SOLUCIONES DE RELOJES

1.    EL MINUTERO TRES VECES MENOS. La 5 y 15. El minutero tarda desde aquí 15 minutos en llegar al número 6, mientras que el horario tarda 45 minutos.

2.    OJO AL MINUTERO. Casi todo el mundo dice que 11 veces, pero la solución correcta son 10. Si no le parece cierto, échele un vistazo a su reloj.

3.    SONÓ EL DESPERTADOR. Mi tío durmió solamente 40 minutos.

4.    A LAS TRES Y DIEZ. 35.

5.    EL RELOJ DE PARED. Eran las doce, al entrar oyó; la ultima campanada de las 12.

6.    RELOJES DE ARENA. Se ponen a contar los dos relojes de 7 y 11 minutos, al mismo tiempo que echamos el huevo en el agua hirviente. Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos, le damos la vuelta y esperamos a que se agote el de 11. Entonces le damos la vuelta otra vez al reloj de 7 minutos. Cuando se agote también la arena habrán transcurrido 15 minutos. Aunque la solución anterior es la que menos tiempo requiere, obliga a dar dos vueltas a uno de los relojes. Hay otra solución más larga (que precisa de 22 minutos en total), pero más sencilla en el sentido de que sólo es necesario voltear una vez uno de los relojes. Se ponen ambos en marcha simultáneamente y, transcurridos los primeros 7 minutos se inicia la cocción del huevo. Cuando se agote la arena en el reloj de 11 minutos, le damos la vuelta. Al agotarse por segunda vez la arena de este reloj habrán transcurrido 15 minutos de cocción.

7.    OTROS DOS RELOJES DE ARENA. Se ponen a contar los dos relojes a la vez. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos, le damos la vuelta (han pasado 4 minutos). Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos, le damos la vuelta (han pasado 7 minutos). Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos, por segunda vez le damos la vuelta (han pasado 8 minutos), el reloj de 7 minutos ha funcionado durante 1 minuto. Le damos la vuelta una vez más. Cuando se termine la arena, han transcurrido los 9 minutos.

8.    LOS DOS RELOJES. Uno de los relojes se adelanta tres minutos con respecto al otro por cada hora, de modo que después de veinte horas estará una hora adelantado.

9.    APAGÓN DE LUZ. Cuando se produce un apagón, los relojes radio-despertadores que abundan en las casas se ponen a cero. Solamente habrá que restar de la hora exacta la del reloj para saber a qué hora se produjo el apagón.

10.    EL CAFÉ ESTÁ SERVIDO. Sea la 1 h. y x minutos la hora desconocida.
         Ángulo de la aguja pequeña con la bisectriz (en grados): 360/12 + x/60·360/12 = 30 + x/2.
         Ángulo de la aguja grande con la bisectriz: 360 - x·360/60 = 360 - 6x.
         De ahí la ecuación: 30 + x/2 = 360 - 6x. Es decir: x = 2/13·330 = 50 min. 46 seg.
         El café se sirve a la 1 hora, 50 minutos, 46 segundos.

11.    EL RELOJ QUE SE PARABA. Al salir de su casa el hombre dio cuerda al reloj y escribió la hora en un papel. Cuando llegó a casa de su amigo apuntó la hora que era en ese momento y cuando se fue volvió a apuntarla. Cuando llegó a su casa miró el reloj y así pudo saber cuánto tiempo había estado fuera de casa. Restando de eso el tiempo que había estado en casa de su amigo pudo calcular lo que había tardado en ir y venir; sumando la mitad de ese tiempo a la hora que era cuando salió de casa de su amigo pudo averiguar la hora que era en cada momento.

12.    LOS RELOJES DE ANTONIO Y JUAN. Juan llegará antes y a tiempo. Antonio perderá el tren.

13.    ENTRE LAS 11, LAS 12 Y LA 1. Llamando x al número de minutos que indica la aguja grande, tenemos:
         x/60 = (60-x)/5     x=720/13 minutos.
         La hora indicada es: Las 12 h 55 m. 23,1 s

14.    EN LA CANTINA.

15.    LAS AGUJAS DE MI RELOJ.

16.    LAS TRES MANECILLAS DEL RELOJ. Averigüemos en cuántos lugares de la esfera del reloj se superponen horario y minutero. Podrá pensarse que coinciden en 12 puntos, pero como ya sabemos, solamente sucede así en diez ocasiones comprendidas entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche. Añadida la coincidencia de las 12, tendremos un total de 11 diferentes lugares de coincidencia. Por un razonamiento análogo, el minutero y el segundero coincidirán en 59 puntos. Así pues, las coincidencias del minutero están separadas por 11 períodos iguales de tiempo, y las coincidencias de segundero y horario, por 59.
         Llamaremos A al número de arcos de circunferencia definidos por las coincidencias del primer tipo y B al número de arcos por vuelta correspondientes a las del segundo. Para que ambos tipos de coincidencia se presenten simultáneamente, A y B han de admitir algún divisor común mayor que 1. Ahora bien, 11 y 59 no pueden tener divisores comunes, pues son números primos. Por consiguiente, no puede haber ningún momento, entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche en que ambos tipos de coincidencias sean simultáneas. Con otras palabras, las tres manecillas sólo están exactamente superpuestas a las 12 en punto.

17.    ¿QUIEN ES MAYOR ANA O CARLOS? Primero tenemos que calcular cuántos días tienen que pasar para que los dos relojes vuelvan a marcar la misma hora. Como el reloj de Ana se atrasa tanto como el de Carlos se adelanta, los dos relojes volverán a marcar la misma hora cuando el de Carlos se haya adelantado seis horas y el de Ana se haya atrasado otras seis. (Entonces los dos relojes marcarán las seis, y, por supuesto, ninguno irá bien.) Pero, ¿cuántos días tendrán que pasar para que el reloj de Carlos se adelante seis horas? Un adelanto de diez segundos cada hora supone un minuto cada seis horas, que es 4 minutos al día, que es una hora cada 15 días, que es 6 horas en 90 días. De modo que al cabo de 90 días los relojes volverán a marcar la misma hora.
         Pero no nos han dicho en que día de enero se pusieron los dos relojes en hora. Si hubiera sido cualquier día excepto el 1 de enero, 90 días después no podía caer en marzo; tendría que caer en abril (o quizá en mayo). De modo que los relojes debieron ponerse en hora el 1 de enero. Pero aún así, 90 días después no caería en marzo a no ser que fuera un año bisiesto. (El lector puede comprobarlo con un calendario. Noventa días después del 1 de enero es el 1 de abril de un año normal y el 31 de marzo de un año bisiesto). Esto demuestra que el veintiún cumpleaños de Ana cae en año bisiesto, por tanto debió nacer en 1843, y no en 1842 ó en 1844. (Veintiún años después de 1843 es 1864, que es año bisiesto). Se nos dice que uno de los dos nació en 1842, por tanto fue Carlos quién nació en 1842. Así que Carlos es mayor que Ana.

18.    POLICÍA MATEMÁTICO. La conversación se llevó a cabo a las 9h y 36m, porque un cuarto del tiempo transcurrido desde la medianoche serían 2h y 24m, que sumado a la mitad del tiempo hasta la medianoche (7h y 12m), da 9h y 36m.
         Si no fuera por las primeras palabras del transeúnte, se podría suponer que era de tarde, y las 7h y 12m de la tarde podría ser una respuesta igualmente correcta.

19.    EL RELOJ DE CUCO. Si un reloj de pared tarda 5 segundos en dar las 6, es que los intervalos entre campanadas son de un segundo. Por consiguiente, en dar las 12 tardará 11 segundos.

20.    CAMPANADAS DE OTRO RELOJ. Si el reloj tarda 6 segundos en dar las seis, entonces cada intervalo entre campanadas será de 1'2 segundos. Al dar las once hay diez de esos intervalos, por lo que el tiempo total será de 12 segundos.

21.    DOS RELOJES. La respuesta corriente (errónea) es a las 6, pero la respuesta correcta es a las 5.
 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5

         Cuando el de Ana dio las 5, el de Carlos dio 3 campanadas. Luego dio 2 más.

22.    LA DIVISIÓN DE LA ESFERA. Reloj nuevo 1.500 partes. Reloj antiguo 720 partes.
         Las 3 horas y 48 minutos abarcan 228 partes.
         Resolvemos la siguiente regla de tres simple:
         720 ------- 1.500
         228 -------    x
         x = 475. Es decir: las 4 horas y 75 minutos.

23.    ...