PARADOJAS

        El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo cre¡ble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:

        1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
        2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.
        3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.)
        4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible.
        5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.

        Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

        Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.

 1.    LA PARADOJA DEL MENTIROSO. Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?

 2.    UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

 3.    LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Vd. de descubrir cuáles?
        1. 2+2=4
        2. 3x6=17
        3. 8/4=2
        4. 13-6=5
        5. 5+4=9

 4.    APROBARÁ EL EXAMEN. El siguiente relato ocurrió en un examen oral. PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta?
       ALUMNO: Sí. Me doy cuenta.
       PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará.
       ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme.
       PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal.
       ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé!
       PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen?
       ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo?
       PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple!
        La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?

 5.    UNA DE LAS DOS. He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?

 6.    ERRORES. En éste se cometen tres errores.
        París es la capital de Francia.
        Dos más dos es igual a cinco.
        América fue descubierta en 1.492.
        ¿Cuáles son los errores?

 7.    HORRORES. En éste se cometen dos errores.
       Roma es la capital de Italia.
       Dos por dos es igual a cinco.
       Hillary escalé el Everest.
       ¿Cuáles son los errores?

 8.    PARADOJA MECÁNICA. ¿Por qué los camiones que transportan leche de vaca son una paradoja mecánica?

 9.    PARADOJA TEMPORAL. Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo:
         - Mañana te telefonearé de nuevo.
         - De acuerdo. ¡Hasta mañana!
         ¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.

10.     ...