en 8 trozos iguales, mediante 3 cortes.

12.    CON TRES RAYAS. ¿Sabría Vd. dibujar un cuadrado con tres rayas iguales?

13.    ¡CUIDADO! NO TE QUEMES. Hacer un cubo con 5 fósforos sin doblarlos ni quebrarlos.

14.    CONVERTIR TRES EN CUATRO. Sin romperse mucho la cabeza, y sin romper ninguna cerilla convierta tres cerillas en cuatro.

15.    DIFICULTADES PARA EL JARDINERO. ¿Cómo se plantarán 10 árboles en 5 filas de 4 árboles cada una?

16.    LOS CUATRO ÁRBOLES. ¿Podría Vd. plantar cuatro árboles de manera que hubiese la misma distancia entre todos ellos? ¿Cómo lo haría?

17.    10 SOLDADOS EN 5 FILAS DE 4. ¿Cómo distribuir 10 soldados en cinco filas de 4 soldados cada una?

18.    MEJOREMOS EL SIX DE FIXX. En su libro "Más juegos para los superinteligentes", James F. Fixx propone este problema: Mediante una sola línea, convertir la siguiente cifra (escrita en números romanos) en un número par, IX. La solución que da es SIX, lo que no nos vale en nuestro caso, ya que como españoles SIX no nos dice nada. Sin embargo existe una solución absolutamente correcta, utilizando un trazo recto y, por tanto válida para todos. ¿Cuál es?

19.    MÁS CUADRADOS. ¿Cuantos cuadrados hay en el tablero de ajedrez de 8x8 casillas? ¿Y, en un tablero de 6x6 casillas?

20.    ELIMINANDO DOS X. Carlos y su amigo Eduardo se han apostado una cena, y la ganará el que consiga dejar cuatro cuadrados perfectos eliminando sólo dos x. ¿Se atreve Vd. a apostar también?

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

21.    LAS 6 MONEDAS. Tenemos 6 monedas dispuestas como en la figura. Cambiando la posición de una sola moneda, ¿se pueden formar dos filas que tengan 4 monedas cada una?

O

O

O

O

 

O

 

 

 

O

 

 

22.    LOS 4 + 4 LISTONES. Tenemos 4 pequeños listones de madera que por ser iguales se puede formar con ellos un cuadrado. También tenemos otros 4 listones iguales, pero de doble tamaño que los anteriores; evidentemente, con éstos también se puede formar otro cuadrado más grande que el anterior. Lo que pretendemos ahora es formar con los 8 listones tres cuadrados iguales. ¿Cómo lo conseguiría Vd.?

23.    RECTÁNGULO SOMBREADO. Se dibuja un rectángulo en papel cuadriculado y se sombrean las casillas del contorno. El número de casillas sombreadas será menor, igual o mayor que el número de casillas blancas del interior. ¿Será posible dibujar un rectángulo de proporciones tales que el borde (de una casilla de anchura) contenga número igual de cuadros que el rectángulo blanco interior? De ser así, hallar todas las soluciones.

24.    DEL 1 AL 8. Escribir en cada cuadradito los números del 1 al 8, con la condición de que la diferencia entre dos números vecinos no sea nunca menor que 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

25.    DEL 0 AL 9. Colocar un dígito en cada casilla de manera que el número de la primera casilla indique la cantidad de ceros del total de casillas, el de la segunda la cantidad de unos, el tercero la cantidad de doses, ..., el décimo la cantidad de nueves.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

26.    DEL 1 AL 8 DISTRIBUCIÓN (1). Distribuir los números 1 al 8 en las ocho marcas (X) de la figura, con la condición de que no puede haber dos números consecutivos en huecos adyacentes.

 

X

 

X

X

X

X

X

X

 

X

 

         Encontrar la solución sin un procedimiento lógico, no es sencillo.

27.    DEL 1 AL 8 DISTRIBUCIÓN (2). Distribuir los números 1 al 8 en las ocho marcas (X) de la figura, con la condición de que no puede haber dos números consecutivos en huecos adyacentes.

X

X

X

X

X

X

X

X

28.    DEL 1 AL 8 DISTRIBUCIÓN (3). Distribuir los números 1 al 8 en las ocho marcas (X) de la figura, con la condición de que no puede haber dos números consecutivos en huecos adyacentes.

 

 

X

 

 

X

X

X

X

X

 

 

X

 

 

 

 

X

 

 

29.    CAMBIANDO UN DÍGITO. 53 - 54 = 1. Cambiando un solo carácter de posición obtener una igualdad numérica.

30.    SUSTITUYENDO. Utiliza los dígitos del 1 al 8 y sustituye por ellos las letras A y B. Los que pongas en B deben ser la suma de sus dos "A" vecinas.

A

A

B

 

B

A

A

31.    CAMBIANDO SÓLO UN DÍGITO. 62 - 63 = 1. Cambiando un solo dígito de posición obtener una igualdad numérica.

32.    BOCA ABAJO Y BOCA ARRIBA. Tenemos sobre la mesa una hilera de copas. Hay 5 boca arriba alternándose con 4 que están boca abajo.

         Se trata de ir dando vuelta a las copas, siempre de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 boca arriba y 5 boca abajo. ¿Será Vd. capaz de conseguirlo?

33.    ACOMODANDO BOLAS. ¿Será Vd. capaz de colocar las 15 bolas numeradas de un billar americano, formando un triángulo equilátero, de forma que mirando desde un vértice, cada bola sea la resta de las dos bolas tangentes inmediatamente posteriores a ella?
       Nota: Se puede restar de la bola de la izquierda la bola de la derecha y viceversa.

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34.   EL CUBO DE PRIMOS (1). En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los dos de cada arista sea un número primo.

 

35.   EL CUBO DE PRIMOS (2). En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los cuatro de cada cara sea un número primo.

36.    UN CUADRADO Y DOS TRIÁNGULOS. ¿Cuál es el número máximo de parcelas que pueden delimitarse en un prado con una cerca de alambre cuadrada y dos triangulares?
 

37.   LOS CUATRO AROS MÁGICOS. Coloque los números del 1 al 12 en los pequeños círculos de modo que cada aro sume lo mismo. Hay 4 aros, cada uno engarza 6 círculos. Es preferible pensar a tantear.

 

38   HEXÁGONOS NUMÉRICOS (1). Sitúe los números del 1 al 19 en los pequeños círculos de manera que cada hilera de tres (es decir, las hileras del perímetro, y también las seis hileras que parten del centro) sumen 22.

 

39.   HEXÁGONOS NUMÉRICOS (2). Sitúe los números del 1 al 19 en los pequeños círculos de manera que cada hilera de tres (es decir, las hileras del perímetro, y también las seis hileras que parten del centro) sumen 23.

 

40.   EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. Divide la figura adjunta en cuatro piezas idénticas.

 

Dos alumnos de 1º de Bachillerato (Jesús García Santiago  y  Mario Blanco García), han realizado una presentación utilizando el programa PowerPoint, con los problemas del 1 al 40. El archivo que contiene los 40 problemas  constru1.ppt. Si le interesa, pulse aquí:  DESCARGAR

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41.   MUCHOS CUADRADOS. ¿Cuantos cuadrados hay en la figura adjunta?

 

42.   CUBO MÁGICO EN PERSPECTIVA. Un cubo mirado en perspectiva, nos muestra sólo tres de sus caras y siete vértices. En ellos es posible acomodar los números del 1 al 7, uno por vértice, de modo que los cuatro vértices de cada una de las caras sumen 15. ¿Sabrá Vd. colocarlos?

 

43.   ESTRELLA CON DIAGONALES. Acomode los números del 1 al 7, uno por círculo, de modo que cada uno de los triángulos grandes y cada una de las diagonales sumen igual.

 

44.   TRIÁNGULO ANTIMÁGICO. Acomode los números del 1 al 6, uno por círculo, de modo que cada línea de dos o tres círculos, los tres círculos de las esquinas, y los tres círculos interiores, sumen distinto, y que las ocho sumas que entran en juego sean valores consecutivos.

 

45.   HEXÁGONO CON RAYOS. Acomode los números del 1 al 13, uno por círculo, de modo que cada uno de los seis lados, cada una de las seis líneas que pasan por el centro, sumen igual.

 

46.   LA CRUZ. Acomode los números del 1 al 12, uno por círculo, de modo que los cuatro vértices de cada uno de los dos rectángulos largos, los cuatro vértices del cuadrado central, y las cuatro líneas de cuatro círculos, sumen igual.

 

47.   MUCHOS TRIÁNGULOS. ¿Cuantos triángulos hay en la figura adjunta?

 

48.   LOS TRES AROS MÁGICOS. Coloque los números del 1 al 6 en los pequeños círculos de modo que cada aro sume lo mismo. Hay 3 aros, cada uno engarza 4 círculos. Es preferible pensar a tantear.

 

49.   EL MARAVILLOSO 26 (1). Coloque los números del 1 al 12 en los círculos de esta estrella de manera que la suma de los que ocupan cada una de las seis líneas sea igual a 26.

 

50.   EL MARAVILLOSO 26 (2). En la estrella adjunta, las seis filas de números suman lo mismo, 26. Pero la suma de los números situados en las puntas de la estrella es otra: 4+11+9+3+2+1=30.
         Perfeccione Vd. la estrella colocando los números de modo que la suma de los que ocupan cada una de las seis líneas sea 26 y la suma de los números situados en las puntas de la estrella también sea 26.
         No lo haga tanteando, razone un poco.

 

51.   EL MARAVILLOSO 26 (3). Coloque los números del 1 al 12 en los círculos de esta estrella de manera que la suma de los que ocupan cada una de las seis líneas sea igual a 26 y que también sumen 26 los números que forman el hexágono central.

52.    RELLENANDO CUADROS. Rellene los cuadros centrales con un número del 1 al 9, sin repetir ninguno de ellos, de modo que la suma total, horizontal y vertical, sea en todos los casos igual a 21.

 

12

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

6

 

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53   TRIÁNGULO MÁGICO. Coloque los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20.
       Ayuda. Los números situados en las esquinas suman 15. Uno de ellos es 5.

 

54.   OTRO TRIÁNGULO MÁGICO. Coloque los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 17.

 

55.   LOS TRIÁNGULOS PEQUEÑOS. Ponga las cifras del 1 al 8 en los círculos de los dos cuadrados para que los tres vértices de los triángulos pequeños sumen lo mismo.

 

56.   DOS TRIÁNGULOS Y DOS CUADRADOS. Ponga las cifras del 1 al 8 en los círculos de manera que los vértices de los cuadrados y los triángulos sumen las cantidades que en ellos se indican.


 

57.   UN TRIÁNGULO Y TRES CUADRADOS. Ponga las cifras del 1 al 9 en los círculos de manera que los vértices de los cuadrados y del triángulo sumen las cantidades que en ellos se indican.

 

58.   LAS SUMAS EN LA RUEDA. Ponga las cifras del 1 al 8 en las casillas de la rueda de modo que:
         - Los números vecinos del 4 sumen 9.
         - Los números vecinos del 5 sumen 11.
         - Los números vecinos del 6 sumen 10.
         - Los números vecinos del 7 sumen 8.

 

59.   LAS SUMAS EN LOS SEGMENTOS. Ubique las cifras del 1 al 9 en los círculos de modo que las cifras conectadas por un segmento sumen lo que se indica en él.

 

60.   RECTÁNGULOS OBSTINADOS. En una hoja de papel cuadriculado dibujamos un rectángulo formado por dos cuadrados. Trazamos una diagonal del rectángulo y observamos que corta a los dos cuadrados. Haciendo lo mismo con un rectángulo mayor, de dos por tres cuadrados, la diagonal corta a cuatro cuadrados. ¿Cuántos cuadrados cortará la diagonal de un rectángulo de seis por siete cuadrados? Se debe hacer sin dibujar el rectángulo y sin contar los cuadrados. ¿Se puede encontrar alguna regla?

 

61.   ¿CUÁNTOS RECTÁNGULOS? ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

 

62.   LA RUEDA NUMÉRICA. Ubique las cifras del 1 al 9 en los círculos pequeños de modo que la suma de las tres cifras de cada línea sea 15.

 

63.   EL TRIDENTE. Ubique las cifras del 1 al 13 en las casillas de modo que la suma de los números de las columnas A, B y C y la fila D sea la misma.

 

64.   LA ESTRELLA MÁGICA. Coloque los números del 1 al 19 en los círculos de esta estrella de manera que la suma de los cinco que ocupan cada una de las líneas sea la misma.

 

65.   OTRA ESTRELLA MÁGICA. Coloque los números del 1 al 16 en los círculos de esta estrella de manera que la suma de los cuatro que se hallan en cada lado de los dos cuadrados sea 34 y que la suma de los cuatro números  que se encuentran en los vértices de cada cuadrado sea también 34.

66.    CON DOS RECTAS. ¿Sabría Vd. dibujar un cuadrado solamente con dos rectas?
 

67.   SIETE LÍNEAS DE CUATRO. Coloque los números 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4 y 5 en los círculos de esta extraña estrella de manera que la suma de los cuatro que se hallan en cada línea sea el número que se señala en el círculo central.

 

68.   EN CUATRO PARTES IGUALES. La figura adjunta, que está formada por la combinación de un cuadrado y la mitad de otro hay que dividirla en cuatro partes exactamente iguales. ¿Sabría Vd. dividirla?

 

69.   EN LOS CÍRCULOS VACÍOS. Coloque los números correspondientes en los círculos vacíos para que la suma de los números que están en los lados del cuadrado sumen lo mismo.

 

70   EL TRIÁNGULO Y LAS LÍNEAS. Coloque los números del 1 al 10 en los círculos vacíos para que tanto la suma de los números que están en los lados del triángulo como la suma de los que están en las tres líneas horizontales sea la misma. La distribución es única.

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Dos alumnos de 1º de Bachillerato (Ángel Gutierrez GarcíaÍker Zurikarai Montes), han realizado una presentación utilizando el programa PowerPoint, con los problemas del 40 al 70. El archivo que contiene los 31 problemas  constru2.ppt. Si le interesa, pulse aquí: DESCARGAR

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71.    LAS 14 FICHAS. Disponemos de 14 fichas numeradas del 1 al 7 (dos fichas con cada número). ¿Sabría Vd. ordenarlas de forma que entre las dos fichas que llevan el 1 haya una ficha, entre las dos fichas que llevan el 2 haya dos fichas, entre las dos fichas que llevan el 3 haya tres fichas, ... entre las dos fichas que llevan el 7 haya siete fichas? ¿La solución es única?
 

72.   AISLAR CON TRES CUADRADOS. Dibujando tres cuadrados, ¿sabría Vd. aislar las monedas 7 de la figura?
       Pista: Los cuadrados no tienen por qué ser del mismo tamaño.

73.    MÁS FÓSFOROS. ¿En qué circunstancias será correcta esta igualdad formada con cerillas?

 XI + III = II + X

74.    EL CINCO. ¿Sería Vd. capaz de formas un cinco con 6 cerillas?
 

75.   ¿CUÁNTOS CUADRADOS? ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?

76.    FILAS CON LOS SOLDADOS. ¿Sabría Vd. colocar 15 soldados en 5 filas de 4 soldados cada una.

77.    OCHO TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS. Construir ocho triángulos equiláteros trazando seis segmentos igual de largos.

78.    ...