¿POR QUÉ EL FACTORIAL DE CERO ES UNO?

Conceptos previos

• Factorial de un número n:

Es el producto de ese número por todos los consecutivos a él, menores que él, hasta llegar al uno. Se expresa así n!

O sea n! = n (n-1)(n-2)...3.2.1

Con el factorial de un número estamos calculando las permutaciones de n elementos distintos. O sea el número de ordenaciones diferentes que se pueden hacer con n elementos distintos.

Por ejemplo, si tengo las letras ABC, vemos que con ellas se pueden hacer las siguientes ordenaciones distintas:

Nos salen 6 ordenaciones distintas y P3 = 3! = 3.2.1 = 6

• Variaciones de m elementos tomados de n en n:

Son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden formar tomados de los m dados, de tal forma que un grupo se diferencia de otro, o bien en que tiene algún elemento distinto o bien en que tienen distinto orden. Se expresa así Vm,n

Vm,n = m(m-1)(m-2)...(m-n+1)

De tal manera que resultan n factores.

Por ejemplo las variaciones de las letras ABCD tomadas de tres en tres son:

Hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3. En efecto la fórmula sería:

V4,3 = 4.3.2 = 24

• Combinaciones de m elementos tomados de n en n:

Son los distintos grupos de n elementos que se pueden formar, tomados de los m dados, de tal manera que dos grupos se diferencien en que tengan al menos un elemento distinto. Si tiene los mismos elementos cambiados de orden se considera que es la misma combinación, no se cuenta como otra nueva. Se expresa así Cm,n

A la expresión Cm,n también se le llama número combinatorio, y se expresa así:

y se lee m sobre n

Por tanto

Por ejemplo, las combinaciones de las letras ABCD tomadas de tres en tres son:

Nos han salido 4, y vemos que aplicando la fórmula sale

, pero por otra parte también podríamos haber aplicado:

Propiedades de los números combinatorios:

1. , en efecto, si tenemos m elementos y los tomo de uno en uno, me salen m grupos. Por otra parte aplicando la fórmula me queda:

2. , en efecto, si tenemos m elementos y los tomo todos sólo puedo formar una combinación, pues otra se tendría que diferenciar en, al menos, un elemento, y ya no hay más elementos. Pero si aplicamos la fórmula tenemos: Y aquí aparece el 0!, que en principio no tiene sentido, según la definición que hemos dado de factorial de un número. Pero como sí tiene sentido y hemos visto que es igual a 1, para que la expresión sea igual a 1, ha de ser 0!=1
   En realidad es un convenio para que la fórmula sea válida para cualquier valor de m y n.

3. , en este caso la expresión es la que no tiene sentido, pero con el acuerdo anterior y aplicando la fórmula queda:

4. ,

5. ,

Estas dos última propiedades se demuestran aplicando la fórmula

Ángela Núñez Castaín
anunezca@platea.pntic.mec.es
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