SOLUCIONES: MÓVILES - DISTANCIAS - VELOCIDADES

 1.    AL CAMPO DE MERIENDA. Como no sabemos le distancia recorrida, partamos del supuesto que fuese de 60 km. En este caso, hubiera tardado 1 hora en el viaje de ida y 2 horas en el de vuelta, por lo que la velocidad media sería:  v = (60+60) km. / (1+2) h. = 120 km. / 3 h. = 40 km/h.  En general, llamando d a la distancia recorrida en cada uno de los viajes de ida y de vuelta, el tiempo total de viaje sería:  t = d/60 + d/30 = 3d/60 = d/20  y la velocidad media: v = 2d/[d/20] = 40d/d = 40 km/h.

 2.    UN ALTO EN EL CAMINO. El coche de los Gómez le saca al de los Arias 10 km. de ventaja por cada hora de viaje. A la velocidad de 60 km/h., el coche de los Arias recorre 30 km. durante la media hora que los Gómez estuvieron esperándole. Estos 30 km. representan la ventaja total de un coche sobre otro. Para obtenerla, el coche de los Gómez tuvo que circular durante 3 horas, pues en cada hora conseguía la ventaja de 10 km. Por tanto, el trayecto fue de: 70 km/h. x 3 h. = 210 km.  Madrid estaba a 210 km. de distancia de la primera parada.

 3.    EL ESQUIADOR FRUSTADO. Cuesta creerlo, pero la única forma de que el promedio de subida y bajada alcanzase los 10 km/h. ¡sería descender en tiempo nulo! Al principio puede parecer que habrá que tener en cuenta las distancias recorridas al subir y bajar la ladera. Sin embargo, tal parámetro carece de importancia en este problema. El esquiador asciende una cierta distancia, con una cierta velocidad. Desea descender con tal velocidad que su velocidad media en el recorrido de ida y vuelta sea doble que la primera. Para conseguirlo tendría que hacer dos veces la distancia primitiva en el mismo tiempo que invirtió en el ascenso. Como es obvio, para lograrlo ha de bajar en un tiempo cero. Como esto es imposible, no hay forma de que su velocidad media pase de 5 a 10 kilómetros por hora.

 4.    EL AVION Y EL VIENTO. Como el viento aumenta la velocidad del avión en la mitad del recorrido en la misma cantidad en que la disminuye en el trayecto de regreso, resulta tentador suponer que el tiempo total invertido en el viaje de ida y vuelta no sufrirá modificación. Sin embargo, éste no es el caso, pues el tiempo durante el cual la velocidad del avión se incrementa es menor que el tiempo durante el cual sufre retardo, así que el efecto total es de retraso. El tiempo total de vuelo con viento, de cualquier fuerza y dirección con tal de que permanezcan constantes, es siempre mayor que si no hubiera viento.

 5.    EL BOLIDO Y LOS TRES MOJONES.
        BA - AB = A0B - BA.
        10B + A - 10A - B = 100A + B - 10B - A.
        A, diferente de 0 no puede ser sino 1. B=6.  Los números que llevan los mojones son: 16, 61, 106. Velocidad del bólido: 45 Km/h.

 6.    PROMEDIANDO. Llamando D a la longitud de la cuesta, el tiempo empleado en subir será: D/2 y en bajar D/6. El total, por consiguiente, es: T = D/2 + D/6 = 2D/3. La velocidad media: Vm = 2D/T = 3 km/h.

 7.    DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA. 45 Km. Los ciclistas chocan al cabo de una hora.

 8.    ¿COGIÓ EL TREN?  El ciclista cometió la equivocación de sacar la media de las distancias en lugar de la del tiempo. Si hubiera empleado el mismo período de tiempo yendo a cuatro kilómetros por hora, a ocho y a doce, la media sí que habría sido ocho kilómetros por hora, pero tardó más tiempo en subir la cuesta y menos en bajarla.
        Es fácil calcular cuánto tardó en llegar: Tardó una hora en subir la cuesta, media hora (treinta minutos) en ir por carretera llana, y un tercio de hora (veinte minutos) en ir cuesta abajo. Todo esto suma una hora y cincuenta minutos, por lo que llegó con veinte minutos de retraso.

 9.    ¿LOGRO COGER EL TREN? Cuando el hombre llegó a la primera estación, el tren había salido hacía un minuto. Diez kilómetros por hora es un kilómetro en 6 minutos, o un kilómetro y medio en 9 minutos. Así que el tren llegó a la segunda estación 8 minutos después de que el hombre llegara a la primera estación. El tren para 14 minutos y medio en la segunda estación, así que el hombre tiene 22 minutos y medio para coger el tren en la segunda estación. Cuatro kilómetros por hora es un kilómetro en 15 minutos, o kilómetro y medio en 22 minutos y medio, por lo que el hombre llegó justo a tiempo de coger el tren.

10.    ADELANTAMIENTO Y CRUCE DE TRENES. Siendo "v" la velocidad del tren de carga y "d" la longitud de éste:
         d/(90-v) = 2.d/(90+v) ; (90+v)/(90-v) = 2 ; 90/v = 3. Luego la velocidad del tren de carga es v = 30 Km/h

11.    VIAJE DE IDA Y VUELTA. ..................

12.    LOS ANUNCIOS DE CERVEZA DE LA AUTOPISTA. Lo curioso de este problema es que para calcular la distancia que los separa no es preciso conocer la velocidad del automóvil.
         Llamemos x al número de carteles que se dejan atrás en un minuto. En una hora, el automóvil habrá rebasado 60x anuncios. Por otra parte, se sabe que la velocidad del coche es de 10x km/h. Así pues, en 10x km. el coche habrá rebasado 60x anuncios, y, por tanto, en 1 km. habrá pasado frente a 10x/60x anuncios, es decir, hay 6 anuncios por kilómetro. Por consiguiente, los anuncios están separados 1/6 de kilómetro, o sea, unos 167 metros.

13.    ¿A QUE DISTANCIA ESTA EL COLEGIO? La diferencia entre llegar con 5 minutos de retraso y llegar 10 minutos antes de la hora es de 15 minutos, así que el chico ganará 15 minutos si anda a una media de 5 kilómetros por hora en lugar de a 4 kilómetros por hora. Cinco kilómetros por hora es un kilómetro en 12 minutos, y 4 kilómetros por hora es un kilómetro en 15 minutos, de modo que al andar más deprisa gana 3 minutos en cada kilómetro, que son 15 minutos en 5 kilómetros. Así que el colegio está a 5 kilómetros.
       Comprobémoslo: Si anda a 5 kilómetros por hora, tardará una hora. Si anda a 4 kilómetros por hora, tardará una hora y cuarto (una hora para los primeros 4 kilómetros y un cuarto de hora para el último kilómetro), que hace una hora y 15 minutos. Así que hay una diferencia de 15 minutos.

14.    EL PASEO DE MI AMIGO ANDRÉS. Cuanto más deprisa corra el río, más tardará en realizar el recorrido de ida y vuelta. El efecto de retraso al remar contra el río dura más tiempo que el efecto de avance al remar a su favor.

15.    EL ENCONTRONAZO. Aunque el problema puede resolverse algebraicamente, por las malas, se termina mucho antes reconstruyendo los hechos a partir del choque. Como el camión rueda a una velocidad constante de 65 km/h., y el coche a 80 km/h., su velocidad con respecto al camión es de 15 km/h., o sea, 1500 metros, por hora, equivalentes a 250 metros por minuto. Por consiguiente, un minuto antes de la colisión, el coche se encontrará a 250 metros detrás del camión. La información de tres kilómetros por detrás es irrelevante para el problema; en la solución no interviene la distancia inicial entre los vehículos.

16.    LAS NAVES ESPACIALES.Al igual que antes, la distancia inicial es completamente irrelevante. Mucha gente se despista, creyendo necesario considerar las posiciones iniciales y haciendo transcurrir el tiempo. La solución, casi trivial, consiste en darse cuenta de que si las naves se aproximan a razón de 20 kilómetros por minuto, un minuto antes del encuentro estarán separadas 20 kilómetros.

17.    EL TREN Y EL HELICÓPTERO. El helicóptero estará volando durante 4 horas (tiempo que el tren tarda en llegar a Burgos). Por lo tanto, habrá recorrido: 400 km/h. x 4 h. = 1.600 km.

18.    DEVORANDO KILÓMETROS. Cuando Carlos inicia el viaje, llega un autobús a la estación A: el que salió el 1 de marzo, a las 8 h, de la ciudad B.
         En el trayecto se cruza con los 11 autocares que partieron de B los días 1, 2 y 3 de marzo.
         Además se deben contar los 12 que salieron de la ciudad B durante los tres días que Carlos invirtió en el recorrido.
         En total se cruzó con 23 autobuses.
         También se podría considerar que se cruzó con 25 autobuses, si a los 23 anteriores se les añade el que llegó a la estación A cuando Carlos partía y el que, en el momento de la llegada, salía de la ciudad B.

19.    GANANDO TIEMPO. La diferencia entre los tiempos del primero y el último es de 8 m. Si hubieran salido a la vez, el ganador habría sacado 4 minutos de ventaja al último en la primera mitad del recorrido.
         Justamente esos 4 minutos perdió el ganador en la salida, por lo que alcanzó al último a mitad de carrera; o sea, a los 32 minutos.

20.    ENTRE CIUDADES. Navegando a favor de la corriente, el vapor recorre 1 Km. en 3 minutos; cuando navega contra la corriente, 1 Km. en 4 minutos. En el primer caso, el vapor gana 1 minuto en cada kilómetro, y como en todo el recorrido gana 5 horas, o 300 minutos, se deduce que desde Anca hasta Bora hay 300 Km. Efectivamente: 300/15 - 300/20 = 20 - 15 = 5 horas.

21.    LA CARRERA DEL PERRO Y EL GATO. Gana el gato. Tiene que dar exactamente 100 saltos para recorrer esa distancia y regresar. El perro, por el contrario, está obligado a recorrer 102 metros y regresar. Su salto número 33 lo lleva a la marca de los 99 metros, por lo que se hace necesario un salto más, que lo lleva 2 metros más allá de la última marca. En total, el perro debe dar 68 saltos para recorrer el trayecto. Pero como salta con 2/3 de la velocidad del gato, cuando este último completa los 100 saltos el perro no llega a los 67.

22.    LA VELOCIDAD DEL TREN. No hace falta saber la velocidad con que camina la joven, ni tampoco, la distancia que recorre. Si en hacer el recorrido de ida y vuelta por los pasillos ha tardado en total 10 minutos, las maletas habrán recorrido 5 kilómetros durante ese tiempo. Por tanto, el tren lleva una velocidad de medio kilómetro por minuto, o sea, de 30 Km/h.

23.    VIENTO EN CONTRA. La respuesta popular para problemas de este tipo es dividir en dos partes el tiempo total para obtener la velocidad promedio, suponiendo que el viento ayuda al ciclista en una dirección tanto como lo retarda en dirección opuesta. Es incorrecto, porque el viento ha ayudado al ciclista solamente durante 3 minutos, y lo ha retardado durante 4 minutos. Si puede recorrer 1 Km. en 3 minutos con viento a favor, puede recorrer 1 Km. más 1/3 en cuatro minutos. Regresa con viento en contra en los mismos cuatro minutos, por lo que podría recorrer 2 Km. más 1/3 en 8 minutos con el viento a favor la mitad del tiempo y en contra la otra mitad. Por lo tanto, el viento puede ser ignorado y concluimos que sin viento podría recorrer 2 Km y 1/3 en 8 minutos, luego 1 Km. en 3 minutos y 3/7.

24.    INFATIGABLES CORREOS. Sean H=horas en encontrarse, M=velocidad en km/h del correo que sale de Madrid, Z=velocidad en km/h del correo que sale de Zaragoza.
         ZxH = 9xM, MxH = 16xZ, de donde, multiplicándolas miembro a miembro, H=12 horas. El viaje, pues, dura 21 horas para correo de Madrid y 28 horas para el de Zaragoza.

25.    LOS DOS CICLISTAS. 10 horas y 120 Km.

26.    SIGUIENDO SU CAMINO. ESTACIÓN ¦-------D------¦---------------------¦ DESPACHO
         Si llega 20 minutos antes de lo previsto, quiere decirse que encuentra a su automóvil a una distancia D, tal que éste hubiese tardado ese mismo tiempo, es decir, 20 minutos, en hacer el doble recorrido desde el punto de encuentro a la estación y vuelta. O sea que lo encuentra 10 minutos antes de la hora normal de llegada a la estación. Ha caminado, por lo tanto, 50 minutos.

27.    LOS DOS VAPORES Y EL RÍO. La anchura es 500 metros.
         En efecto, el tiempo de parada no interviene.
         Siendo v1 y v2 las velocidades de los vapores, t1 el tiempo que están navegando los vapores hasta el primer encuentro y t2 el tiempo que están navegando los vapores entre el primer encuentro y el segundo, tendríamos:
         v1t1 + 200 = d
         v2t1 = 200  ===>   v1/v2 = (d-200)/200
         v1t2 = 200 + (d-100) = d+100
         v2t2 = (d-200) + 100 = d-100   ===>   v1/v2 = (d+100)/(d-100)
         Finalmente:  (d-200)/200 = (d+100)/(d-100)   ===>
         d2 - 200d - 100d + 20000 = 200d+20000   ===>   d=500.

28.    VIAJE BIEN PLANEADO. Independientemente de las veces que cambie el jinete si llamamos d a la distancia a pie por el padre, tendremos:
         t = d/5+(50-d)/10 = d/10+(50-d)/8 siendo t, el tiempo empleado en recorrer la mitad del trayecto d=10 km, t=6 horas.
         El tiempo total empleado es: 2x6 + 0'5 = 12'5 horas.
         Y la hora de llegada las 18'5, es decir, las seis y media de la tarde.

29.    RETRASO EN LA ENTREGA. Con un camión tardará D días. Con todos los actualmente útiles, a los que llamaremos x, tardará: D/x=8 días. Y con todos los útiles más los dos averiados, habría tardado: D/(x+2)=7 días. Por consiguiente: D=7 D/8+14, así: D=112 días = 16 semanas.

30.    CUESTA ABAJO EN MI RODADA. Tardará más, ya que solamente en la primera parte del recorrido tardará la hora y cuarto que empleaba para ir de un pueblo a otro cuando el trayecto era llano. La mayor velocidad de bajada no puede compensar la pérdida de tiempo de la subida.

31.    UNA CIUDAD CON TRANVÍAS. Llamando v a la velocidad de los tranvías, la velocidad relativa entre el caminante y los tranvías que circulan en una y otra dirección es proporcional al número de los que le adelantan (en un caso) o al de los que se cruzan con él (en el otro).
 Así: v+6=6k, v-6=4k     (v+6)/(v-6)=6/4     v=30 km/h.

32.    EL NADADOR EN EL RÍO. Llamando D a la distancia que ha de recorrer, V a la velocidad con que nada y v a la velocidad de la corriente, tenemos:
         D/(V+v)=10, D/(V-v)=30     (V+v)/(V-v)=3     v=0'5V
         Sustituyendo el valor de v en la primera ecuación: D/(1'5V)=10     D/V=15 minutos. Como D/V es, precisamente, el tiempo que tardaría el nadador si no hubiese corriente, la solución es 15 minutos.

33.    VAYA CAMINATA. Amaneció a las 6 de la mañana.
         Sean: A = Anciana que va de A a B.  B = Anciana que va de B a A.
         a = Velocidad de A en km/h.   b = Velocidad de B en km/h.
         x = Espacio en km. que recorre A hasta las 12.
         y = Espacio en km que recorre B hasta las 12.
         t = Tiempo en horas empleado por B en todo el recorrido.
         t + 5 = Tiempo en horas empleado por A en todo el recorrido.
         A por la tarde: y = 9a.  B por la tarde: x = 4b.
         A por la mañana: x = at'. B por la mañana: y = bt'.
         Luego: x/a = y/b, ===>  bx = ay.  Por lo tanto:  4b2 = 9a2  ===>  b = 3a/2
         A en todo el recorrido: x + y = a(t+5).   B en todo el recorrido: x + y = bt.
         Luego: a(t+5) = bt.  Por lo tanto:  a(t+5) = 3at/2  ===>  t=10
         Si B estuvo andando 10 horas y llegó a las 4 de la tarde es que salió a las 6 de la mañana.

34.    LUCAS Y SU PAPÁ.

35.    EL ATLETA MATUTINO.

36.    LA VUELTA A LA MANZANA.

37.    DESAFÍO 1.

38.    LOS MARATONIANOS Y EL ENTRENADOR.

39.    LA CORRIENTE DEL RÍO.

40.    LA PALOMA Y LOS DOS TRENES. Puesto que los trenes viajan en direcciones contrarias a 50 y 70 km/h respectivamente, se acercan el uno al otro a la velocidad relativa de 120 km/h; luego tardarán media hora en recorrer los 60 kilómetros que los separan al iniciar la paloma su vaivén. En esa media hora, la paloma, cuya velocidad es de 80 km/h, habrá recorrido 40 kilómetros.

41.    LOS TRENES QUE SE CRUZAN. Imaginemos a nuestro viajero saliendo de A. El primer tren que se cruza es el que llega en ese momento y que salió de B hace 5 horas. El último que se cruce será el que salga de B en el momento en que él llegue allí, 5 horas después. O sea, que el viajero se cruzará todos los trenes que hayan salido de B en un intervalo de 10 horas comprendido entre dos salidas, es decir, 11 trenes.

42.    EL TREN PUNTUAL. Yendo a 4 km/h se tarda el doble que yendo a 8 km/h, y según los datos del problema yendo a 4 km/h se tarda quince minutos más; luego andando se tarda media hora, o lo que es lo mismo, se tarda quince minutos corriendo, por lo que la estación está a 2 kilómetros.

43.    EL CICLISTA PLAYERO. Un lector apresurado tal vez conteste 20 km/h, que es la media aritmética entre 30 y 10. Pero hay que tener en cuenta que tarda más en volver que en ir, o sea, que pasa más tiempo yendo a 10 km/h que a 30 km/h. Si llamamos x a la distancia en kilómetros que lo separa de la playa, al ir tardará x/30 y al volver x/10, en total, x/30 + x/10 = 2x/15, como la distancia total de ida y vuelta es 2x, la velocidad media será de 2x: 2x/15 = 15 km/h

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