TEORÍA DE PROBABILIDAD

Espacio muestral

Un espacio muestral S asociado a un experimento aleatorio, es un conjunto tal que:

a) Cada elemento de S representa un resultado del experimento

b) Cualquier forma de verificar el experimento da un resultado que corresponde a un elemento de S y sólo uno.

Ejemplo: si lanzamos dos monedas, una de 1 Euro y otra de 50 céntimos, el espacio muestral será siendo C la cara de una moneda y X el reverso de la misma o cruz.

Sucesos

Sea S un espacio muestral dado. Un suceso es un subconjunto de S.

Así si en un experimento el espacio muestral es siendo n finito, un suceso puede ser

1) Suceso simple es un subconjunto unitario de S. Esto es, habrá n sucesos simples , , …,
El suceso no es un suceso simple, sino que es la unión de dos sucesos simples:

2) Suceso imposible.- El suceso vacío o suceso imposible es el que no tiene ningún elemento y se le llama

3) Suceso seguro.- Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. O sea que es el espacio muestral. Suceso seguro = S

4) Sucesos incompatibles o disjuntos.- Son los que no pueden ocurrir a la vez.

Por ejemplo si , , E y F son incompatibles, no pueden ocurrir a la vez y entonces . Sin embargo los sucesos E y no son incompatibles, cuando ocurre está ocurriendo E y G y en este caso

5) Sucesos contrarios o complementarios

Dado un suceso cualquiera E, el suceso contrario o complementario es el que ocurre cuando no ocurre E. O sea que, además de ser incompatibles, o sea , se complementan para formar el espacio muestral, o sea que

La probabilidad de un suceso

1) Probabilidad.- A cada suceso simple le asignamos un número representado por y denominado probabilidad del suceso . Estos números (probabilidades) pueden asignarse arbitrariamente, con tal que satisfagan las siguientes condiciones:

a) La probabilidad de cada suceso simple es un número no negativo, es decir siendo

b) La suma de las probabilidades asignadas a todos los sucesos simples de un espacio muestral es 1. Esto es:

Por tanto siendo

2) Probabilidad del suceso imposible.- El suceso imposible tiene de probabilidad 0.

3) Probabilidad de un suceso.- Si E es la unión de dos o más sucesos simples, la probabilidad de E, representada por P(E) es la suma de las probabilidades de los sucesos simples cuya unión es E.

Algunos teoremas de probabilidades

1) Probabilidad del suceso seguro.- La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir

Demostración

2) Si E y F son sucesos tales que (E está incluido o es subconjunto de F, o sea que si ocurre E ocurre también F, , E implica F)

En resumen: Si

3) Probabilidad de un suceso cualquiera.- Siendo E un suceso cualquiera

4) Probabilidad de la unión de dos sucesos.-

Si los sucesos son incompatibles en ese caso

Si son sucesos incompatibles

5) Probabilidad de sucesos complementarios.- Si el suceso complementario de E, es

Demostración

Por ser E y complementarios à à Por ser E y incompatibles , y como

à

6) Subconjuntos.- Si A es subjunto de B o es igual a B, o sea , ya que si A tiene menos elementos que B y todos ellos están en B, al sumar las probabilidades de cada suceso simple dará un número menor en A que en B. Si A=B lógicamente P(A)=P(B)

7) Resta de conjuntos.-

Se define el conjunto A-B como el que está formado por los elementos de A que no están en B. Por tanto si quitamos a A los elementos comunes a A y B () nos queda A-B

8) Desigualdad de Boole.-

Demostración

Ya hemos visto en el punto 5) que , y que por tanto nos queda ahora que

Por otra parte de 4) se deduce que

Sustituyendo en la desigualdad que tenemos que demostrar queda:

, simplificando tenemos que hemos de demostrar ahora que

, à que ya sabemos que es cierto, pues un suceso cualquiera cumple 3), y el suceso también cumplirá que

9) Probabilidad de la unión de tres o más sucesos.- Vamos a probar que siendo y sucesos cualesquiera

Para ello vamos a representar los sucesos y en un diagrama de Venn en el que representamos a los tres sucesos dentro del espacio muestral S

Separamos dentro del espacio muestral regiones de sucesos incompatibles, o sea sucesos que no tienen ningún elemento en común.

Por ejemplo el suceso está compuesto de las regiones independientes y , y vamos a llamarle a la probabilidad de que ocurra

Sustituimos esta notación en la fórmula que queremos probar

, este es el primer miembro de la igualdad.

El segundo es:

=

Luego ya lo hemos probado.

Esta fórmula que hemos probado para tres sucesos cualesquiera se puede generalizar para n sucesos así:

10) Desigualdad de Benferroni.-

Dados tres sucesos cualesquiera y , vamos a probar que

De la propiedad 9) se deduce que

Luego ya tenemos probada la primera desigualdad.

Y de la figura del apartado 9) donde separamos los tres sucesos en regiones, vemos que

Mientras que =

Probada la segunda desigualdad.

Por tanto probada la desigualdad doble que supone la desigualdad de Benferroni

Esta desigualdad se puede generalizar para n sucesos quedando así:

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