¿Por qué raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

¿Y raíz cuadrada de 5?

¿Y raíz cúbica de 2?

PREAMBULO NECESARIO PARA ENTENDERLO

Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción de números enteros.

Los hay de cuatro tipos:

1) ENTEROS

Cualquier número entero se puede poner en forma de fracción de dos enteros, él mismo y la unidad.

EJEMPLOS

2) DECIMAL EXACTO

o sea que tiene un número finito de decimales.

Para pasarlo a forma de fracción se escriben todas sus cifras, incluidos los decimales, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Después se puede multiplicar o dividir numerador y denominador por un mismo número para obtener fracciones equivalentes, que todas ellas representan el mismo número racional.

EJEMPLOS

3) DECIMAL PERIÓDICO PURO

o sea con infinitas cifras decimales que se repiten indefinidamente.

Para pasarlo a forma de fracción de números enteros, se escribe en el numerador la parte entera seguida del grupo de cifras del período, y se le resta la parte entera, y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tiene el período.

EJEMPLOS

4) DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

O sea que tiene infinitas cifras decimales periódicas, pero tiene algunas, justo detrás de la coma que no se repiten.

Para pasarlos a forma de fracción de números enteros se escribe en el numerador la parte entera seguida de la parte no periódica y del período, menos la parte entera seguida de la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica.

EJEMPLOS

Una forma de comprobar si has hecho bien el paso de decimal a fracción es coger la calculadora y dividir numerador entre denominador, te tiene que salir el decimal que tenías al principio.

Y YA NO HAY MÁS

CUALQUIER NÚMERO RACIONAL TIENE UNA DE ESTAS CUATRO FORMAS

Y viceversa, si coges cualquier fracción de números enteros, al hacer la división verás que SIEMPRE te va a dar un número con la forma de una de las cuatro que hemos descrito, o sea o te da ENTERO, o un DECIMAL EXACTO, o un DECIMAL PERIÓDICO PURO, o un DECIMAL PERIÓDICO MIXTO.

Vamos ahora a demostrar que el número no es racional, 
o sea que no existe ninguna fracción de números enteros que de como resultado

Hay que tener en cuenta que a los números reales no racionales se les llama irracionales, y es el caso de

DEMOSTRACIÓN

El método que vamos a utilizar para la demostración es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso.

En este caso la hipótesis es que vamos a suponer que es racional, o sea que existe una fracción de números enteros que es igual a . Dicha fracción la suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya está.

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad 

Multiplicamos por b² los dos miembros de la igualdad  a²=2.b²

Esta expresión nos dice que a² es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. Y por tanto a es par.

Pero a² es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.

Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de b², el otro 2 tiene que estar en el b²

Eso quiere decir que b² también tiene que ser par, y por tanto b también es par.

Pero si a es par y b también, la fracción  no es irreducible, como habíamos supuesto.

Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible  cuyo numerador y denominador son pares.

Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A , o lo que es lo mismo no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL

El número en forma decimal es =1,41421356237..., vemos que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no es de ninguno de los tipos que hemos visto antes.

AHORA RAÍZ CUADRADA DE 5

De forma análoga se demuestra que el número no es racional, 
o sea que no existe ninguna fracción de números enteros que de como resultado

En este caso la hipótesis es que vamos a suponer que es racional, o sea que existe una fracción de números enteros que es igual a . Dicha fracción la suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya está.

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad 

Multiplicamos por b² los dos miembros de la igualdad  a²=5.b²

Esta expresión nos dice que a² es múltiplo de 5, ya que resulta de multiplicar 5 por otro número. Y por tanto a es múltiplo de 5.

Pero a² es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 5, el 5 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.

Por tanto como ya hay un 5 en la igualdad delante de b², el otro 5 tiene que estar en el b²

Eso quiere decir que b² también tiene que ser múltiplo de 5, y por tanto b también es múltiplo de 5.

Pero si a es múltiplo de 5 y b también, la fracción  no es irreducible, como habíamos supuesto.

Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible  cuyo numerador y denominador son múltiplos de 5.

Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A , o lo que es lo mismo no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL

El número en forma decimal es =2,236067977..., vemos que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no es de ninguno de los tipos que hemos visto antes.

AHORA RAÍZ CÚBICA DE 2

De forma análoga se demuestra que el número no es racional, 
o sea que no existe ninguna fracción de números enteros que de como resultado

En este caso la hipótesis es que vamos a suponer que es racional, o sea que existe una fracción de números enteros que es igual a. Dicha fracción la suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya está.

Elevamos al cubo los dos miembros de la igualdad

Multiplicamos por b³ los dos miembros de la igualdad a³=2.b³

Esta expresión nos dice que a³ es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. Y por tanto a es múltiplo de 2.

Pero a³ es un cubo perfecto, o sea es un número entero al cubo, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cubo, o sea tres veces.

Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de b³, los otros 2 tienen que estar en el b³

Eso quiere decir que b³ también tiene que ser múltiplo de 2, y por tanto b también es múltiplo de 2.

Pero si a es múltiplo de 2 y b también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.

Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible cuyo numerador y denominador son múltiplos de 2.

Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A , o lo que es lo mismo no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL

El número en forma decimal es , vemos que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no es de ninguno de los tipos que hemos visto antes.

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