SOLUCIONES  DE  ÁLGEBRA

1.    LA VIDA DE DIOFANTO. Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38 años, perdió a su hijo a los 80 años y murió a los 84.

2.    EL CABALLO Y EL MULO. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x=5, y=7. El caballo llevaba 5 sacos y el mulo 7 sacos.

3.    LOS CUATRO HERMANOS. Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: x=8, y=12, z=5, t=20.

4.    EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.

5.    COMERCIANTES DE VINOS. x=Precio de cada barril.  y=Impuesto aduanero.
        x = Precio de cada barril.  y = Impuesto aduanero que representa un procentaje.
        5x + 40 = 64xy
        2x ‑ 40 = 20xy
        Resolviendo el sistema: x = 120. francos. y = 1/12.
        Es decir que el impuesto es el 8,33 porciento del valor total. Con estos valores podemos decir que:
        El primer comerciante pagó un impuesto de 64*120*(1/12) = 640, que equivale a 5 barriles más 40 francos.
        El segundo comerciante pagó un impuesto de 20*120*(1/12) = 200, que equivale a 2 barriles menos 40 francos.

6.    EL PRECIO DE LOS HUEVOS. Sea x el número de huevos y P y P' los precios inicial y resultante tras la rotura.
       Px=60     P=60/x
       P'(x-2)=60     P'=60/(x-2)
       Pero P'=P+12/12
       60/(x-2) = 60/x + 1 = (60+x)/x     60x=60x-120+x2-2x     x2-2x-120=0    x=12.

7.    LOS DIEZ ANIMALES. Primero damos cinco galletas a cada uno de los diez animales; ahora quedan seis galletas. Bien, los gatos ya han recibido su parte. Por tanto, las seis galletas restantes son para los perros, y puesto que cada perro ha de recibir una galleta más, debe haber seis perros y cuatro gatos. (6 x 6 + 5 x 4 = 36 +20 = 56).

8.    LOROS Y PERIQUITOS. Puesto que un loro vale lo que dos periquitos, cinco loros valen lo que diez periquitos. Por tanto, cinco loros más tres periquitos valen lo que trece periquitos. Por otro lado, tres loros, más cinco periquitos valen lo que once periquitos. Así que la diferencia entre comprar cinco loros y tres periquitos o comprar tres loros y cinco periquitos es igual que la diferencia entre comprar trece periquitos y comprar once periquitos, que es dos periquitos. Sabemos que la diferencia es de 20 dólares. Así que dos periquitos valen 20 dólares, lo que significa que un periquito vale 10 dólares y un loro 20 dólares. (5 loros + 3 periquitos = 130 dólares; 3 loros + 5 periquitos = 110 dólares).

9.    COCHES Y MOTOS. Si todos los vehículos hubieran sido motos, el número total de ruedas sería 80, es decir, 20 menos que en realidad. La sustitución de una moto por un coche hace que el número total de ruedas aumente en dos, es decir, la diferencia disminuye en dos. Es evidente que hay que hacer 10 sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero. Por lo tanto se repararon 10 coches y 30 motos. 10.4+30.2=40+60=100.

10.    MONDANDO PATATAS. En los 25 minutos de más, la segunda persona mondó 2.25 = 50 patatas. Restando estas 50 patatas de las 400, hallamos que, trabajando el mismo tiempo las dos mondaron 350 patatas. Como cada minuto ambas mondan en común 2+3=5 patatas, dividiendo 350 entre 5, hallamos que cada una trabajó 70 minutos. Este es el tiempo real que trabajó la primera persona; la segunda trabajó 70+25=95 minutos. 3.70+2.95=400.

11.    EL PRECIO DE LOS LIMONES. Llamemos "x" al precio de un limón expresado en duros.
         36 limones cuestan 36.x duros.
         Por 16 duros dan 16/x limones.
         36.x = 16/x, 36.x² = 16, x² = 16/36, x = 2/3 duros.
         Luego, 12 limones valen 8 duros.

12.    LA MÁQUINA DE PETACOS. La diferencia 471.300 - 392.750 = 78.550 son los puntos que cada amigo tiene que hacer de más por faltar uno de los amigos. 392.750/78.550 = 5 veces los puntos en cuestión. Luego los amigos eran inicialmente eran 6. Para conseguir partida necesitan 392.750 por 6 = 471.300 por 5 = 2.356.500 puntos.

13.    TINTEROS Y CUADERNOS. Dos tinteros cuestan 70-46=24 ptas. Luego un tintero cuesta 12 ptas. Antonio pagó 60 ptas. por los tinteros, luego 70-60=10 ptas. por los cuatro cuadernos, o sea que un cuaderno cuesta 10/4=2.50 ptas.

14.    LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Como 4 manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10 melocotones, entonces una manzana pesa lo mismo que un melocotón. Por tanto una pera se equilibra con 7 melocotones.

15.    VENTA DE HUEVOS. Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo, a la campesina sólo le quedó un huevo. Es decir, un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. Está claro que el resto completo eran tres huevos. Añadiendo 1/2 huevo, obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio. Así, pues, el número de huevos que trajo al mercado era siete.

16.    LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 36.

17.    LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Reducimos todo a sesentavos, 1/3 +1/4 +1/5 = 20/60 +15/60 + 12/60 = 47/60. Esto deja 13/60 para el cultivo de maíz. Por consiguiente, 13/60 de la tierra es 26, y como 13 es la mitad de 26, 60 debe ser la mitad del número total de Ha. Así que la tierra tiene 120 Ha.
       Prueba: un tercio de 120 es 40, que es para el trigo; un cuarto de 120 es 30, que es para los guisantes; y un quinto de 120 es 24, que es para las judías. 40+30+24=94, y quedan 26 hectáreas para el maíz.

18.    PASTELES PARA LOS INVITADOS. Había 10 invitados preferidos. 10·4 + 20·3 = 40 + 60 = 100.

19.    LOS PASTELES. Ana tiene que darle a Carlos 2 pasteles. En total había 12 pasteles. Al principio Ana tenía 9 y Carlos 3.

20.    MÁS PASTELES. Ana 24, Carlos 8 y Diego 4.

21.    VENGA PASTELES. Había 32 pasteles. Carlos comió 10 y Diego 14.

22.    PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Sabemos que 1G = 3P.
         7G + 4P = 21P + 4P = 25P
         4G + 7P = 12P + 7P = 16P
         25P - 19P = 6P = 12 ptas.     1P = 2 ptas.     1G = 6 ptas.

23.    SOLDADOS DEL REGIMIENTO. Como 63,63636363...=700/11, el 700/11 % de los que quedan tiene carnet de conducir. Si N es el número de los que quedan, tienen carnet de conducir 700/11 1/100 N = 7N/11. Por tanto N debe ser múltiplo de 11. Igualmente como, 92,2297297...=6.825/74 entonces: 6.825/74 1/100 N = 273 N/296 no llevan gafas. Por tanto N también debe ser múltiplo de 296. Así N es múltiplo de 296 11=3.256. Pero en el regimiento sólo había 4.000 soldados, por lo que N=3.256 soldados. Por lo tanto, se han licenciado 4.000-3.256=744.

24.    ENCUESTA SOBRE EL VINO.

25.    LA REVENTA. El porcentaje sobre el recargo que se gana Manuel es del 50%.

26.    ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas., el proceso es:
         100 ptas - encarece 10% - 110 ptas. - abarata 10% - 99.
         Luego es más barata después de abaratarla.
         En general: x - encarece 10% - 110x/100 ptas. - abarata 10% - 99x/100.
         Siempre es más barata después de abaratarla.

27.    ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas., el proceso es:
         100 ptas - abarata 10% - 90 ptas. - encarece 10% - 99.
         Luego es más barata después de encarecerla.
         En general: x - abarata 10% - 90x/100 ptas. - encarece 10% - 99x/100.
         Siempre es más barata después de encarecerla.

28.    GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. El tratante no calculó bien: No se quedó igual que estaba; perdió 20 dólares ese día. Veamos por qué:
         Consideremos primero el cuadro que vendió con un beneficio del 10%. Por el cuadro le dieron 990 dólares; ¿cuánto pagó por él? El beneficio no es el 10% de 990, sino el 10% de lo que pagó. De modo que 990 dólares es el 110% de lo que pagó. Esto significa que pagó 900 dólares, hizo el 10% de 900 dólares, que es 90 dólares, y recibió 990 dólares. Por consiguiente sacó 90 dólares con el primer cuadro. Consideremos ahora el segundo cuadro: Perdió el 10% de lo que pagó por él, de modo que lo, vendió por el 90% de lo que pagó. Por tanto pagó 1100 dólares, y el 10% de 1100 es 110, así que lo vendió por 1100 menos 110, que es 990 dólares.
         Por consiguiente perdió 110 dólares con el segundo cuadro, y ganó sólo 90 con el primero. Su pérdida neta fue de 20 dólares.

29.    HÁMSTERS Y PERIQUITOS. Se compraron inicialmente tantos hámsters como periquitos. Sea x dicho número. Llamaremos y al número de hámsters que quedan entre los animalitos aún no vendidos. El número de periquitos será entonces 7-y. El número de hámsters vendidos a 200 pesetas cada uno, tras aumentar en un 10% el precio de compra, es igual a x-y, y el número de periquitos vendidos (a 110 pesetas cada uno) es evidentemente x-7+y. El costo de compra de los hámsters es por tanto 200x pesetas, y el de los periquitos, 100x pesetas, lo que hace un total de 300x pesetas. Los hámsters vendidos han reportado 220(x-y) pesetas y los periquitos 110(x-7+y) pesetas, lo que hace un total de 330x - 110y - 770 pesetas. Se nos dice que estos dos totales son iguales, así que los igualamos y simplificamos, tras de lo cual se obtiene la siguiente ecuación diofántica con dos incógnitas enteras: 3x = 11y + 77. Como x e y han de ser enteros positivos, y además y no puede ser mayor que 7, es cosa sencilla tantear con los ocho valores posibles (incluido el 0) de y a fin de determinar las soluciones enteras de x. Solamente hay dos: 5 y 2. Ambas podrían ser soluciones del problema si olvidamos el hecho de que los periquitos se compraron por pares. Este dato permite desechar la solución y=2, que da para x el valor impar de 33. Por lo tanto concluimos que y es 5. Podemos ahora dar la solución completa. El pajarero compró 44 hámsters y 22 parejas de periquitos, pagando en total 13.200 pesetas por todos ellos. Vendió 39 hámsters y 21 parejas de periquitos, recaudando un total de 13.200 pesetas. Le quedaron 5 hámsters cuyo valor al venderlos será de 1.100 pesetas, y una pareja de periquitos, por los que recibirá 220, lo que le da un beneficio de 1.320 pesetas, que es la solución del problema.

30.    PASTELES SOBRE LA MESA. 30 pasteles. Diego encontró 2 = 1+1. Carlos encontró 6 = (2+1)2. Blas encontró 14 = (6+1)2. Ana encontró 30 = (14+1)2.

31.    PASTELES COMO PAGO. El máximo es 3x26=78. Ganó sólo 62. Por holgazanear perdió 16. Cada día que holgazanea pierde 4 (3 que no recibe y 1 que da), luego 16/4=4. Holgazaneó 4 días y trabajó 22 días.

32.    OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. El 95% del número de aprobados ha de ser un número natural (no existen, en vivo, fracciones de personas).
         En este caso, el procedimiento más fácil para hallar la cantidad correspondiente al 95% es buscar un número, entre 1 y 36, cuyo 5% (100-95) sea un número natural. Si el 5% es una cantidad exacta, también lo será el 95%.
         Un número cuyo 5% sea un número natural ha de ser 20 o múltiplo de 20. En este caso, solo es posible el 20. Número total de aprobados: 20. Número de aprobados de Salamanca capital (el 95%): 19.

33.    EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. La cantidad de espárragos del manojo es aproximadamente proporcional a la superficie del círculo formado por el bramante.
         Cuando se dobla la longitud del bramante se dobla el radio del círculo, y la superficie de ese círculo está multiplicada por 4 (S= R²).
         De suerte que los nuevos manojos contienen cuatro veces más espárragos y su precio debería ser 80 x 4 = 320 ptas.

34.    MIDIENDO UN CABLE. 59 metros.

35.    VESTIDOS A GOGÓ. 6.

36.    LOS DOS BEBEDORES. Se puede considerar a los personajes como desagües de un barril, con velocidad uniforme de salida cada uno. Sean x las horas que tarda el inglés en beber todo el barril, e las horas que tarda el alemán.
         Los dos juntos en dos horas habrán bebido 2 (1/x + 1/y) parte del barríl
         En 2 horas y 48 minutos el alemán bebe: (2+4/5) 1/y
         En 4 horas y 40 minutos el inglés bebe: (4+2/3) 1/y
         2 (1/x + 1/y) + (2+4/5) 1/y = 1
         2 (1/x + 1/y) + (4+2/3) 1/x = 1
         Sistema que se resuelve fácilmente tomando como incógnitas 1/x=x' y 1/y=y', de donde x=10, y=6.
         Es decir, el alemán se bebería el barril en 6 horas y el inglés en 10 horas.

37.    JUEGO EN FAMILIA. Supongamos que un padre dispara x tiros y que su hijo dispara y tiros.
         x²-y²=45, (x-y)(x+y)=45.
         Combinaciones de factores posibles: (x+y): 45, 15, 9 con (x-y):1, 3, 5.
         De donde, fácilmente:
         Yo: 9 tiros, mi hijo, José: 6 tiros.
         Juan: 23 tiros, su hijo, Julio: 22 tiros.
         Pablo: 7 tiros, su hijo, Luis: 2 tiros.
         Se tiraron 39 tiros y se marcaron 1183 puntos.

38.    EL VASO DE VINO. Una cuarta parte.

39.    LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Cuatro chovas y tres estacas.

40.    LIBROS DESHOJADOS. 232 páginas el primero y 124 páginas el segundo.

41.    LA CUADRILLA DE SEGADORES. Tomemos como unidad de medida el prado grande.
         Si el prado grande fue segado por todo el personal de la cuadrilla en medio día, y por la mitad de la gente en el resto de la jornada, se deduce que media cuadrilla en medio día segó 1/3 del prado. Por consiguiente, en el prado chico quedaba sin segar 1/2-1/3=1/6. Si un segador siega en un día 1/6 del prado y si fueron segados 6/6+2/6=8/6, esto quiere decir que había 8 segadores. (Conviene hacer un dibujo)

42.    EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. De b) y c) se obtiene que una lanza se cambia por 2 escudos. Si esto se completa con a) resulta que un collar se cambia por un escudo. Por tanto, una lanza equivale a dos collares.

43.    NEGOCIANDO POLLOS. Una vaca vale 25 pollos. Un caballo vale sesenta pollos. Ya deben haber elegido 5 caballos y 7 vacas, que valen 475 pollos, y como tienen lo suficiente como para conseguir 7 vacas más, le quedan 175 pollos, lo que haría un total de 650.

44.    PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Las piezas son de 1, 2, 4, 8 y 15 denarios de valor.
         Indicando con 1 la moneda que tiene la patrona, y con 0 la moneda que tiene el hombre, la situación diaria se puede expresar como sigue:

Valor de la moneda

15

8

4

2

1

Día 1º

0

0

0

0

1

Día 2º

0

0

0

1

0

Día 3º

0

0

0

1

1

...

...

...

...

...

...

Día 16º

1

0

0

0

1

Día 17º

1

0

0

1

0

...

...

...

...

...

...

Día 29º

1

1

1

1

0

Día 30º

1

1

1

1

1

         Este cuadro hace evidente que el estado contable en cualquier día puede deducirse de la expresión binaria (en base 2) del número correspondiente.

45.    EL REPARTO DE LA HERENCIA. Siendo C el importe total de la herencia.
         El 1º recibió: 100.000 + (C-100.000)/5
         El 2º recibió: 200.000 + 1/5[(C-100.000) - (C-100.000)/5 - 200.000]
         Igualando lo recibido por cada uno se obtiene:
         (C-100.000)/5 = 100.000 + C/5 - 60.000 - (C - 100.000)/25 ===> C = 1.600.000 ptas.
         Luego: 4 herederos a 400.000 ptas. cada uno.

46.    SE QUEDÓ SIN DISCOS. Consideremos el lote del último amigo. Si éste, al tomar n discos más 1/7 del resto agotó el número de discos, significa que ese resto era cero, pues de otro modo hubieran sobrado discos.
         El amigo anterior había tomado n-1 discos más 1/7 del resto anterior. Tras esto, los 6/7 de este resto son los cobrados por el último amigo. Como ambos recibieron el mismo número de discos, este 1/7 del resto era un disco. El resto total eran 7 discos y el último amigo recibió 6, de lo que se deduce que: el número de amigos es 6 y cada uno obtiene seis discos, siendo el total de discos 36.

47.    TRANSPORTE DE UN TESORO.
         1er intento: 20 - 20 - 20 - 20
         2º  intento: 20 - 30 - 30 - 30
         3er intento: 20 - 30 - 40 - 40
         Finalmente:  20 - 30 - 40 - 48

48.    NEGOCIANTE METÓDICO. Sea x el capital buscado.
         Fin del 1er año: 4/3 x - 4/3 100
         Fin del 2º  año: 16/9 x - 28/9 100
         Fin del 3er año: 64/27 x - 148/27 100 = 2x de donde x=1.480 dólares.

49.    EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. Las edades de las niñas están en la proporción 9:12:14. Las niñas recibieron: 198, 264 y 308 castañas.

50.    LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 36.