Los conjuntos  (racionales) y (reales) son conjuntos densos

 

O sea que entre dos números racionales hay infinitos números racionales, y lo mismo ocurre con los reales.

 

Tomemos dos números racionales cualesquiera (se pueden tomar en forma de fracción o en forma decimal, el procedimiento es el mismo), por ejemplo 0.2 y 0.3

 

Si los sumamos y dividimos entre dos obtendremos un número que está justo en la mitad entre ellos.

 

En efecto: , y se cumple que 0.2<0.25<0.3

 

Ahora tomamos 0.2 y 0.25, y hacemos lo mismo, sumamos y dividimos entre 2

, y se cumple que 0.2<0.225<0.25

 

Seguimos, ahora tomamos 0.2 y 0.225, , y se cumple que 0.2<0.2125<0.225

 

Y así sucesivamente. Esto lo podemos hacer indefinidamente, siempre hay un número en medio.

 

Lo mismo se puede hacer con un número real que no sea racional. Por ejemplo  y , sumamos y dividimos entre 2.

 cumple que , poniéndolo en forma decimal sería

1.414213562...<1.573132185...<1.732050808...

 

Ahora cogemos  y , sumamos y dividimos entre 2

 

, y se cumple que <<

Veámoslo en forma decimal: 1.414213562...<1.4936722874...< 1.573132185...

 

Y así podemos seguir indefinidamente, siempre habrá un número entre dos, por muy próximos que estén.

 

Por tanto de dice que el conjunto de los números racionales  y el de los números reales  son conjuntos densos.

 

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