Catálogo de software de matemáticas

 

 

 

Geometría

Programas generales

Aritmética

Herramientas de cálculo

Análisis

Estadística y probabilidad

Programación lineal

 

 

 

 

Geometría

 

 

 

La geometría ha sido durante siglos uno de los pilares de la formación académica desde edades tempranas.  Nadie cuestiona la importancia de la geometría como formadora del razonamiento lógico. Pocos son quienes discuten su trascendencia tanto en estudios posteriores de cualquier ciencia como en el desarrollo de habilidades cotidianas.

 

Durante la segunda mitad del siglo pasado, perdió paulatinamente presencia en los planes de estudio. Afortunadamente, los actuales currículos de matemáticas de todos los niveles educativos confieren a la geometría la importancia que nunca debió perder.

 

¿Estamos enseñando a nuestros alumnos una geometría adecuada? ¿Es suficiente que nuestros alumnos calculen longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas a partir de unos datos, despejando la magnitud desconocida de una expresión algebraica que relaciona objetos geométricos? ¿Es más importante calcular el área de un triángulo rectángulo o construir el triángulo rectángulo a partir de una circunferencia?

 

¿Qué geometría debemos enseñar? ¿Pueden nuestros alumnos estudiar geometría analítica en segundo ciclo de educación secundaria sin conocimientos sólidos de geometría sintética?

 

Actualmente disponemos de las herramientas necesarias para que la formación  del alumno sea más completa. Los programas de geometría dinámica han demostrado en las dos últimas décadas su capacidad de ayuda al usuario para adquirir destrezas en uno de los campos más creativos de las matemáticas.

 

Los ejemplos más importantes para la ayuda de la enseñanza de la geometría mediante medios informáticos son los llamados programas de Geometría Dinámica. Proporcionan una ayuda extraordinaria para la experimentación. Un programa de Geometría Dinámica permite construcciones de geometría elemental, donde los elementos que se construyen se definen por propiedades cualitativas no mediante ecuaciones y geometría analítica, aunque ésta esté detrás, en el funcionamiento interno del programa.

 

Una vez definida la construcción ésta se puede "mover" y deformar pero las condiciones que definen cada elemento permanecen invariables. Normalmente al abrir un programa de Geometría Dinámica aparece una ventana con un área de trabajo que desempeña el papel de pizarra donde se dibujan las construcciones geométricas. Además hay una barra con botones de herramientas y menús que permiten la definición y características de cada elemento.

 

Existen varios programas de Geometría Dinámica que son similares aunque cada uno tiene características especiales que le hacen mejor para algunas cosas:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Seguramente lo mejor para estudiar cuerpos geométricos sea el modelo sólido real, es decir, el propio cuerpo. Pero a veces no es tan fácil disponer de todos los cuerpos geométricos y en cantidad y tamaño suficiente. Por eso viene bien disponer de programas que permiten visualizar estos cuerpos de forma dinámica. Existen muchos programas de características similares, reseñaremos uno de ellos.

 

 

Poly Pro

Tamaño:  1.33 MB
Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP
Web:  
http://www.peda.com/

 

Poly Pro es un programa para visualizar, analizar, desarrollar y estudiar las formas poliédricas. Puede mostrar poliedros en tres modos principales:

 

 

 

 

Las imágenes tridimensionales pueden girarse y plegarse/desplegarse en forma interactiva. Los modelos físicos se pueden construir imprimiendo la red bidimensional aplastada, recortando luego el perímetro, plegando las aristas y finalmente pegando las caras vecinas. Poly Pro agrega la posibilidad de exportar los modelos tridimensionales usando formatos estándar para datos tridimensionales. El modelo exportado puede importarse en otros programas de modelado.

 

Los poliedros que presentan son:

 

 

Análisis en profundidad de algunos programas

Cabri II Plus. Cabriweb

 

Tamaño:  5.39MB
Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP
Web:   http://www.cabri,com/

El programa cabri-géométre II fue diseñado por Jean Marie Laborde y Franck Bellemain en la Universidad Joseph Fourier de Grenoble (Francia) y experimentado en sus aulas.

 

 

 

 

 

 

Descripción

 

Se trata de un excelente programa diseñado para construir Geometría. Permite construir objetos geométricos, visualizarlos de forma dinámica, manipularlos, transformarlos y realizar medidas sobre ellos.  Permite estudiar en el plano y ahora con Cabri 3D también en el espacio todo tipo de propiedades geométricas y lugares geométricos de forma sencilla e intuitiva. Muy fácil de utilizar para los alumnos.

 

 

El programa permite realizar con el ordenador todas las construcciones que se pueden realizar con regla, compás y las herramientas habituales de dibujo, pero con este programa se pueden manipular directamente las figuras construidas en la pantalla mediante el arrastre con el ratón de ciertas partes de ellas. De hecho, una vez elaborada una figura geométrica, Cabri reconoce cuáles son las partes (de dicha figura) que pueden ser arrastradas. Es fundamental señalar que esto ocurre, sin alterar las relaciones estructurales entre las partes constitutivas de la figura, lo que le convierte en una herramienta muy valiosa para el estudio de invariantes y propiedades geométricas de carácter general de los objetos geométricos. En concreto es un instrumento de primer orden para el estudio dinámico de lugares geométricos

 

 

 

Características principales

 

Es un programa fundamentalmente gráfico que funciona a través de un menú basado en botones para acceder a las distintas funciones.

 

 

 

Permite construir:

 

Puntos: aislados, sobre un objeto, como intersección.

Figuras rectilíneas: rectas, semirrectas, segmentos, vectores, triángulos, polígonos y polígonos regulares

Figuras curvilíneas: circunferencias, arcos de circunferencia, cónicas

Construcciones y herramientas: punto medio, recta perpendicular, recta paralela, mediatriz, bisectriz, suma de vectores, construcciones con compás, transferir medidas, lugares geométricos.

Movimientos en el plano: simetría central y axial, traslación, rotación, homotecia e inversión

Determinación de posiciones relativas: pertenece un punto a un objeto, están alineados tres puntos, es equidistante, son paralelas dos rectas, son perpendiculares

Medidas: coordenada, distancia, longitud, área, ángulo, pendiente, ecuación, valores numéricos de expresiones algebraicas, crear tablas

Elementos de edición: texto sobre objetos, números, expresiones

Marcas sobre objetos: ángulos, hacer trazas, animar objetos...

Elementos de diseño gráfico: color, espesor, llenado, ocultar, mostrar, aspecto, punteado, ejes, cuadrícula...

 

CABRI tiene un problema nada desdeñable, su dificultad de exportar sus gráficos y sus animaciones a otras aplicaciones más familiares para el usuario.

 

Hace unos años los creadores de CABRI han lanzado el Proyecto Cabriweb, que permite disfrutar de las aplicaciones con animaciones y la posibilidad de manipulación de los objetos geométricos a través de cualquier navegador de Internet mediante applets de Java.  Ahora Cabri puede traducir sus aplicaciones al lenguaje Java y permite verlas en ficheros html sin necesidad de tener el programa cargado en el ordenador. La idea es simple: una aplicación llamada Cabri Web que traduce directamente un fichero de Cabri a un fichero HTML con un applet de Java incluido.

 

La aplicación está disponible en la red en esta dirección: http://www.cabri.net/cabrijava/, con manual incluido.

 

 

Aplicaciones en clase

 

 

El programa permite estudiar figuras geométricas en movimiento. Esta facultad nos permitirá:

 

·         Estudio de la rigidez y deformabilidad de una figura

·         Movimientos que conservan algunas propiedades

·         Definición apropiada de figuras en el Cabri con el fin de que tengan propiedades invariantes si son sometidas a movimientos de sus componentes.

 

 

La definición de una figura a través de elementos distintos permite comprobar de forma aproximada algunas propiedades de simetría e igualdad:

 

·         Definición de una figura mediante movimientos y simetrías y posterior estudio métrico.

·         Comprobación de teoremas (Pitágoras, Tales, etc.) en figuras con elementos móviles.

 

 

La facilidad de definición de movimientos, semejanzas y simetrías y la posibilidad de ocultar líneas auxiliares nos permiten la búsqueda de elementos notables entre figuras homólogas:

 

·         Búsqueda por tanteo del centro y ángulo de giro o de ejes de simetría

·         Construcción de vectores de traslación

·         Construcción de figuras mediante movimientos

 

 

Es muy interesante la combinación de elementos fijos y móviles para estudiar cómo cambian algunas relaciones según la distinta posición de algunos elementos:

 

·         Diferencias entre altura, bisectriz y mediana en un triángulo. Relaciones métricas

·         Tangentes, cuerdas y secantes a una circunferencia.

·         Cuerda común a dos circunferencias.

 

La posibilidad de definir macros permitirá a los alumnos mayores sintetizar en pocos elementos la definición de una figura:

 

·         Construcción de paralelogramos mediante traslaciones, ángulos o puntos.

·         Dibujo de polígonos regulares mediante giros y simetrías

·         Construcción de figuras nuevas mediante movimientos de otras conocidas.

 

           

En concreto para 4º de ESO el programa se puede utilizar para estudiar los siguientes contenidos:

 

-          Figuras semejantes

-          Teorema de Thales.

-          Semejanza de triángulos.

-          Relación entre las áreas de figuras semejantes.

-          Teorema del cateto y Teorema de la altura

-          Ángulos y Areas

-          Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

-          Relaciones fundamentales.

-          Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.

-          Vectores. Operaciones.

-          Vector que une dos puntos.

-          Ecuación de la recta.

-          Ecuación de la circunferencia

 

 

Valoración didáctica

 

El programa es de fácil manejo y no requiere de mucho tiempo y esfuerzo para su aprendizaje. Al tratarse de un programa de dibujo se pueden comprobar los aciertos y errores de la construcción de forma automática.

La manipulación directa de los objetos geométricos hace posible la experimentación en dominios que anteriormente eran inaccesibles para el alumno. Además, su conocimiento queda marcado por relación directa entre percepción y conceptualización durante la interacción con el programa y la socialización en el marco de la clase.

Cabri incorpora herramientas de medida directa de los objetos construidos lo que permite desarrollar no sólo un enfoque sintético de la geometría sino que hace posible abordar problemas métricos sobre objetos geométricos reales, algo poco trabajado en clase hasta ahora.

Dado el control formal del entorno, las experiencias desarrolladas pueden considerarse como genuinas investigaciones geométricas. La visualización y las representaciones externas permiten atender otro problema medular del aprendizaje y de la enseñanza de las matemáticas: el problema de la validación de los enunciados matemáticos y de la comprobación de los resultados.

 

Metodología de uso

 

Cabri  facilita una metodología activa en la que los alumnos además de construir figuras, pueden experimentar con ellas, comprobar conjeturas, descubrir propiedades y, en definitiva, hacer Geometría. El papel del profesor será fundamentalmente, el de preparar el material impreso de apoyo, observar y ayudar para resolver las dudas particulares de cada equipo, el de motivar para la actividad y promover la reflexión, el intercambio de conjeturas y conclusiones, etc.

 

Se puede plantear dos posibilidades de uso del programa:

 

 

 

Mediante la aplicación Cabriweb se pueden pasar los modelos a formato html lo que hace posible verlos con un navegador en ordenadores que no tienen el programa Cabri cargado.

 

Existen muchas y muy buenas direcciones de Internet con aplicaciones didácticas desarolladas con estos programas. Entre ellas hay que destacar:

 

Curso de Geometría. 2º Premio materiales CNICE 2005. De José Manuel Arranz

http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/2eso.htm

Geometría con Cabri. http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/

Modelos de máquinas y mosaicos con Cabri, de José Antonio Mora http://teleline.terra.es/personal/joseantm/

Más modelos de Carmen Arriero e Isabel García http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/

Colección de aplicaciones de Carlos Fleitas en la web del IES Marqués de Santillana de Colmenar Viejo http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem/inddep.htm

Algunos ejemplos en la página del IES Salvador Dalí http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/index.html

 

 

GeoGebra

 

Tamaño:  20 MB

Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP
Web:  http://www.geogebra.at

 

 

 

 

GeoGebra es un programa interactivo en el que se combinan, por partes iguales, el tratamiento geométrico y el algebraico. Fue diseñado, por Markus Hohenwarter de la Universidad de Salzburgo, como herramienta para la enseñanza y aprendizaje de matemáticas para la enseñanza secundaria. No es un programa al uso de geometría dinámica, aunque recoge la práctica totalidad de las herramientas de los programas clásicos como Cabri. Su principal característica diferenciadora es el tratamiento algebraico de los elementos geométricos dibujados de forma clásica.

 

Es de muy fácil manejo a pesar de su potencial. El aprendizaje es muy intuitivo y se realiza al hilo de su utilización en contextos de aprendizaje lo que no requiere ni sesiones especiales de manejo del programa ni elaboración de apuntes sofisticados

 

La presentación de la pantalla del programa cuenta con dos ventanas activas: una zona de dibujo en la que se crean y manipulan objetos geométricos: puntos, segmentos, rectas, vectores, triángulos, polígonos, círculos, arcos, cónicas... – los mismos que en Cabri -; y otra donde aparecen las coordenadas de los puntos y las ecuaciones de las rectas y curvas trazadas que se actualizan simultáneamente con los cambios en la región gráfica.

 

Sus ventajas sobre Cabri y otros programas similares son que se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Permite manejarse con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos.

 

Sus rutinas analíticas permiten su uso como instrumento para el estudio de funciones como un programa clásico de representación gráfica y de tratamiento de puntos notables: corte con los ejes, extremos, función derivada, integral, etc.

 

Tiene implementado rutinas de nimaciónción de la función y de localización de máximos, mínimos, puntos de inflexión, función derivada, integral definida, recta tangente en un punto...

Permite grabar los ficheros en formato HTML para ser utilizados con cualquier navegador.

 

Su desventaja que no cuenta con una herramienta de animación automática de objetos lo que limita su potencial de mostrar los objetos con movimiento.

 

Valoración didáctica

Reúne todas las ventajas didácticas de Cabri y además incorpora herramientas básicas de estudio de funciones sobre todo polinómicas.

Es una ventaja la doble presentación geométrica y algebraica de los objetos estudiados ya que posibilita el tránsito natural de la geometría sintética a la geometría analítica.

Es de muy fácil aprendizaje y presenta un entorno de trabajo agradable. Los gráficos se pueden exportar con facilidad tanto a páginas web interactivas en las que la construcción funciona como un applet de Java, como a documentos de texto.

 

Aplicaciones en clase

Las mismas que Cabri más el estudio de funciones, con aplicaciones tan llamativas como el desarrollo en serie de Taylor de una función en un punto con el número de términos que se elijan.

Como ejemplo de aplicación como verdadera investigación se estudia uno de los problemas de las oposiciones de este año para profesores matemáticas de secundaria.

En un triángulo cualquiera ABC se trazan los puntos que dividen a cada lado en tres partes iguales y se unen, como indica la figura con el vértice opuesto; las rectas así trazadas determinan el triángulo IJK . ¿Qué relación hay entre las áreas de los triángulos ABC e IJK?

 

 

 

Programas generales de matemáticas

 

 

 

Son programas que incorporan una amplia serie de herramientas de cálculo y de representación que permiten abordar distintas ramas de las matemáticas: aritmética, álgebra simbólica, geometría, cálculo vectorial y matricial, funciones, curvas y superficies...

 

 

Derive 5.0 – 6.0

 

    

 

Tamaño:  Derive 5: 5.39MB; Derive 6: 10 MB
Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP
Web:  http://www.derive-europe.com/

 

 

 

Descripción.

 

 

Derive es una herramienta matemática de propósito general que procesa todo tipo de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), variables, expresiones algebraicas, ecuaciones, vectores, matrices, funciones... Puede realizar cálculos numéricos y simbólicos con álgebra, trigonometría, análisis...

Realiza representaciones gráficas en dos y tres dimensiones

Se puede utilizar Derive como una calculadora numérica de gran potencia. Con

Derive podemos realizar cálculos exactos con la precisión que sea necesaria. Permite

manipular expresiones racionales como 1/3, sin necesidad de tener que operar con su

expresión decimal aproximada.

Incorpora rutinas de cálculo matricial, estadística, interpolación, integración numérica, etc.

Maneja el cálculo matemático simbólico, manipulando con facilidad expresiones algebraicas (identidades, ecuaciones, fórmulas, polinomios y fracciones algebraicas) y puede realizar la mayoría de operaciones con las mismas: simplificar, factorizar, resolver....

Su potencial didáctico reside en la capacidad de combinar el cálculo simbólico con la representación gráfica. Permite construir gráficos de 2 y de 3 dimensiones. Es decir puede trabajar en el plano para la representación de curvas y en el espacio para el estudio de planos y superficies.

 

N el tratamiento gráfico se pueden representar los datos y adjuntar sus tablas de valores, modificar escalas, colores y sombreados y otras características de los gráficos. Calcula límites, derivadas e integrales. Puede crear gráficos animados.

 

Características principales

 

 

En el currículo de secundaria se puede utilizar en los siguientes temas

 

Números, Álgebra, Geometría analítica del plano, Funciones, Derivadas, Integrales, Geometría Analítica del Espacio y Programación Lineal.

 

 

Aplicaciones en clase

 

·         Números:

 

Aproximaciones y errores, notación decimal y científica, operaciones con números racionales, números irracionales, operaciones con radicales, potencias y raíces, notación exponencial, racionalización. Logaritmos. Números combinatorios. Sucesiones y progresiones. Límites de sucesiones

 

·         Álgebra:

 

Operaciones con polinomios y expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división factorización, valor numérico, teorema del resto. Raíces de un polinomio. Potencias de polinomios. Binomio de Newton. Fracciones algebraicas: simplificación, operaciones

 

·         Trigonometría:

 

Conversión de ángulos de un sistema a otro. Resolución de triángulos no rectángulos. Representación de funciones trigonométricas y sus inversas. Familias de funciones dependiendo de uno o más parámetros, aplicación al estudio de ondas. Comprobación de fórmulas trigonométricas, resolución de ecuaciones trigonométricas y sistemas,

 

·         Funciones:

 

Representación gráfica a partir de la fórmula algebraica, de tablas de datos. Estudio global. Familias de curvas. Composición de funciones y funciones inversas. Estudio local. Límites laterales en un punto, continuidad, límites infinitos, asíntotas. Derivadas e integrales

 

·         Geometría analítica

 

Vectores, operaciones. Trazado de rectas, familias de rectas, intersección, paralelismo, ángulo de dos rectas. Problemas métricos.

 

·         Probabilidad

 

Simulación de sucesos aleatorios. Representación de frecuencias relativas. Estabilización. Probabilidad de sucesos.

 

 

Valoración didáctica

 

Derive es un programa genérico de aplicación a la práctica totalidad del currículo de la ESO y bachillerato. Es una herramienta matemática muy completa de un potencial enorme que posibilita un enfoque activo en el aprendizaje de los alumnos. Hasta ahora el principal inconveniente era su complicado aprendizaje y funcionamiento que exigía para los alumnos un tiempo nada despreciable para aprender las rutinas de uso.

 

A partir de las versiones 5 y 6 la presentación del programa, el acceso y puesta en acción de menús y herramientas matemáticas se ha hecho más sencillo, algo más fácil y atractivo.  Sin embargo, continúa exigiendo un aprendizaje guiado poco intuitivo y directo lo que hace casi imprescindible un doble enfoque por parte del profesor: enseñar a utilizar la herramienta informática, al mismo tiempo que muestra su utilidad didáctica y los resultados matemáticos perseguidos.

 

Sin embargo desde el punto de vista pedagógico Derive tiene un inconveniente; la mayoría de sus herramientas sirven, casi exclusivamente para proporcionar resultados. Como decía un alumno en una entrevista realizada a J.M. Arias en El País: “es fabuloso, tú le metes los datos y el ordenador te hace el problema”Es decir, su nivel de interactividad con el alumno en su proceso de aprendizaje es bajo. El programa hace lo que debería hacer el alumno. Este hecho, en sí no es negativo, ya que permite a profesores y alumnos liberarse de la realización de cálculos y procesos tediosos y rutinarios y concentrarse en el origen y fundamento de los conceptos y en la aplicación de procedimientos y técnicas para alcanzar resultados y conclusiones en investigaciones más amplias.

 

Esto no invalida la utilización de Derive en algunas unidades de la ESO, pero condiciona el protocolo de uso del mismo. Su utilización se debe enfocar a situaciones en las que el alumno tiene que deducir propiedades observando ciertos resultados, enumerar características, condiciones de aplicación... de objetos y conceptos matemáticos, liberándole de la realización de cálculo tediosos o de la aplicación de técnicas rutinarias.

 

 

 

Metodología de uso

 

Esto condiciona la metodología de uso del programa, y exige un material impreso elaborado previamente por el profesor para guiar no sólo desde el punto de vista técnico de manejo del programa, sino sobre todo desde el punto de vista pedagógico del itinerario a seguir para conseguir los objetivos didácticos perseguidos.

 

Se puede plantar dos posibilidades de uso del programa:

 

 

 

Con un enfoque constructivista del aprendizaje matemático Derive puede ser una herramienta útil para descubrir resultados, comprobar conjeturas, contrastar hipótesis,... En definitiva es un instrumento para que los alumnos, con unas orientaciones guiadas por el profesor pueda hacer matemáticas de forma autónoma, abordando investigaciones asequibles a sus conocimientos.

 

Proyecto Descartes

 

 

Dirección de Internet: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/index.html

 

 

 

El proyecto Descartes es una experiencia del CNICE, antes PNTIC (Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación) del MEC que nace en 1998, basado en una aplicación de José Luis Abreu, el autor de los programas Calcula y Cónicas, llamada Descartes y que permite generar materiales interactivos de carácter visual y dinámico, compatible con el lenguaje HTML, y por tanto utilizables en Internet, utilizando applet de JAVA.

 

Descartes introduce como novedad la facilidad para la confección de las escenas, a modo de pizarras electrónicas interactivas y dinámicas, y su inclusión en páginas web, de forma que una unidad didáctica será una o más páginas html, con todas las facilidades de creación y modificación que permiten los programas editores que hay en el mercado para confeccionar páginas de este tipo.

 

Existen en Internet numerosos applets, algunos son interactivos, es decir que permiten al usuario modificar algún parámetro y observar el efecto que se produce en la pantalla, pero lo que caracteriza a Descartes es que, además, es configurable, es decir, que los usuarios (profesores) pueden programarlo para que aparezcan diferentes elementos y distintos tipos de interacción. No hay que olvidar, también, su finalidad educativa. En particular, el applet Descartes tiene una programación muy matemática para que a los profesores de esta materia les resulte fácil su aprendizaje y utilización.

 

Básicamente, Descartes es un sistema de referencia cartesiano interactivo, en el que se pueden configurar y emplear todos los elementos habituales: Origen, ejes, cuadrantes, cuadrícula, puntos, coordenadas, vectores, etc. Permite representar curvas y gráficas dadas por sus ecuaciones, tanto en forma explícita como implícita; en particular permite representar las gráficas de todas las funciones que habitualmente se utilizan en la enseñanza secundaria, tanto en coordenadas cartesianas como en paramétricas o polares. Los elementos que interviene en la definición de las expresiones y ecuaciones pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que las gráficas que se muestran cambien al modificar esos parámetros.

 

Dispone también de una poderosa herramienta de cálculo que permite evaluar cualquier expresión matemática y escribir el resultado en la escena. Como ocurre en las representaciones gráficas, los elementos que interviene en los cálculos pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que los resultados que se muestran cambien al modificar esos parámetros.

 

También se pueden representar los elementos geométricos elementales, tanto en el plano como en el espacio: puntos, segmentos, arcos, etc., lo que permite hacer numerosas representaciones geométricas. Como en los casos anteriores, estos elementos pueden depender de parámetros, de forma que la representación cambia cuando el usuario los modifica.

 

En estos últimos años un numeroso equipo de profesores ha realizado cientos de aplicaciones y desarrollado un buen número de unidades didácticas que recorren la práctica totalidad del currículo de la ESO y Bachillerato.

 

Estas aplicaciones están disponibles en el servidor de Internet del CNICE (Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa).  En este servidor se pueden encontrar los siguientes apartados:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Valoración didáctica

 

El Proyecto Descartes es una herramienta de primer orden para visualizar conceptos y procedimientos y técnicas matemáticas, de una forma dinámica y activa. Descartes es de hecho un libro electrónico interactivo que abarca todo el currículo de la ESO y los bachilleratos.  Es especialmente interesante para los temas de geometría y de análisis, aunque también existen unidades y aplicaciones de álgebra, aritmética, probabilidad y estadística.

 

Hasta ahora muchos profesores han rechazado esta herramienta por pensar que se necesitaba estar conectado a Internet para poder utilizarla con los alumnos.  Está claro que se puede utilizar así, on-line, pero no es necesario estar conectado. El profesor y los alumnos pueden descargar a los ordenadores locales o a disquetes, aplicaciones, unidades didácticas enteras y experiencias, modificarlas y trabajar con sus alumnos sin necesidad de estar conectado a Internet. Para poder trabajar de este modo basta con descargar el motor de Descartes y los ficheros comunes y guardarlos en el disco duro del ordenador.

 

Las ventajas del proyecto se resumen en los siguientes aspectos:

 

Contenidos

 

Unidades didácticas

 

Más de 140 unidades didácticas correspondientes a:

 

 

En cada curso podemos encontrar entre 10 y 20 unidades didácticas desarrolladas completamente, con applets animados, introducción teórica y ejercicios de aplicación.

 

 

Unidad: Complejos. 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y la Salud

 

 

 

 

Unidad Funciones. 4º de ESO

 

 

 

Aplicaciones:

 

Incluye un catálogo de todas las aplicaciones (más de 160) seleccionadas por bloques temáticos: álgebra, geometría, análisis, estadística; nivel educativo y autor.

 

 

 

Experiencias:

 

En este apartado se incluyen las más de 50 experiencias de aula realizadas por profesores y alumnos.

 

Aplicación de alumnos de 1º de Bachillerato

 

 

 

Metodología

 

Las aplicaciones de Descartes se pueden utilizar de varias maneras. Se pueden utilizar tanto con la clase completa en el aula de informática trabajando todos los alumnos en equipos de dos, con la misma aplicación o con aplicaciones distintas o bien en el aula ordinaria como pizarra electrónica con un portátil de uso individual para el profesor o un alumno

 

Para el alumno. La forma más sencilla de usar Descartes es utilizar las páginas donde se hayan insertado las escenas. Es la que utilizarán generalmente los alumnos, o las personas que se acerquen por primera vez a esta aplicación. No se requiere tener ningún conocimiento previo. Bastará con las indicaciones que se hagan en la propia página en la que se habrán señalado las actividades que se deben realizar.

 

Para el profesor. En este caso se necesita tener experiencia con algún editor de páginas web, puede ser un procesador de textos que permita editar este tipo de páginas. El profesor puede editar las páginas que le interesen y modificar la propuesta de actividades, quitando, corrigiendo o añadiendo actividades; esto no requiere más conocimientos que saber usar un procesador de textos. Si además ha practicado con las herramientas de configuración del nippe puede efectuar con facilidad pequeños cambios: colores, poner o quitar ecuaciones, puntos, segmentos, etc.

 

Las escenas interactivas que permiten a los alumnos:

 

 

Alguien puede pensar que material tan amplio y con un potencial didáctico tan grande debe ocupar mucho espacio y que las descargas se pueden eternizar. No es el caso. El motor que permite visualizar los applets y los archivos comunes con todos los índices no ocupa más de 200 K y una unidad didáctica completa está alrededor de los 30 K. Es decir en un simple disquete podemos incorporar unas cuantas unidades y aplicaciones. Los tiempos de descarga no llegan al minuto.

 

 

 

Wiris

 

 

Requisitos del ordenador del usuario: Ordenador con navegador que admita Java 1.1 o superior (por ejemplo Netscape Navigator 4, Internet Explorer 4 o versiones superiores).

 

Se trata de una aplicación multiplataforma on line (Windows, Linux, Mac, ...)

Aplicación desarrollada por Maths for More dentro del programa Innova de la UPC.

Es de acceso libre y gratuito.

 

 

 

Es una plataforma de cálculo matemático que funciona exclusivamente on line a través de cualquier navegador de Internet utilizando un applet de JAVA. Varias CC.AA. la tienen incorporada en sus servidores educativos, entre ellas la CAM, en su servidor www.educamadrid.org

 

El motor matemático reside en el servidor y no en el ordenador del usuario. Las peticiones de cálculo se realizan vía el protocolo HTTP-POST y CGI. Esto consiste en ejecutar un programa que se comunica con la componente del motor Java y solicita cálculos y espera los resultados, que a la vez vuelve al cliente.

 

Los usuarios acceden al mismo mediante una interfaz que sirve para leer, presentar y editar documentos y materiales ya existentes, para entrar directamente las expresiones que se quieren calcular, para mostrar los resultados de los cálculos, y para guardar un documento, en formato estándar, para ser usado posteriormente. Incorpora un lenguaje matemático próximo al utilizado en clase de matemáticas.

 

Wiris permite abordar todos los bloques de la ESO y del bachillerato: el cálculo, el análisis, la geometría, el álgebra, la combinatoria, etc. También incluye el tratamiento de unidades de medida, y representación gráfica de calidad e interactiva.

 

 

Contenidos y herramientas:

 

·         Aritmética:

 

Operaciones con números enteros, racionales, radicales, decimales, reales (incluyendo constantes como p y e ) y complejos.

Funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primos y factorización) con enteros. Funciones trascendentes de variable real (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas).

Sucesiones de números: progresiones aritméticas y geométricas. Series.

 

 

·         Combinatoria:

 

Cálculo del número de permutaciones, variaciones y combinaciones.

Listas y conjuntos. Unión, intersección y complementario de listas y conjuntos.

Factorial y números binomiales.

Generación de subconjuntos combinatorios.

 

·         Álgebra:

 

Operaciones con polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, decimales y complejos) o simbólicos (parámetros); funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primalidad y factorización). Fracciones algebraicas.

Búsqueda de raíces de polinomios: raíces enteras, racionales, radicales, decimales y complejas. Solución de sistemas algebraicos (también con parámetros).

Resolución de sistemas generales de ecuaciones (no necesariamente lineales). Resolución numérica de sistemas de ecuaciones.

Resolución de sistemas de inecuaciones en una variable.

Simplificación de expresiones matemáticas generales.

 

 

·         Álgebra lineal:

 

Álgebra de vectores y matrices. Coeficientes numéricos y simbólicos.

Producto escalar y vectorial.

Rango, determinante y traza.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con notación matricial (también con parámetros). Sistemas lineales dependientes de parámetros.

Álgebra lineal con vectores y matrices con coeficientes simbólicos (expresiones matemáticas formadas por composición de funciones elementales).

 

·         Análisis

 

Representación determinando dominio, asíntotas, máximos, mínimos, puntos singulares, puntos de inflexión, simetrías, etc.

Dominio de funciones. Intervalos de monotonía. Asíntotas. Extremos absolutos y relativos. Puntos de inflexión.

Límite de funciones.

Derivación simbólica. Polinomios de Taylor.

Cálculo simbólico de primitivas. Primitivas dependientes de parámetros. Integrales definidas.

 

·         Geometría en el plano:

 

Creación de figuras geométricas: puntos, vectores, segmentos, rectas, circunferencias, arcos, cónicas, triángulos, poligonales, curvas.

Representación de figuras geométricas del plano.

Propiedades del tablero: medida, color, zoom, ejes, etc.

Exportación a los formatos Portable Document Format de Adobe (pdf) y PostScript.

Operaciones con figuras geométricas: intersección, transformación afín, distancia,...

Conversión automática de ecuaciones a objetos geométricos.

Conversiones entre las diferentes ecuaciones de la recta: explícita, implícita, punto pendiente, ...

 

 

Valoración didáctica

 

Es una herramienta matemática e carácter general muy similar en cuanto a sus prestaciones y posibilidades a las últimas versiones de Derive. Tiene el inconveniente de tener que trabajar conectado a Internet, lo que por otra parte supone también la ventaja de no tener que contar con el programa instalado en el ordenador. En el servidor de la CAM es de acceso libre y gratuito.

 

En cuanto a sus características didácticas son similares a las reseñadas para Derive y su tiempo de aprendizaje de funcionamiento es similar.

 

A pesar de trabajar on line el tiempo de respuesta de los cálculos es muy bajo funcionando casi con respuesta automática.

 

 

Metodología

 

Se puede plantear tres posibilidades de uso del programa:

 

 

 


Hoja de cálculo. Excel y OpenOffice Calc

 

 

La hoja de cálculo, de Microsoft Office o de Open Office, es una herramienta de primera magnitud para la adquisición de conceptos y destrezas matemáticas para el alumno de todos los cursos.

 

No se trata de que el alumno aprenda el funcionamiento de la hoja de cálculo como herramienta informática, basta con que conozca sus rudimentos. No es necesario, y a veces ni siquiera aconsejable ya que ello llevaría un exceso de tiempo del que habitualmente no disponemos, que el alumno construya sus propios modelos.

 

Nuestra propuesta de actuación va  encaminada a la realización por el profesor de los modelos relacionados directamente con un concepto matemático, y proporcionar a los alumnos hojas de trabajo sobre ese mismo modelo. La ventaja principal es la posibilidad de simular experimentos con un número importante de datos, algo imposible de conseguir en una clase normal, elaborar conjeturas y comprobar y validar las mismas y a partir de ahí construir y afianzar el concepto estudiado.

 

La posibilidad de incorporar a la simulación gráficos estadísticos dinámicos convierte a este material en imprescindible para el estudio del azar y la estadística. Pero su aplicación también se puede extender al estudio del álgebra y de la funciones.

 

La hoja de cálculo permite:

 

-          Aproximar al alumno a los conceptos matemáticos a través de simulaciones próximas a la realidad.

 

-          Obviar la realización de cálculos repetitivos y tediosos para invertir el tiempo en la adquisición del concepto a través de la formulación y comprobación de conjeturas

 

-          Comprobar hipótesis y conjeturas en la línea de laboratorio de matemáticas

 

 

Aplicaciones en clase

 

Algoritmos:

 

Este tipo de modelos constituye la aplicación ideal para una Hoja de Cálculo. Son modelos que dan vida a los distintos algoritmos estudiados en clase. Son muy intuitivos los de tipo numérico y menos los algebraicos, aunque con ayuda también se pueden abordar.

 

Aritmética mercantil

 

Las hojas de cálculo se inventaron para este tipo de cálculos, por lo que es muy fácil preparar modelos para facturas, recibos, cuentas domésticas, presupuestos, cálculo de intereses, etc.

 

Aritmética y Álgebra:

 

Aunque la Hoja de Cálculo no contiene un lenguaje simbólico, sus posibilidades de asignación de nombres, búsqueda de objetivos e iteración, permiten un uso restringido, y siempre complementario, en el aprendizaje de conceptos y técnicas algebraicas. Fundamentalmente se reducen a módulos que resuelven ecuaciones, inecuaciones o sistemas y verificadores de identidades, simplificaciones o soluciones de ecuaciones.

 

Tipos de modelos

 

Manipulaciones algebraicas y simplificaciones: modelos que comprueban valores numérico y si dos expresiones algebraicas con una o varias variables son equivalentes o no.

Adivinar un número: permite la práctica de la jerarquía de operaciones mediante la construcción de un modelo que adivine un número pensado usando las técnicas de despejar variables.

Comprobaciones: Corrige las soluciones de una ecuación, dando simplemente la calificación de verdadero o falso.

Resoluciones de ecuaciones: Permite resolver una ecuación por tanteo o mediante búsqueda de objetivos. También puede comprobar resultados ya dados.

Sistemas: Clasifica un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y lo resuelve.

Inecuaciones: Visualiza los valores de una inecuación en un intervalo de números, a fin de descubrir los cambios de signo y encontrar las soluciones.

Ecuación de segundo grado: Desarrolla la fórmula correspondiente destacando el papel del discriminante en la distinción de casos.

 

 

Azar y estadística

 

La Hoja de Cálculo, mediante la generación de números aleatorios y su gran velocidad de procesamiento, permite simular experimentos y recogidas de datos que de otra forma requerirían mucho tiempo y trabajo. Lo normal será usar en clase un modelo confeccionado previamente.

 

Los modelos están fundados en simulaciones de experimentos aleatorios y estadísticos que permiten al alumno ver la evolución de las probabilidades y de los parámetros estadísticos en situaciones próximas a la realidad.

 

Disponer de un modelo adecuado, en Hoja de Cálculo, permite poder insistir en los conceptos más que en los cálculos. El uso de estos modelos puede organizarse de forma que su confección sea simultánea con su uso y el aprendizaje de los temas.

 

 

 
Valoración didáctica

 

La hoja de cálculo permite liberar al alumno de la aplicación rutinaria de cálculos laboriosos y de algoritmos repetitivos enfocando su atención a los conceptos y procesos matemático. Por otra parte constituyen un instrumento muy potente para realizar simulaciones próximas a la realidad.

 

Enumeramos algunas de sus ventajas:

 

·         Permiten liberar a los alumnos de los cálculos largos, orientando más bien los ejercicios a la toma de decisiones y análisis.

·         Con ellas se pueden resolver problemas mediante métodos muy distintos a los usados con los instrumentos tradicionales.

·         Son muy rápidos, lo que los hace útiles para cuestiones en las que lo importante es el planteo y no los cálculos.

·         Facilitan la investigación de casos y su generalización.

·         Los modelos constituyen tablas "vivas" de datos, en las que cualquier pequeño cambio se ve reflejado inmediatamente en las tablas, cálculos y gráficos, abriendo así un camino muy interesante a las investigaciones de tipo estadístico.

·         Son muy atractivos visualmente, pues se puede incluso reproducir cualquier tabla de datos de los libros o la prensa conservando la estética y dotándolas del cálculo automático del que carecen.

·         El trabajo de resumir una situación en variables, fórmulas y procesos es ya de por sí educativo, independientemente de la utilidad posterior del modelo.

·         Se incide en las estrategias de resolución y no en los cálculos, con lo que se profundiza más en las cuestiones y se relativiza la importancia del dominio de los algoritmos.

·         Permiten planificar mejor las resoluciones, logrando también más orden en la cuestión tratada.

·         Se pueden abordar con ellos problemas más complejos, que de otra forma consumirían mucho tiempo de clase.

·         Es el único modo de acceder a muestras grandes en los centros de enseñanza.

 

 
Metodología

 

Es conveniente organizar las prácticas de Hoja de Cálculo de forma que no constituyan experiencias aisladas, sino que formen ciclos, para así aprovechar mejor el tiempo de aprendizaje previo que es inevitable.

 

El trabajo se realiza en equipos de dos personas por ordenador, el profesor suministra el modelo ya elaborado y la hoja de trabajo debiendo desarrollar cada equipo una parte o la totalidad de los ejercicios propuestos. En ocasiones las instrucciones de tareas a realizar están incorporadas en el propio modelo. La composición de los equipos podrá buscar la homogeneidad y clasificación por niveles o bien la compensación, uniendo alumnos de distinto nivel para su apoyo mutuo. Para organizar los progresos es conveniente rellenar algún tipo de ficha indicando los conceptos o técnicas que va dominando cada equipo, los trabajos realizados y las carencias observadas. Según los resultados se podrá cambiar la composición de los equipos.

 

También se puede utilizar un determinado modelo con un solo ordenador y cañón de proyección.

 

           

 

Actividades

 

Estarán recogidas en hojas de trabajo que pueden ser de dos tipos:

 

·         Hojas de trabajo con el ciclo de Observar- Relacionar- Deducir con las que cada equipo alcance los objetivos adecuados a sus capacidades.

 

·         Listas de tareas rápidas con comprobación de resultados, cuyo único objetivo será la ejercitación en técnicas rutinarias. Estarán formadas por baterías clasificadas por su dificultad.

 

 

 

 

Aritmética

 

Buscador de números naturales

 

Tamaño:  200 Kb
Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP
Web:  http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

 

 

 

 

Es uno de los programas elaborados por el profesor Antonio Roldán como aplicaciones para el desarrollo de temas específicos del currículo de la ESO.

Este programa es de libre difusión y se puede obtener en la página web del IES Salvador Dalí: http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

 

Este programa busca y presenta en pantalla números naturales que cumplan ciertas condiciones. Es útil para verificación de conjeturas, recuentos, ecuaciones diofánticas, etc.

 

Permite encontrar números que verifican ciertas condiciones entre 1 y 1.000.000. Se pueden imponer hasta cinco condiciones acumuladas.  Las condiciones implementadas sobre números naturales son: par-impar, primo, múltiplo de, divisor de, triangular, cuadrado, perfecto, abundante, deficiente, capicúa; y números relacionados mediante una condición impuesta por una fórmula, por ejemplo: primo de la forma 4n+1 o una pauta.

 

En el informe final se presenta una lista y un informe de los resultados obtenidos. En la lista aparecen los números encontrados y en el informe se puede consultar su suma, producto o otra variable.

 

Aplicaciones en clase

 

Es un programa para realizar investigaciones de carácter abierto sobre relaciones y propiedades numéricas de aritmética elemental.

 

El programa permite comprobar conjeturas como las siguientes:

 

§         Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que dos es suma de dos primos

 

§         El número 153 es suma de los cubos de sus cifras, 1, 5 y 3. ¿Hay otros números de tres cifras que cumplan lo mismo?

 

§         El número 2025  es el cuadrado de 45, pero si se suman 20 y 25 también resulta 45.

§         ¿Hay otros números de cuatro cifras que tengan la misma propiedad?

 

§         Conjetura de Girard: Todo número primo de la forma 4n+1 es suma de dos cuadrados

 

§         ¿Qué números de tres cifras  al borrarles las centenas quedan divididos por cinco?

 

§         ¿Qué números son cuadrados y triangulares    a la vez?

 

§         ¿Cuánto suman los  números impares  que hay entre 240 y 370?

 

§         ¿De cuántas formas se puede descomponer el número 20   en tres sumandos mayores que 2?

 

§         Encuentra los números de Mersenne  que hay menores que 10.000

 

 

Valoración didáctica

 

Es una herramienta ligera y a la vez de un gran valor didáctico. Permite abordar estudios sobre relaciones clásicas de números enteros: múltiplos, divisores, primos, poligonales...

El enfoque del programa es servir para constatar conjeturas y comprobar relaciones. Permite al profesor introducir en clase problemas históricos de gran valor educativo sin necesidad de realizar tediosos cálculos.

La posibilidad de introducir condiciones nuevas basadas en fórmulas algebraicas hace posible su utilización como introducción al lenguaje algebraico. 

 

Ventajas

 

·         Permiten liberar a los alumnos de los cálculos largos, orientando más bien los ejercicios al análisis y elaboración de conclusiones.

·         Con él se pueden resolver problemas mediante métodos muy distintos a los usados con los instrumentos tradicionales.

·         Es muy rápido, lo que le hace útil para cuestiones en las que lo importante es el planteo y no los cálculos.

·         Facilita la investigación de casos y su generalización.

 

 

Constituye una herramienta fabulosa para la clase de Taller de Matemáticas

 

Herramientas de cálculo

 

Calc 3D Prof

 

Tamaño:  9,74 MB

Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP
http://www.calc3d.com

 

 

 

Se trata de un programa gratuito que contiene una colección de herramientas matemáticas que incluyen:

 

·         editor de texto con funciones matemáticas, calculadora activa en el texto, integral definida...

·         representación de funciones en el plano y en el espacio,

·         gráficos y cálculos estadísticos,

·         geometría analítica en el plano y en el espacio: ecuaciones de rectas, planos, intersección de rectas, de planos, ángulos, distancias...

·         geometría sintética y métrica: polígonos regulares, medidas de sus elementos, circunferencia y círculo

·         algoritmos de cálculo con:

-          números complejos (suma, resta, producto, división, raíces y potencias, y funciones de variable compleja)

-          vectores (suma, resta, producto por números, producto escalar, producto vectorial y producto mixto, módulos, ángulos)

-          matrices y determinantes ((suma, resta, producto por números, roducto por vectores, producto de matrices cuadradas, determinante, rango, traza, matriz inversa...)

-          resolución de sistemas lineales

 

 

Valoración didáctica

 

Es un programa muy interesante no tanto para la ESO sino sobre todo para el bachillerato ya que de hecho es una calculadora gráfica que incluye todas las herramientas procedimentales contempladas en el currículo. Está especialmente indicado para los alumnos de 2º de bachillerato de Ciencias como herramienta de apoyo y de comprobación de ejercicios.

 

Con un planteamiento educativo diferente, donde no se primase la adquisición de algoritmos y técnicas específicas, sería un excelente auxiliar tanto para el alumno como para el profesor a la hora de fomentar un aprendizaje a través de la investigación. Cabe decir en su favor que nunca lo dejarán utilizar en los exámenes de las PAUs.

 

Para el profesor puede ser un instrumento de ayuda para preparar materiales, ejercicios, comprobar resultados...

 

 

 

LinCalc

 

Tamaño:  1,40 MB

Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP

 

 

 

 

Programa gratuito. Herramienta más limitada y concreta que la anterior. Es una calculadora que permite realizar todas las operaciones habituales con vectores y matrices. 

 

Su presentación tiene una serie de limitaciones al utilizar sucesivas ventanas para definir objetos y presentar resultados, pero a cambio tiene la ventaja de su facilidad de manejo y de su pequeño tamaño.

 

Programa útil para alumnos de 4º de ESO y bachillerato como herramienta de comprobación de resultados y para la realización de cálculos rutinarios con vectores y matrices.

 


Winmat

 

Tamaño:  313 KB

Plataforma:  Win98/ME/NT/2000/XP
http://math.exeter.edu/rparris/

 

 

 

 

Otro excelente programa de cálculo matricial. Admite hasta 20 filas y columnas. Calcula determinantes de matrices cuadradas, rangos, trazas. Realiza operaciones con matrices, calcula inversas y resuelve ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones lineales. Calcula matrices de proyección, reflexión y rotación en el plano y el espacio. Permite definir matrices mediante fórmulas algebraicas. Forma parte de la colección de software matemático conocido con el nombre de "Peanut Software" desarrollado por Rick Parris de la Phillips Exeter Academy Mathematics Department de Exeter. Descarga e información: http://math.exeter.edu/rparris/

 

Análisis. Estudio de funciones

 

Este tipo de programas es probablemente el mas abundante y fueron los pioneros entre el software de matemáticas. Casi todos los programas de matemáticas de carácter general incluyen una aplicación de representación gráfica de funciones. Existen disponibles en Internet un sinfín de graficadores de funciones con un potencial cada vez más amplio.

 

Mostramos algunos de ellos a título de ejemplo.

 

Winplot

 

Tamaño:  1,025 MB

Plataforma:  Win 95/98/ME/NT/2000/XP

http://math.exeter.edu/rparris

 

Software gratuito de la colección de Peanut, desarrollado por Richard Parris de la Phillips Exeter Academy.

 

 

 

Descripción

 

Se trata probablemente del programa más completo en la actualidad para el estudio de funciones, de curvas en el plano y en el espacio y de superficies.

 

Puede trabajar en 2D y en 3D.

 

En 2D permite trabajar las curvas definidas de forma explícita, implícita, en paramétricas y en coordenadas polares. Se pueden definir funciones definidas a trozos.

 

Permite a través de la ventana inventario ver simultáneamente el aspecto algebraico (fórmula, dominio, derivada...) y el gráfico.

 

Dada una función nos dice los ceros, los extremos, dibuja la función derivada y calcula la integral definida en un intervalo, dibuja integral indefinida, calcula la longitud del arco de curva, el volumen del sólido de revolución sobre la recta que se fije, dibuja la superficie de revolución... también nos proporciona directamente una tabla de valores de la función.

 

Si definimos dos funciones nos da su intersección y nos ofrece la posibilidad de realizar las operaciones habituales con ellas, dibujándola gráfica obtenida.

 

 

Permite calcular el área encerrada entre dos curvas, el volumen del sólido de revolución generado al rotar.

La utilización de parámetros permite el estudio de las características globales de familias de funciones de forma ágil.

 

 

Se pueden anclar textos explicativos asociados a las curvas y cuenta con precisas herramientas de zoom y de desplazamiento de la ventana por las distintas regiones de la gráfica.

 

También se puede trabajar directamente con puntos aislados u obtenidos de una lista elaborada con un tratamiento de texto u hoja de cálculo, con segmentos definiendo sus extremos y con rectas introduciendo los coeficientes de su ecuación general. Y calcula puntos de corte entre rectas.

 

Cuenta con una aplicación didáctica interesante para el estudio de la función cuadrática y es la de encontrar la ecuación de parábolas generadas aleatoriamente.

 

Para los alumnos de bachillerato cuenta con la opción de trabajo en 3D para la representación de rectas, curvas, planos y superficies.

 

Los planos se introducen mediante un punto y el vector normal.

Las ecuaciones de las superficies se pueden introducir de cinco formas distintas:

 

-          Explícita

-          Implícita

-          Paramétricas

-          Coordenadas cilíndricas

-          Coordenadas esféricas

 

Tiene las mismas prestaciones que para el estudio de curvas en 2D

 

 

Valoración didáctica

 

Es una excelente herramienta para el estudio de geometría analítica y sobre todo de funciones. Su versatilidad permite realizar estudios de las propiedades globales y locales de las funciones estudiadas en la ESO y los bachilleratos liberando al alumno y al profesor de la pesada tarea de representar en la pizarra gráficas a partir de tablas de valores.

 

Se puede utilizar tanto en el aula de informática para trabajo autónomo de los alumnos de todo un grupo en equipos como en el aula ordinaria utilizando una pizarra electrónica o un simple cañón de proyección.

 

Su utilización permite al profesor desviar el objetivo principal hasta ahora de que el alumno sepa representar curvas cada vez más complejas valiéndose primero de tablas y después de técnicas analíticas (puntos de corte con los ejes, extremos, intervalos decrecimiento, concavidad, puntos de inflexión..), hacia un enfoque más general de asociar propiedades de las curvas a sus fórmulas algebraicas, de asociar gráficas a fenómenos, objetos y enunciados, y a visualizar y descubrir conceptos, propiedades y aplicaciones del análisis de una forma ágil e intuitiva.

 

El reducido tamaño de la aplicación 1,3 MB y de los ficheros de aplicaciones que se pueden generar, 4 KB, cada uno, y el hecho de que pueda funcionar sin necesidad de instalación en el disco duro hace posible su utilización incluso con disquetes independientes lo que le hace fácilmente transportable y aplicable en cualquier equipo. 

 

 

Metodología

 

Se puede plantear tres posibilidades de uso del programa:

 

 

 

 

 

 

Funciones para Windows

 

Tamaño:  800 KB

Plataforma:  Win 95/98/ME/NT/2000/XP

http://www.lagares.org

 

 

 

Descripción

 

Este programa es una versión mejorada de uno de los premios del MEC en el concurso de programas educativos para ordenador, de 1993 convocado por el PNTIC.

 

Se trata de un pequeño programa en cuanto a su tamaño pero de una gran herramienta en cuanto a sus prestaciones.

 

Como su nombre indica sirve para realizar estudio de funciones. Presenta funciones definidas de forma explícita o mediante tabla de valores. Tiene una herramienta de estadística bidimensional para el estudio de regresión lineal, cuadrática, potencial, exponencial...

 

 Como afirma su autor, el profesor Jordi Lagares, autor de otros interesantes programas para funciones, permite  estudiar,  dada una función de una variable,  casi todo lo que  hay en  las programaciones  oficiales  de  la  asignatura de Matemáticas, durante casi toda la enseñanza primaria, secundaria y primer ciclo universitario.

 

El hecho de haber sido creado y desarrollado por un profesor de nuestro país en activo tiene  la ventaja de abordar directamente los aspectos vinculados directamente a las exigencias curriculares sin incorporar otros tipos de herramientas superfluas. Su principal objetivo es ayudar a los alumnos a adquirir y dominar una gran mayoría de los conceptos y procesos ligados con las funciones.

 

Así, la mayoría de las opciones de los menús son referencias directas ligadas a éstos:

 

h_Menu1fImagen, Antiimagen, Raíces, Discontinuidades aisladas, Máximos, Mínimos, Puntos de inflexión, Derivada en un punto, Integral definida, Integral de línea, Intervalos de crecimiento, Intervalos de decrecimiento, Intervalos de concavidad, Intervalos de convexidad, Función derivada, Segunda derivada, Función integral, Cortes y Área encerrada entre dos funcionesh_Menu2f.

 

Puede representar hasta 6 funciones reales o numéricas.

 

Con dos funciones nos permite calcular los puntos de corte y el área entre las funciones entre dos valores de x.

 

 

Valoración didáctica

 

Tiene las mismas ventajas y aplicaciones didácticas que Winplot, aunque sus prestaciones y efectos de presentación sean más limitados.

 

En cambio tiene implementadas todas las herramientas matemáticas para poder abordar el desarrollo de los temas curriculares de Análisis de la ESO y del bachillerato de forma precisa y exhaustiva. Su manejo y aprendizaje es bastante simple y requiere poco tiempo.

 

Al incorporar la posibilidad de definir tablas de valores ha incorporado además de las herramientas estadísticas, la posibilidad de realizar interpolación y extrapolación lineal y polinómica.

 

Es un instrumento imprescindible tanto para el profesor como para los alumnos, para una utilización similar al programa anterior.

 

La posibilidad de exportar los gráficos a cualquier aplicación de windows lo convierte en una herramienta muy valiosa para la preparación de materiales impresos, ejercicios, exámenes...

 

 

FunGraph

 

Tamaño:  250 KB

Plataforma:  Win 95/98/ME/NT/2000/XP

http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

 

 

Existen en Internet muchos programas para representar y estudiar funciones similares al anterior. De hecho no es tan complicado fabricarse uno a la medida. Como muestra de ello presentamos este desarrollado íntegramente en el IES Salvador Dalí de Madrid por un alumno en la clase de Informática de bachillerato de Ciencias utilizando visualbasic.

 

Por supuesto es un programa gratuito que se puede bajar de Internet de la página del IES Salvador Dalí de Madrid. No necesita instalación y puede funcionar desde un disquete.

 

 

 

 

Descripción

 

Realiza prácticamente las mismas funciones que el programa anterior.

 

Representa una o dos funciones, traza la gráfica de la derivada primera y segunda y la recta tangente a la curva en un punto.

 

Calcula los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.

 

Encuentra los puntos singulares: cortes con los ejes, corte entre dos funciones, máimos, mínimos y puntos de inflexión.

 

Halla la integral definida entre dos valores de x y el área entre dos curvas. Calcula el volumen del sólido de revolución de la curva al girar sobre el eje OX.

 

 

Valoración didáctica

 

Aunque más limitado en cuanto a herramientas y presentación que Funciones para windows, sirve perfectamente para abordar todos los items del estudio de funciones en los cursos de la ESO y del bachillerato.

 

Tiene el atractivo de su mínimo tamaño y su portabilidad ya que puede funcionar desde un disquete; y sobre todo el hecho de haber sido desarrollado por un alumno de bachillerato lo que garantiza la empatía hacia la herramienta de los alumnos.

 

Inconveniente: no se pueden guardar en ficheros las funciones estudiadas.

 

 

Programas de estadística y probabilidad

 

Winstats

 

 

Tamaño:  1,25 MB

Plataforma:  Win 95/98/ME/NT/2000/XP

http://math.exeter.edu/rparris

 

Software gratuito de la colección de Peanut, desarrollado por Richard Parris de la Phillips Exeter Academy.

 

 

 

 

Winstats es una sencilla y a la vez completa herramienta para la realización de cálculos y representaciones estadísticas con una o dos variables. Incluye instrumentos de simulaciones y de cálculo de probabilidades de experimentos habituales.

 

En el modo una variable tras introducir o importar los datos de un texto u hoja de cálculo nos da de forma automática todos los parámetros estadísticos:

 

Número de datos, valor mínimo, cuartiles, mediana, máximo valor, deciles, percentiles, media aritmética, rango, rango intercuartílico, desviación media, desviación típica, desviación standard...

 

Representa gráficamente los datos mediante diagramas de cajas, histogramas, ajuste a la normal...

 

En el modo de dos variables nos dibuja la nube de puntos y representa y calcula directamente la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. Admite regresiones polinómicas, exponenciales, logarítmicas...

 

Permite interpolar, extrapolar, estimar valores en función de una de las variables, calcula distancias de un punto a la recta de regresión, representa mínimos cuadrados.

 

En el modo probabilidad trabaja con la distribución binomial B(n,p), calcula las probabilidades prob[x=i]  prob[x<=i]   prob[i<x], y las presenta en forma de tablas, calcula las probabilidades de intervalos, representa la distribución, la ajusta con una normal.

                                          

Distribución normal: presenta por defecto N(0,1), pero permite cambiar los parámetros de una normal diferente tipificándola. Representa la curva, calcula las probabilidades de intervalos y nos ofrece tablas de probabilidades.

 

 

 

 

En el modo de simulación de experimentos aleatorios incluye varios casos tradicionales

 

Lanzamiento de dados. Se puede fijar el número de dados, el número de tiradas

 

 

 

Podemos estudiar estadísticas de la suma, de la diferencia, del mínimo y del máximo. Permite fijar condiciones de realización del experimento: tiradas hasta obtener un determinado resultado, obtenerlo un determinado número de veces...

 

Incluye hasta 12 experimentos distintos: urnas con bolas de colores, extracción de cartas, lanzamientos de agujas, de monedas, dianas, ruletas numéricas, generación de números aleatorios; realizando el estudio estadístico y la presentación de los resultados obtenidos. 

 

 
Valoración didáctica

 

Es un auxiliar ágil y atractivo para los alumnos, no sólo para la realización de cálculos de los parámetros estadísticos de una o dos variables sino también para abordar el estudio de la probabilidad utilizando situaciones próximas a la realidad mediante simulaciones de experimentos familiares.

 

Las herramientas de cálculo directo de probabilidades de distribuciones binomiales y normales permiten hacer un enfoque práctico y visual de situaciones concretas.

 

En clase utilizando el programa con un proyector permite mostrar experiencias simuladas de una forma sencilla y vistosa, superando las presentaciones de situaciones de azar muy teóricas y estáticas.

 

La obtención de resultados con simulaciones con un número elevado de repeticiones del experimento hace visible la aproximación de frecuencias relativas a la probabilidad y la extracción de conclusiones de una forma natural e intuitiva.

 

 

StadiS

 

Tamaño:  800 KB

Plataforma:  Win 95/98/ME/NT/2000/XP

http://personal5.iddeo.es/ztt/ppal.htm

 

 

 

Se trata de un pequeño programa gratuito, creado por Jesús Plaza, fácil de utilizar, que consume pocos recursos y con el que podemos resolver todos los problemas de estadística de la ESO y los bachilleratos. El programa es en síntesis una poderosa calculadora estadística, calcula los principales parámetros con los que trabajamos en Estadística Descriptiva.

 

Puede trabajar con una o dos variables (distribuciones unidimensionales o bidimensionales).
Contempla variables estadísticas cualitativas y cuantitativas (discretas o continuas)
Ordena los datos de forma ágil y variada, puede:

 

· Presentar las columnas de las frecuencias absolutas y relativas.
· Presentar las columnas de las frecuencias absolutas y relativas acumuladas
· Ordenar los datos (variable estadística cualitativa)
· Realizar recuento de datos (acumulando en las frecuencias absolutas)
· Mostrar la columna de marcas de clase (variable continua)
· Generar todo tipo de columnas (hasta 41)

 

La tabla de la distribución permite que veamos las columnas necesarias para el cálculo de parámetros.

 

 Medidas de centralización,  calcula :

 

· Medias : aritmética, geométrica, cuadrática y armónica
· Mediana y moda
· Cuantiles : percentiles, cuartiles, quintiles y deciles

 

Parámetros de dispersión:

  

· Varianza, cuasivarianza y desviación típica
· Desviación media, Desviación mediana.
· Coef. Variación de Pearson y Coef. Variación Media.
· Recorrido y recorrido remiintercuartílico.
· Momentos respecto al origen y momentos centrales.

 

Medidas de la forma de la distribución:

 

· Coef. de Asimetría de Pearson
· Coef. de Asimetría de Fisher
· Curtosis

 

Distribuciones bidimensionales (X,Y):

 

· Coeficiente de correlación lineal de Pearson.
· Covarianza.
· Desviaciones marginales.
· Momentos respecto al origen, momentos centrales.
· Varianzas marginales
· Coef. de regresión
· Cálculo de valores (X ó Y) en las respectivas rectas de regresión.

 

Incorpora un pequeño tratamiento de texto que permite guardar el enunciado de los problemas y observaciones .

 

En cuanto a los gráficos, StadiS permite representar diagramas de barras, de sectores, polígono de frecuencias, etc.. (para frecuencias absolutas).

 

Umis_Image3.gif (9145 bytes)

 

 

Valoración didáctica

 

Es una práctica y potente herramienta tanto para el profesor como para los alumnos y para utilizar tanto en clase ordinaria como en el domicilio de los alumnos.

 

Se puede utilizar como sustituto de la calculadora científica y tiene la ventaja de cada momento de los cálculos nos recuerda las fórmulas empleadas.

 

Es ideal para usarla en la clase con un ordenador portátil y un cañón de proyección. 

 

 

Programación lineal

 

 

Prolin

 

Tamaño:  540 KB

Plataforma:  Win 95/98/ME/NT/2000/XP

http://www.lagares.org

 

 

 

 

Se trata de otro de los programas útiles y sencillos de Jordi Lagares, creado con una finalidad exclusiva y sin más pretensiones: resolver problemas de programación lineal.

 

En el programa podemos definir las inecuaciones que representan las condiciones y la función entre las variables. Se pueden ajustar los intervalos y las unidades de los ejes.

 

El gráfico nos muestra las regiones determinadas por las inecuaciones, sus intersecciones y nos permite evaluar las regiones que cumplen las condiciones y los puntos de corte de las rectas.

 

Valoración didáctica

 

Para el profesor es un valioso instrumento para explicar de forma gráfica las técnicas de resolución de problemas de programación lineal. La facilidad para cambiar parámetros, e inecuaciones y funciones permite realizar estudios comparados de las condiciones de un mismo problema de forma rápida y visual.

 

Ideal para utilizarlo en la clase con un solo ordenador y un mecanismo de proyección.