DEMOSTRACIONES DE QUE 0.999999.... ES IGUAL A UNO

Primera

Hay que tener en cuenta que la suma de los términos de una progresión geométrica es

En el caso de progresiones donde la razón, r, es menor que uno, cuando sumamos infinitos sumandos, o sea que , y entonces la suma de los infinitos términos es

(*)

Es nuestro caso, la sucesión es una progresión geométrica de razón , y el primer término de la sucesión es 1.

Por tanto aplicando la fórmula (*)

Y siguiendo con la expresión que teníamos

Segunda

1-0.9=0.1

1-0.99=0.01

1-0.999=0.001

1-0.999...999=0.000...001

Y esta diferencia llega a ser cero porque el número de nueves es infinito.

Tercera

3*0.333...=0.999...

pero

luego 0.999... = 1

Cuarta: Por reducción al absurdo.

Supongamos que 0.999999.... < 1

Como entre dos números reales siempre hay otro, por ser un conjunto denso, necesariamente existe un número x tal que 0.999999.... <x< 1

Pero no existe ningún número que cumpla esa desigualdad, por tanto el supuesto era falso, 0.999... no es <1, es = 1

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