GEOMETRÍA - 2

21.    LAS ESFERAS PINTADAS. Un vendedor de billares tiene como insignia de su negocio dos esferas desiguales, sólidas y hechas de la misma madera. La mayor pesa 27 kg y la pequeña 8 kg.
         El comerciante se propone volver a pintar las insignias. Con 900 gramos de pintura pinta la esfera mayor. ¿Cuántos gramos necesitará para pintar la pequeña? (La cantidad de pintura necesaria es proporcional a la superficie que hay que pintar)
 

22.   GIROS, ¿POSIBLES O IMPOSIBLES?. Catalina ha desafiado a sus amigos a hacer algo que parece totalmente imposible: «Coger un libro, girarlo un ángulo de 180 , volverlo a girar otros 180  y que el libro quede formando un ángulo de 90  con su posición inicial». ¿Será posible realizar lo que dice Catalina?

23.    EL EMBALSE Y EL PEZ. El borde de un embalse es una circunferencia perfecta. Un pez empieza en un punto del borde y nada en dirección norte 600 metros, lo que le devuelve al borde. Nada entonces en dirección este, llegando al borde después de recorrer 800 metros. ¿Cuál es el diámetro del embalse?

24.    EL POSTE ROTO. Un poste mide 32 palmos de altura. Un día lo parte un rayo. El trozo roto queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16 palmos de base. ¿A qué altura se partió el poste?
 

25.   EL CRUCE DE LA RED. Se trata de trazar una línea continua a través de la red cerrada de la figura, de modo que dicha línea cruce cada uno de los 16 segmentos que componen la red una vez solamente. La línea continua dibujada no es, evidentemente una solución del problema, ya que deja un segmento sin cruzar. Se ha dibujado solamente a fin de hacer patente el significado del enunciado del problema. 
26.   LOS 7 PUENTES DE KONIGSBERG. Un ciudadano de Konigsberg (Prusia) se propuso dar un paseo cruzando cada uno de los siete puentes que existen sobre el río Pregel una sola vez. Los dos brazos del río rodean a una isla llamada Kneiphof. ¿Cómo debe cruzar los puentes para realizar el paseo?
27.   DIBUJANDO SOBRES. En la figura tenemos dos sobres ligeramente diferentes ya que el segundo tiene una línea más, que marca la doblez de cierre. ¿Es posible dibujar cada uno de los sobres sin levantar el lápiz del papel, y sin pasar más de una vez por el mismo trazo?

28.    EN GENERAL: DE UN SOLO TRAZO, ¿POSIBLE O IMPOSIBLE? Un vértice es impar si de el parten un número impar de caminos. Un vértice es par si de el parten un número par de caminos.
         El problema es imposible si en la red hay más de dos vértices impares.
         Es posible: a) Cuando todos los vértices son pares, y entonces el punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más de dos vértices impares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el otro.

         De los 8 dibujos de la figura, ¿cuáles pueden dibujarse de un sólo trazo y cuáles no?
 
29.   LOS TRES CUADRADOS. Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura. Usando solamente geometría elemental (no trigonometría) demostrar que el ángulo C es igual a la suma de los ángulos A y B.

30.    VENTANA DIVIDIDA EN DOS. Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuyó su tamaño a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana seguía teniendo forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguían siendo de 1 metro. ¿Puede Vd. dar una explicación de tan extraño fenómeno?
 

31    MONEDAS IGUALES DANDO VUELTAS. Dos monedas idénticas A y B parten de la posición que indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?

32.    MONEDAS DISTINTAS DANDO VUELTAS. Dos monedas distintas A y B parten de la posición que indica la figura anterior. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A? La moneda A móvil tiene un diámetro cuatro veces más pequeño que el diámetro de la moneda fija B.
 

33.    POSAVASOS Y SERVILLETA. Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centro del posavasos con la ayuda únicamente de la servilleta y un lápiz.

34.    EL CUBO Y LOS PLANOS. Consideremos un cubo de lado 1. Tomemos dos vértices opuestos por una diagonal máxima del cubo. Cada uno de estos dos vértices opuestos está rodeado de tres vértices cercanos que forman un triángulo. Es fácil ver que los dos planos definidos por estos dos triángulos son paralelos. Sin hacer cálculos, ¿cuál es la distancia entre los dos planos?
 

35.   CUATRO CÍRCULOS IGUALES. Tenemos cuatro círculos iguales de radio 1. Uniendo los centros obtenemos un cuadrilátero irregular. ¿Cuánto mide el área sombreada?
36.   LOS PINTORES DE LA CATEDRAL. Unos pintores están pintando las paredes interiores de una catedral. A una ventana circular de un metro de diámetro le añadieron dos líneas tangentes y dos semicírculos cerrando la figura. ¿Qué área tiene la figura sombreada?
37.   MUY ELEGANTE. En la figura adjunta, ¿cuánto mide B?
38.   LA SOMBRA DESCONOCIDA. En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?
39.   LA MEDIANA ES MENOR. Probar que cada mediana de un triángulo es menor que el promedio de los lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.

 
40.   LA LUNA Y EL TRIÁNGULO. Las áreas rayadas de la luna y el triángulo, ¿son iguales?