TICs y Matemáticas

 

 

Antonio Pérez Sanz

IES Salvador Dalí

 

http://platea.cnice.mecd.es/aperez4

aperez@rsme.es

 

 

 

Lo que tenemos que aprender a hacer, lo aprendemos haciéndolo.
Aristóteles

 

 

“Tengamos en cuenta también que es posible hacer concesiones a la amenidad cuando se habla de Matemáticas”                                   

Cardano

 

 

TICs y Matemáticas, hace más de 200 años...

 

El joven Gauss tiene apenas 14 años pero su fama de niño prodigio de las matemáticas ha llegado hasta los oidos del mismísimo Duque de Brunsbrick Carl Wilhem Ferdinand. El profesor del Collegium Carolinum E. A. W. Zimmerman, su valedor, es el encargado de hacer la presentación del joven al Duque. Este se esperaba a un joven que realizaba cálculos enormes a velocidad prodigiosa. En cambio se encuentra con un muchacho sencillo que a duras penas le habla de extrañas cuestiones sobre el número de soluciones de ciertas ecuaciones y de extrañas geometrías que el duque no consigue entender.

  De la entrevista Gauss obtuvo dos regalos que marcarán la historia futura de las matemáticas: la financiación de sus estudios de bachillerato porparte del Duque y un libro de matemáticas. Se trata de las tablas de logaritmos de Johann Carl Schulze, que proporcionan los logaritmos de los 20.000 primeros números con 7 cifras decimales, además de los valores de las razones trigonométricas. Contienen además un anexo con la lista de todos los números primos menores que 10.009. El libro constituía la más avanzada tecnología de cálculo en esa época. Estas tablas fueron el libro de noche de Gauss durante muchos años. Hasta el punto de que llegó a memorizar todos los números primos de hasta 4 cifras.

 

Pero no radica en eso la importancia de esa máquina de calcular. Gracias a ella, Gauss comenzó a intuir un resultado que marcará  el desarrollo de las matemáticas hasta nuestros días: el teorema fundamental de los números primos.

 

 

O lo que es lo mismo la fórmula que proporciona la cantidad de primos menores que un número n dado.  

 

 

Anotaciones de Gauss sobre números primos

 

Hubo que esperar más de cien años hasta que Jacques Hadamard (1865-1963) y C. J. de la Vallee Poussin (1866-1962) en 1896 lograran demostrarlo.

 

No sabemos si Gauss hubiese tenido esa intuición sin las tablas de logaritmos de Schulce.

 

czada tecnologituue 10.000.

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De vuelta al presente. Una situación complicada

 

 

Una actividad para participar todos.

 

Piensa un número de cuatro cifras. Ordena las cifras de mayor a menor, después ordénalas de menor a mayor. Resta el número menor del mayor. Repite el proceso 3 veces.

 

¿Quién apuesta por que al final sale un número menor de 5000?

 

Pausa para pensar...

 

¡¡Repetimos!!

 

Haz lo mismo con el número que has obtenido. Ordena las cifras de mayor a menor, después ordénalas de menor a mayor. Resta el número menor del mayor.

Repite el proceso 4 veces.

 

¿Quién apuesta, ahora, por que al final sale un número menor de 5000?

 

Algo extraño ha pasado. ¿Pero qué?,¿cómo podemos investigarlo?, ¿pasará sólo con números de cuatro cifras?... La sorpresa de Kaprekar

 

Las TICs vienen en nuestra ayuda. Un simple modelo de hoja de cálculo nos va a mostrar algunas de las manifestaciones del Caos dentro de los números naturales. Sí. Tambien en modelos simples pueden surgir atractores extraños.

 

 

Este modelo de Antonio Roldán no sólo nos da la respuesta a la situación en unos segundos. Nos abre la puerta a formularnos una serie de interrogantes sobre nuestra práctica docente:

 

Este tipo de problemas:

¿Para qué curso es?, ¿en qué bloque de contenidos lo situamos?, ¿con qué herramientas pedagógicas y tecnológicas lo abordamos?, ¿quién lo responde?, ¿para abordar qué contenidos?

 

Efectivamente, este problema, no es un simple ejercicio de aplicación de la unidad X del curso Y, constituye una sorpresa que propicia, con pocos elementos conceptuales y algorítmicos, una situación de investigación auténtica dentro de la clase.

 

No es un problema cualquiera, es un problema:

 

        Matemático

        Pedagógico

        Curricular

        Metodológico

        Actitudinal

        Tecnológico

 

...Un problema que no planteamos en nuestras clases… un problema para abrir ventanas. Un problema en el que las matemáticas y las TICs se manifiestan como un binomio realmente eficaz.

 

Enseñanza de las Matemáticas. Una situación nueva.

 

La clase es un universo isla, un mundo intelectual e informativamente hermético, en el que los alumnos van a recibir una información y una instrucción jerarquizada y pasada por el filtro del profesor, el único mediador con el mundo exterior. El profesor es el demiurgo platónico. Pero también tiene su maldición. Él o ella también están aislados, sin poder contrastar si lo que hacen en clase es lo mejor, si existen otros recursos didácticos además de los que dice el libro de texto. A veces no saben ni lo que hacen o cómo lo hacen sus propios compañeros de departamento. El aula es una auténtica burbuja compacta para profesor y alumnos. 

 

Este modelo, de hace 50 años, un siglo o varios siglos, nos resulta, por desgracia demasiado familiar aun hoy en día. Sin pretenderlo, quizás sin pararnos a reflexionar sobre ello, reproducimos esquemas y situaciones de aprendizaje de hace décadas pretendiendo que el mundo exterior no ha cambiado, que la escuela continua siendo la única o la menos la principal fuente de información de niños y adolescentes.

 

Los jóvenes actuales viven en un mundo muy diferente que el de sus abuelos o el de sus padres. Hace muchos años que la familia y la escuela dejaron de ser los únicos canales de información. La revolución tecnológica ha hecho saltar ese mundo por los aires.

 

La televisión, el vídeo, el DVD, el ordenador, Internet, el teléfono móvil, las video-consolas... Han sumergido a los jóvenes y a los adultos en un universo en el que la información y la formación en valores fluye por múltiples canales, más o menos controlados por agentes de poder políticos o económicos. La escuela ha perdido el monopolio de la transmisión del saber y la verdad.

 

En la actualidad un profesor que piense que su única preocupación ha de ser trasmitir conocimientos tiene muy poco futuro profesional e incluso puede peligrar su salud mental

 

Desde hace ya unos cuantos años, cuando un joven europeo termina la educación secundaria ha pasado más horas ante una pantalla de televisión que en clase. En muy poco tiempo no será sólo la pantalla del televisor, Internet, chats, SMS... bombardearán de forma natural, socialmente inevitable, las neuronas de nuestros alumnos, fuera de las aulas.  Y además, esa información es fundamentalmente icónica, con una carga visual y afectiva muy atractiva.

 

La escuela lo tiene muy difícil a la hora de competir contra unos enemigos tan potentes. ¿Competir?, ¿enemigos?... ¿Por qué los profesores ven en las tecnologías de la comunicación y de la información siempre un enemigo?, ¿peligran sus puestos de trabajo? o lo que peligra realmente es un modelo educativo autoritario, unidireccional y obsoleto, pensado para alumnos de hace décadas e  impartido por profesores de hace décadas en una sociedad con unas necesidades educativas de hace un siglo.

 

 

Un problema pedagógico.

 

Si aplicamos técnicas de resolución de problemas al problema de la enseñanza de las matemáticas en secundaria deberíamos trocearlos en partes para atacarlas de forma más eficaz:

 

          ¿Qué matemáticas enseñamos?

          ¿Cómo las enseñamos?

          ¿Con qué materiales?

 

La respuesta, al menos parcial a estos tres problemas nos la brindaba Gonzalo Sánchez Vázquez, presidente de honor de la FESPM, hace unos pocos años, decía:

 

"... Esta revolución informática y los nuevos contenidos de la Matemática actual no pueden ser desconocidos por la enseñanza. ... Las Matemáticas no deben enseñarse ya de una manera expositiva, estática, transmitida por el profesor a un conjunto de alumnos pasivos. Es preciso que estos participen, observen, exploren, hagan conjeturas y se enfrenten con problemas que les interesan.

El profesor es un director de orquesta que apenas se ve, pero que sugiere y orienta constantemente... "

 

¿Qué matemáticas enseñamos?

 

Pocas veces nos paramos a pensar qué estamos enseñando. Como muy bien dicen Carlos Sánchez y Concepción Valdés, catedráticos de la Universidad de la Habana

 

Tenemos que reconocer que durante mucho tiempo ha imperado una práctica docente generalizada que ha mostrado un rostro envejecido y poco atractivo, bastante severo por cierto, de las Matemáticas. Doña Cultura, la del rostro alegre y andar seductor, no ha tenido muchas oportunidades de aparecer, en las aulas de matemáticas.

¿Cuántos de nosotros, maestros y profesores, hemos eludido la consideración de la experiencia acumulada en la Historia de la Matemática y nos hemos conformado con repetir mecánicamente fórmulas, definiciones y teoremas, sin pensar ni siquiera porqué y para qué, comunicar ese conocimiento?

 

Incluso en épocas de cambios febriles de contenidos curriculares, salpicados de matices ideológicos incluso en asignaturas como las matemáticas, el profesorado esté demasiado acostumbrado a que otros – MEC, CC.AA., editoriales,...- , le digan lo que tiene que enseñar.

 

Sin tener la fórmula definitiva (seguro que no existe), si conviene tener calros algunos ejes generales para responder a esta pregunta:

 

1.       No podemos enseñar las mismas matemáticas que en los años 50 o 70 a futuros ciudadanos del siglo XXI.

2.       La sociedad necesita y demanda otros conocimientos y otras actitudes ante las matemáticas.

3.       Las herramientas tecnológicas han cambiado el uso social y la aproximación a las matemáticas

 

 

¿Cómo las enseñamos?

 

La enseñanza de las matemáticas que se practica en nuestras aulas sigue presentado unas matemáticas fuera de la historia, presentando solo resultados matemáticos terminados y cerrados sin preocuparse de su génesis y desarrollo y aplicación, abusando de un formalismo lógico-simbólico incomprensible la mayoría de las veces para los alumnos y sobre todo unas matemáticas impersonales, sin protagonistas. En el fondo seguimos impartiendo unas matemáticas rigurosas pero muertas, como les gusta a los elaboradores de las PAUs.

 

Todos los profesionales de la educación matemática estábamos convencidos de que la revolución tecnológica iba a suponer grandes cambios de contenidos y de la forma de enseñar y de aprender matemáticas. Por desgracia, ni los cambios metodológicos, ni lo que es más grave los cambios de contenidos se han producido, o al menos no en la medida que la sociedad exige.

 

Son muy abundantes las publicaciones de carácter pedagógico que hablan de la revolución que la integración de las TICs en la enseñanza están produciendo. Se habla del cambios de perfiles y de rol del profesor, de las nuevas estrategias de gestión de la clase, del papel activo de los alumnos en el desarrollo de su propio aprendizaje e incluso de profundos cambios curriculares. Sin embargo esa revolución no se ha producido o se ha producido de una forma aislada y puntual.

 

 

Currículos de matemáticas y TICs

 

Y sin embargo los currículos, los de la LOE, pero tambien los del 2000, son muy explícitos a la hora de apostar por la integración de las TICs en la enseñanza de las matemáticas, bueno de todas las materias.

 

En la ESO:

 

Objetivos generales de la ESO. LOE (CAM)

 

e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos, así como una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación

 

Objetivos de Matemáticas ESO. LOE

 

7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc) tanto para los cálculos como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones de índole diversa y también para ayudar en el aprendizaje de las matemáticas

 

En bachillerato

 

Objetivo 7 (Bach. CC.NN.)

 

Aprovechar los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y usar como herramienta en la resolución de problemas

 

Objetivo 8 (Bach. CC.SS.)

 

Utilizar variados recursos informáticos en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística, algebraica y financiera, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de este tratamiento

 

Curiosamente, los contenidos y los criterios de evaluación para conseguir estos objetivos y para valorar su nivel de cumplimiento brillan por su ausencia

 

 

¿Con qué materiales?

 

Profesores ante las TICs.  La dura realidad

 

En el curso 2005-06 tuve la suerte de disponer de una licencia por estudios para desarrollar una investigación sobre Matemáticas y TICs. Fruto del trabajo de ese año fue un documento de más de 100 páginas en el que aportaba datos sobre el uso real de las TICs en las aulas de secundaria en Madrid obtenidos a través de encuestas directas en los propios centros. Los datos pueden extrapolarse a otras CC.AA. sin demasiadas correcciones.

Ante la pregunta: ¿Utiliza  algún medio tecnológico que ayude al proceso de enseñanza como parte de su metodología de trabajo?, el porcentaje de profesores que responde afirmativamente desciende de forma significativa.

 

 

 

Menos de las dos terceras partes de los encuestados reconoce usar algún recurso tecnológico. Y eso que la formulación habría la puerta a actuaciones distintas de su uso en clase con los alumnos, es decir, a actividades de preparación de materiales, elaboración de pruebas, etc.

 

Las respuestas acerca de para qué utilizan las TICs nos ayudan a tener una visión más precisa de la situación real. Así, de ese 65% de profesores que utilizaban algún recurso tecnológico en su labor docente, la mayoría, el 71% los utiliza para elaborar exámenes o para tareas relacionadas con la tutoría: estadísticas, faltas, comunicaciones a padres..., el 65% para preparar materiales: apuntes, hojas de ejercicios, problemas... y, ¡sólo el 53% utiliza las TICs para realizar actividades con los alumnos!

 

Es decir, poco más de la tercera parte del total de los profesores encuestados, el 34,5% exactamente ( el 54% del 65%), hace que sus alumnos utilicen las TICs para el aprendizaje de las matemáticas.

 

Si pensamos, y respuestas posteriores así lo ratifican, que estos profesores no realizan actividades con sus alumnos utilizando las TICs en todos sus cursos, estamos ante un hecho alarmante: menos de un tercio de los alumnos de secundaria utilizan tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. ¡A pesar de ser uno de los objetivos del currículo de la asignatura en la ESO y los bachilleratos!

 

Nivel de utilización de TICs

 

Todo parece indicar que la situación en cuanto a dotación de hardware ha cambiado de forma positiva en los últimos años. El nivel de accesibilidad a los ordenadores por parte de profesores y alumnos ha mejorado, aunque la organización escolar parece no ser la idónea para que esta integración acabe de ser efectiva. Por otra parte el nivel de formación del profesorado, sin ser óptimo, al menos deja una puerta abierta a una integración relativa efectiva de las TICs en las clases de matemáticas.

 

Pero, ¿cómo se produce cuantitativamente este uso de los recursos tecnológicos?, el uso de equipos informáticos con los alumnos, ¿es puntual o se hace de forma frecuente o sistemática?

 

Las respuestas a la pregunta ¿Utilizas estas aulas ( las de informática) para dar algunas clases del currículo de matemáticas con tus alumnos a lo largo de un curso?, nos ponen en la pista de la integración real de las TICs en matemáticas.

 

 

Los datos son más que elocuentes.

 

§   Casi el 40% del profesorado, exactamente el 38%, reconoce no utilizar nunca las aulas de informática con los alumnos.

§   En realidad a este número hay que añadir como no usuarios de TICs al 27% que confiesa no utilizarlos casi nunca, es decir que no llegan a usar al aula ni siquiera entre una y cinco veces en el curso. Es decir, un 65%, las dos terceras partes del profesorado manifiesta que no utiliza tecnologías informáticas y de la comunicación para realizar actividades con sus alumnos a lo largo del curso.

§   El 19% utiliza el aula de informático con sus alumnos de forma puntual y esporádica, entre 1 y 5 veces en un curso. No disponemos de datos, pero se puede deducir por alguna de las conversaciones que utilizan los ordenadores para el desarrollo de alguna unidad concreta con un software específico,  para actividades menos curriculares relacionadas con las matemáticas o en los momentos de menos tensión académica, al final del trimestre, tras los exámenes...

§   Hay un testimonial 4% de los profesores que utiliza el aula entre 5 y 10 veces durante el curso, es decir en varias unidades del programa y de forma si no habitual al menos significativa.

§   Y sólo el 12% utiliza el aula de informática en actividades con alumnos más de 10 veces durante el curso, es decir de forma continuada o al menos frecuente.

 

En resumen, del tercio de profesores que reconocían al principio que utilizaban las TICs con sus alumnos, sólo la mitad lo hace de forma regular y con una cierta frecuencia. Es decir, sólo la sexta parte del profesorado se plantea en la práctica y arbitra alguna actuación para cumplir con uno de los objetivos generales formulados en el currículo de matemáticas:

 

4. Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas informáticos e Internet) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones instrumentales de las Matemáticas.

 

Para el resto, y no olvidemos que se trata de un 84 % este objetivo curricular sencillamente no existe, no es objeto de tratamiento específico y por supuesto no se evalúa el grado de consecución del mismo por los alumnos. La situación es más alarmante entre el profesorado de  los centros privados que el de los públicos.

 

¿Un problema de formación?

 

Las respuestas del propio profesorado no parecen indicar que ese sea el problema principal.

 

Ante la pregunta sobre su nivel de conocimientos de las TICs para aplicarlas a la enseñanza, es decir no para poder desenvolverse como mero usuario doméstico, sólo un 8% dice tener conocimientos nulos sobre TICs, mientras que un 34% reconoce que sus conocimientos son más bien escasos.

 

Por el contrario un 31% afirma tener un nivel de conocimientos bueno y un 27% suficiente. Es decir, más de la mitad de los profesores consideran estar suficientemente preparados para poder aplicar las TICs en el proceso de enseñanza. Este dato sugiere un nivel aceptable de integración de las TICs en las clases de matemáticas de más de la mitad del profesorado. Sin embargo veremos más adelante que esta situación no se produce.

 

Haciendo un estudio más detallado de los programas que se usan  con más frecuencia, la hoja de cálculo figura en primer lugar, siendo utilizada por un 58% de los profesores que usan las TICs en clase, seguida de Derive un 50% y Cabri un 38%. Los applets de Descartes elaborados por el CNICE y que abarcan la práctica totalidad de los contenidos curriculares no gozan de tanta aceptación siendo utilizados por un 23% de los profesores.

 

 

 

Uso de Internet

 

¿Para qué lo utilizan los profesores?

 

La finalidad más destacada es la de búsqueda de información,  más la de tipo general, datos, prensa, etc... un 76%, que la de tipo académico y profesional, un 62%. La mitad también consulta el correo electrónico en el centro.

 

Resulta llamativo el dato de que sólo un 29% del profesorado utiliza Internet en el centro para preparar específicamente sus clases. La respuesta lleva implícita la asunción por parte del profesorado de que la búsqueda de información académica no contribuye a preparar las clases.

 

 

Explorando un poco más en la utilización de la red y a riesgo de ser excesivamente sintético podemos concluir que su uso se limita a:

 

2° de Bachillerato: direcciones con problemas de selectividad (en casa). Recomendar direcciones con programas interesantes para utilizar en casa

 

1° de Bachillerato: aplicaciones específicas para ver algún tema concreto (sin preparación previa)

 

3° ESO: ni de churro subo yo a los de 3° a navegar por Internet… me rompen el aula…

 

4° ESO: Taller de Matemáticas. Otra forma de aprender… La sorpresa de descubrir por si mismos

 

En definitiva, la conclusión no es muy alentadora:

 

Un profesor, incluso un departamento de matemáticas completo, puede completar todo el currículo de secundaria sin que los alumnos hayan utilizado ni una sola vez un solo programa informático, sin que se hayan conectado a Internet para estudiar matemáticas. Y ocurre con más frecuencia de la que sospechamos.

 

Y todo ello debido a:  :

 

        Un modelo pedagógico obsoleto. De hace décadas

        Una comunicación unidireccional y jerárquica, basada en repeticiones mecánicas

        Una reproducción de los mismos esquemas de aprendizaje vividos por el profesor

        Contrato pedagógico caduco alejado de las necesidades de alumnos y de la sociedad

        Una metodología anclada en una realidad muy distante, en la que:

-        La tiza, la pizarra, la voz y el libro de texto siguen siendo las herramientas más utilizadas en las clases de matemáticas de cualquier nivel educativo

-        La integración en la práctica educativa de nuevos recursos innovadores es puntual y anecdótica

-        Existen serias dificultades organizativas (horarios y espacios).

 

¿A qué se debe esta situación un tanto insólita?

Varias pueden ser las causas de esta ausencia de integración de las TICs en el aula de matemáticas.

1.       Los currículos. Los programas de matemáticas han vuelto a ser muy parecidos a los de los años 70. Se reducen en la práctica a un enorme listado de contenidos conceptuales con una supresión sospechosa de referencias metodológicas. En los preámbulos se hace siempre referencias a las nuevas tecnologías pero se quedan en meras coletillas recurrentes: hay que enseñar en la ESO logaritmos neperianos... usando las nuevas tecnologías... los alumnos resolverán los problemas clásicos de aritmética y álgebra (los de mezclas?, los de grifos?, los de trenes que se cruzan?... usando los ordenadores...

No se puede pretender enseñar a los futuros ciudadanos del siglo XXI las mismas matemáticas que aprendieron sus padres y a veces sus abuelos. La sociedad demanda otro tipo de conocimientos y de actitudes matemáticas y sobre todo existen recursos tecnológicos que han contribuido a relativizar la importancia de algunos contenidos poniendo otros en la cresta de la hola. Aunque los futuros profesores de secundaria no puedan utilizar calculadoras en sus oposiciones...  

2.      La metodología. Los profesores siguen dando sus clases como ellos las recibieron, o con muy ligeros cambios. La tiza, la pizarra, la voz y el libro de texto siguen siendo las herramientas más utilizadas en las clases de matemáticas de cualquier nivel educativo. La integración en la práctica educativa de nuevos recursos innovadores es puntual y anecdótica y en muchos casos se encuentra con una resistencia, cuando no una oposición frontal, del profesorado.

La nueva tipología del alumnado, la gestión de una clase, el tipo de actividades a desarrollar por los alumnos, el papel del profesor como mediador y no como transmisor de saber, la búsqueda y selección de informaciones externas, la diversificación de fuentes, la personalización de aprendizajes...son los auténticos problemas pedagógicos actuales a los que debe responder cualquier apuesta innovadora.

3.      La formación del profesorado. A lo largo de estos últimos años se ha realizado un notable esfuerzo de formación del profesorado para acercarle a las TICs  y a Internet. Pero esta formación se ha escorado de forma significativa hacia los aspectos tecnológicos. Aunque dominar estos aspectos es imprescindible para poder utilizar en clase estos recursos, no es el único requisito. El problema para el profesor sigue siendo la gestión del aprendizaje de sus alumnos en un entorno de comunicación muy diferente del habitual.

Y es precisamente en esa formación en los aspectos metodológicos para integrar las nuevas tecnologías donde el camino está aun por andar...

 

Una ventana abierta. Una nueva metodológica

 

Introducir verdaderas actividades de investigación autónoma para los alumnos, rompiendo con la práctica de la lección magistral seguida de rutinarios ejercicios hasta aburrir al más entusiasta. Enfoque multimedia y multi-recursos.

 

Este es el camino. Un camino que nos lleva a una propuesta didáctica en la que se combinen elementos psicológico-afectivos del aprendizaje, la resolución de problemas reales y el bagaje cultural que la historia de las matemáticas proporciona, apoyado con documentos escritos o audiovisuales de alto contenido icónico y en la utilización de herramientas informáticas asequibles a través de Internet y de fácil manejo. Se trata de usar las nuevas tecnologías junto al conocimiento de la historia, sin menospreciar el valor de lo lógico del contenido y con atención cuidadosa del objetivo pedagógico, según las características del grupo de alumnos. El éxito de esta propuesta depende precisamente de una acertada combinación de lo lógico, lo histórico, lo tecnológico y lo pedagógico, que se nos presenta en la preparación y ejecución de cada acto en el proceso de enseñanza-aprendizaje. En el fondo, se trata de huir de esas matemáticas rigurosas pero muertas que tanto a traen a los elaboradores de programas y de pruebas de las PAUs

 

 

 

Algunos ejemplos prácticos

 

1. Aritmética.

 

Para empezar bien. Un día en 4º de ESO...

 

No todo en la vida son radicales y progresiones aritméticas y geométricas.

 

Siglo XVII. En un regimiento de artillería apilaban  sus balas de cañón formando una pirámide. Una tormenta empapó las balas y el coronel ordenó extenderlas en el suelo para secarlas.  Cuando lo hicieron formaban un cuadrado perfecto.

¿Cuántas balas había?, ¿cómo era la pirámide?, ¿cuántos pisos tenía?...

 

Para estudiar regularidades numéricas, sucesiones, progresiones,... se plantea  una investigación abierta sobre los números poligonales y su historia. El trabajo lo harán en grupo, las conclusiones hay que presentarlas en forma de uno o más murales o presentaciones de powerpoint y debe contener información histórica sobre le tema, información de matemáticos que hubiesen aportado resultados y por supuesto resultados aritméticos. Se utilizará Internet en tres sesiones de 50 minutos en el aula de informática para que cada equipo de forma autónoma busque y seleccione la información que considere de interés.

 

Objetivos:

 

-         Encontrar teoremas geométricos visuales

-         Encontrar fórmulas para los distintos números figurados

-         Unificar en una sola fórmula

-         Resolver el problema inicial

-         Ayudar a los artilleros del principio (números piramidales)

 

En definitiva, combinar en una misma investigación distintas ramas de las matemáticas para resolver un problema:  Aritmética <-> Geometría <-> Álgebra

 

Propuesta didáctica de trabajo de investigación

 

Regularidades numéricas: Los números poligonales. Números piramidales

 

Teoremas particulares. Teoremas generales

Fórmulas para cada tipo de números

A la caza de una fórmula general.

Los números poligonales y piramidalesa través de la historia. Hipsicles, Teón, Nicómaco, Diofanto, Boecio, Bachet, Fermat, Descartes, Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy...

Material complementario:

Vídeos Pitágoras mucho más que un teorema. (Universo Matemático). Números triangulares números cuadrados. (Ojo Matemático). Libro: Pitágoras, el filósofo del número. P.M. Glez. Urbaneja. Ed Nivola. La Gaceta de la RSME. Nº 2. Filosofía y mistica del número. M. Ghyka. Apóstrofe.

Programa informático: Buscador. A. Roldán

 

Y materiales diversos:

 

           

 

Resultados

 

Poligonal

Gnomon

Recurrencia

Descomp. triangular

T(n)

n

T(n) = T(n–1) + n

 

C(n)

2n–1

C(n) = C(n–1) + (2n–1)

C(n) = T(n) + T(n–1)

P(n)

3n–2

P(n) = P(n–1) + (3n–2)

P(n) = T(n) + 2T(n–1)

H(n)

4n–3

H(n) = H(n–1) + (4n–3)

H(n) = T(n) + 3T(n–1)

········

········

········

········

Pr(n)

(r–2)(n–1)+1

Pr(n) = Pr(n–1) + (r–2)(n–1)+1

Pr(n) = T(n) + (r–3) T(n–1)

 

Formulas particulares

Triangulares

Cuadrados

Pentagonales

Hexagonales

1,3,6,10...

[n(n+1)]/2

1,4,9,16...

n2

1,5,12,22...

[n(3n–1)]/2

1,6,15,28...

n(2n–1)

 

Fórmula general de los números poligonales:

 

 

Ingenio y TICs

 

Piramides triangulares en el triángulo de Tartaglia – Pascal

 

Se puede observar la presencia de tres tipos de números en las líneas oblicuas:

 

1

1          1

1          2          1

1          3          3          1

1          4          6          4          1

1          5          10        10        5          1

1          6          15        20        15        6          1

 

                        Tetragonales  Triangulares  Naturales

 

Y con una ayuda de combinatoria

 

 

Pirámides cuadradas.

 

Si cambiamos en uno de los lados externos del triángulo de Trataglia los unos por doses.

 

1

1          2

1          3          2

1          4          5          2

1          5          9          7          2

1          6          14        16        9          2

 

            Pirámides cuadradascuadradosimpares          

 

Y como  todo cuadrado es suma de dos triangulares consecutivos, toda pirámide cuadrada será suma de dos pirámides triangulares

 

 

Y llegados a este punto las TICs vienen a nuestro encuentro. Un sencillo programa en visual-basic, Buscador de números naturales, elaborado en el departamento del IES Salvador Dalí, hace 10 años. Una máquina de comprobar conjeturas numéricas.

http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/software.htm

 

Y nos dará la solución al problema de las balas de cañón de una forma inmediata. Pero lo bueno de una investigación es llegar a tus propias conclusiones. Asi que no desvelaré aquí el resultado.

 

 

2º. Funciones: Toda una vida estudiando... lo mismo...

 

Mirando los currículos del segundo ciclo de la ESO y de los bachilleratos de Ciencias, en concreto el bloque de Funciones y Análisis, uno debería llegar a la conclusión de que nuestros jóvenes llegan ala universidad siendo especialistas en esta rama de las matemáticas. Miremos los contenidos propuestos por una de las grandes editoriales – utilizados en todas las CC.AA. –

 

 

3º ESO. CONCEPTOS

          La gráfica como modo de representar la relación entre dos variables (función). Nomenclatura.

          Conceptos básicos relacionados con las funciones.

          Variables independiente y dependiente.

          Dominio de definición de una función.        

          Variaciones de una función. Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos en una función.

          Discontinuidad y continuidad en una función.

          Tendencias y periodicidad de una función.

          Expresión analítica de una función.

 

4º ESO B. CONCEPTOS

FUNCIONES ESTUDIADAS

          Concepto de función.

          Distintas formas de presentar una función: representación gráfica, tabla de valores y expresión analítica o fórmula.

          Dominio de definición de una función. Restricciones al dominio de una función.

          Discontinuidad y continuidad de una función. Razones para que una función sea discontinua.

          Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.

          Tendencias y posible periodicidad.

          Funciones lineales. Pendiente de una recta.

          Tipos de funciones lineales. Función de proporcionalidad y función constante.

          Funciones definidas mediante “trozos” de rectas.

 

          Funciones cuadráticas. La parábola

          Estudio conjunto de rectas y parábolas.

          Funciones radicales.

          La función de proporcionalidad inversa. La hipérbola.

          Las funciones exponenciales.

          Aplicaciones de las funciones exponenciales:

Crecimiento de una población.             

Crecimiento del dinero.

Desintegración radiactiva.

Periodo de semidesintegración.

          Funciones logarítmicas.

          Noción de logaritmo

 

Bachillerato

          Concepto de función.       

          Funciones definidas “a trozos”.

          Dominio de definición de una función.        

          Valor absoluto de una función.

          Funciones lineales y = mx + n.      

          Composición de funciones.

          Funciones cuadráticas.   

          Función inversa o recíproca de otra.

          Algunas transformaciones de funciones.   

          Las funciones exponenciales.

          Funciones de proporcionalidad inversa.     

          Las funciones logarítmicas.

          Funciones radicales.       

          Las funciones arco.

+ derivadas e integrales

 

 

Y observemos la reflexiones metodológicas propuestas:

 

El proceso de enseñanza-aprendizaje debe conectar con las necesidades, intereses, capacidades y experiencias de la vida cotidiana de los alumnos y las alumnas. En este sentido, la información que recibe el alumno ha de ser lógica, comprensible y útil.

 

 

Colofón. Matemáticas II Madrid junio 2005:

Sea f(x) una función derivable en (0,1) y continua en [0,1], tal que f(1) = 0 y . Utilizar la fórmula de integración por partes para hallar

 

 

.... conectar con las necesidades, intereses, capacidades y experiencias de la vida cotidiana de los alumnos....

 

 

Por una enseñanza creativa

        No es publicidad. Son matemáticas

 

Nuevos tiempos, nuevos problemas... para tratar los mismos contenidos

¿Qué función polinómica se ajusta mejor a la curva de la parte superior del logotipo?

No podemos soñar que los alumnos prueben a representar con lápiz y papel y una calculadora científica unas cuantas decenas de funciones hasta acercarse a la solución.

 

Pero existen cientos de programas informáticos y calculadoras gráficas que se erigen en nuevas herramientas para abordar un problema real: Winplot, Geogebra, Funciones para windows...

 

Utilizamos el programa informático FUNGES realizado por un alumno de 2º de bachillerato del centro en visualbasic hace dos años en las clases de informática y que se encuentra en accesible en la página del IES Salvador Dalí:

http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/software.htm

 

Este programa realiza todo lo que se le exige a un alumno al terminar la secundaria de manera automática... ¿Por qué hacerle sufrir con tediosos e inútiles cálculos?, ¿por qué no utilizar la herramienta para acercarnos a los conceptos claves del Análisis?. ¿por qué en las PAUs no se permiten calculadoras gráficas?, ¿quizás porque los profesores no sabrían qué preguntar?...

 

 

Veremos cómo con este tipo de instrumentos informáticos no sólo podemos responder a la pregunta de arriba sino que podemos también investigar sobre crecimiento, máximos, mínimos, concavidad, convexidad, puntos de inflexión, y hasta área encerrada entre dos curvas. Avanzando directamente hacia los conceptos y sus aplicaciones y liberándonos de cálculos tediosos que sólo contribuyen al estress de profesores y alumnos.

 

Ejemplo 3º. Muera Descartes, viva Euler

 

Pero incluso este tipo de útiles informáticos están pensados para trabajar exclusivamente con coordenadas cartesianas. Nuestros alumnos se pasan cuatro años persiguiendo el sueño de Descartes y los que les queda...

 

Hay otras situaciones, otras investigaciones, otras curvas ante las que Descartes poco tiene que decir. A veces hay que cambiar de punto de vista. Y descubrir que Euler existió y las coordenadas polares también. Porque el mundo está lleno de curvas: Círculos, elipses, parábolas, hipérbolas... pero también, espirales, catenarias, braquistocronas, cardiodes, cicloides, concoides, rosáceas...

 

Y hace mucho tiempo ya que los modelos cosmológicos de Aristóteles y de Ptolomeo están superados. Por suerte hay un mundo más allá de los círculos Ptolemaicos y las esferas Aristotélicas...

 

En apariencia las hojas de las plantas y los pétalos de las flores están hermanados con la poesía y muy alejados de las matemáticas. Sin embargo también podemos acercarnos a los misterios del crecimiento vegetal y animal a través de curvas y de ecuaciones, y además no demasiado complejas. Para aproximarnos a esas ecuaciones es preciso que abandonemos nuestra mente cartesiana, es decir las coordenadas rectangulares o cartesianas, y la cambiemos por una visión circular, es decir que pensemos en coordenadas polares.

 

Si en coordenadas cartesianas la ecuación de la recta más simple y = b, corresponde a una recta horizontal, en coordenadas polares la ecuación más sencilla: r = b, donde b es una constante, es una circunferencia de radio b.

 

Con este simple cambio de perspectiva pasamos del mundo de las rectas al mundo de los círculos, que está más próximo a la realidad vegetal.

Las ecuaciones de las flores. Investigando pétalos

Herramienta: winplot. http://math.exeter.edu/rparris

 

Ideas:

          una forma que rota y se repite periódicamente...

          una silueta que se aleja y se acerca al centro...

          ¡¡funciones trigonométricas y coordenadas polares!!

 

Para interpretar el crecimiento de hojas y flores las coordenadas rectangulares o cartesianas no son las más apropiadas, más bien son completamente inapropiadas. Recurriremos a las coordenadas polares, otro regalo a la historia del genial Euler, en las que las dos variables son el ángulo girado respecto a la horizontal y la distancia al origen. Estas coordenadas son especialmente aplicables a todos aquellos casos en que dentro de la figura existe algún punto invariante, es decir, algún punto que no sufre ninguna deformación al crecer. En el caso de las plantas suele ser la base de la hoja, el “nodo” alrededor del cual se desarrolla toda lo hoja o el centro de simetría circular en el caso de las flores.

 

En estas coordenadas, todas las concoides de rosetón o de rosáceas, como dicen los franceses, tiene esta ecuación general

Cada pétalo base es simétrico respecto del eje OX y se obtiene haciendo variar el ángulo q  entre                       

 

Obtener, a partir de esta escasa información, formas aproximadas a las siluetas de algunas de las flores más populares no va a ser muy complicado. Sólo necesitamos un buen programa de ordenador que trabaje en polares.

 

 

 

 



Ejemplo1: Pétalo simple: Caso 0 < b < a

n = 7/2

Ecuación

Si hacemos variar  obtenemos la flor completa

 

 

Todo el currículo con TICs. Un mundo feliz

 

Hasta aquí tres ejemplos concretos en que las TICs no sólo cambian la forma de enseñar matemáticas sino que, y esto es lo más importante, nos permiten enseñar y aprender “otras matemáticas”.

 

Alguien puede pensar que las aplicaciones informáticas tienen su limitación a este tipo de temas con una gran componente gráfico-visual. No es cierto. En la actualidad podemos encontrar programas informáticos que nos permiten abordar de forma diferente, más creativa y más próxima a .... conectar con las necesidades, intereses, capacidades y experiencias de la vida cotidiana de los alumnos.... cualquier tema del currículo de todos los niveles educativos.

 

 

Y la red está llena de ellos. De programas y de aplicaciones directamente concebidas y desarrolladas para ser llevadas al aula. El grupo Geometría Dinámica G4D, (http://geometriadinamica.es/ ) formado por José Antonio Mora Sánchez, José Manuel Arranz San José, Manuel Sada Allo y Rafael Losada Liste constituye un notable ejemplo en nuestro país y es ya un referente internacional.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En la excelente página del profesor Richard Parris, el autor de winplot http://math.exeter.edu/rparris , podemos encontrar software para abordar todos los bloques del currículo y alguno más. Funciones, estadística, probabilidad, calculadora matricial, geometría...  Sólo el nombre desmerece: software del cacahuete.

 

 

Y los ejemplos se extienden al cálculo con matrices, (matcalc) resolución de sistemas, método de Gauss (Matrix_zeroizer) ... o a todo tipo de cálculo estadístico, con el excelente programa StadiS de Jesús Plaza (http://personal5.iddeo.es/ztt/)

 

 

Y sin embargo...

 

Cambiar todo para que todo siga igual

 

Albores del siglo XXI. Finales de junio de 2004. Madrid.

Oposiciones para profesores de secundaria de Matemáticas.

Prueba práctica, resolución de 4 problemas...

Indicación de los tribunales:

“ESTÁ PROHIBIDO EL USO DE CUALQUIER TIPO DE CALCULADORA”

 

Ningún opositor preguntó si se podían utilizar las tablas de logaritmos de Schulce. La calculadora de Gauss.

 

En esa prueba uno de los problemas era este:

 

En un triángulo cualquiera ABC se trazan los puntos que dividen a cada lado en tres partes iguales y se unen, como indica la figura con el vértice opuesto; las rectas así trazadas determinan el triángulo IJK . ¿Qué relación hay entre las áreas de los triángulos ABC e IJK?

 

Mis alumnos de 1º de bachillerato lo han resuelto en menos de 10 minutos utilizando Geogebra.

 

 

 

 

El futuro es suyo.

 

Y para terminar...

 

Pensar exige tiempo. Hacer exige tiempo.

Rebelaos contra los programas aberrantes a impartir cada vez con menos horas.

Pedid a los políticos un poco de calma... ¡para vosotros y para vuestros alumnos!

y...

 

¡No dejéis que las ecuaciones  os impidan ver las flores!

¡Que las rectas no aplasten las curvas!

 

 

En todas las aulas de Matemáticas...

 

MENOS EUCLIDES

y

MÁS ARQUÍMEDES

 

 

Antonio Pérez Sanz

http://platea.cnice.mecd.es/aperez4

aperez@rsme.es

 

 

Páginas de Internet

 

Miguel de Guzmán. http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/guzman.html

Página plena de contenidos y propuestas sobre matemáticas, historia de las matemáticas y educación.

José Manuel Arranz: http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/

Página de aplicaciones educativas de Cabri-Geometre II y Cabri-java. Geogebra

Curso de Geometría. 2º Premio materiales CNICE 2005. http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/2eso.htm

Página de aplicaciones educativas de Cabri-Geometre II y Cabri-java

José Antonio Mora http://jmora7.com/

Página de aplicaciones educativos de Cabri-Geometre II y Cabri-java y propuestas didácticas completas de aplicación de estos programas

Manuel Sada.. http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/index.htm

TICs para todos los temas

Rafael Losada. http://www.iespravia.com/rafa/rafa.htm

Presentaciones, materiales y mucho más

Carmen Arriero e Isabel García http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/

Más modelos de Cabri

Antonio Pérez. Matemáticas: http://platea.cnice.mecd.es/aperez4/

Página personal del autor

Redemat: http://www.redemat.com/

Relación extensa de páginas con contenidos matemáticos de todo tipo

Software matemático comentado: http://www.matematicas.net/paraiso/softwin.php

Programas de matemáticas comentados y valorados

IES Marqués de Santillana, Colmenar:

 http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem/inddep.htm

Excelente página con unas cuantas propuestas de temas de geometría dinámica tratados con programas informáticos

IES Salvador Dalí, Madrid:

 http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

Página del departamento de matemáticas del autor del proyecto. Incluye materiales para el aula y los materiales elaborados en el proyecto Más allá de la tiza y la pizarra, premio de la CAM en 2001

Educamadrid. Matemáticas: http://herramientas.educa.madrid.org/wiris

Portal educativo de la CAM. Incluye la herramienta matemática wiris.

CNICE: http://www.cnice.mecd.es

Portal educativo del MECD. Interesante los contenidos del proyecto Descartes de applets animados de contenido matemático.

Proyecto Descartes. http://www.cnice.mecd.es/Descartes/index.html

Unidades y aplicaciones con applets animados

XTEC. Cataluña: http://www.xtec.es/

Portal educativo de la Consejería de Educación de la Generalitat de Cataluña

Divulgamat. http://www.divulgamat.net

Portal de divulgación matemática de la RSME

MEC. http://www.mec.es

Página del Ministerio de Educación y Ciencia

INE. http://www.ine.es/inebase/cgi/axi

Página del Instituto Nacional de Estadística

Principles for School Mathematics, The Technology Principle.  Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM) http://standards.nctm.org/document/chapter2/techn.htm

 

 

 

Páginas con programas de matemáticas

 

Geogebra. http://www.geogebra.at.

Poly Pro: http://www.peda.com/

Cabri:  http://www.cabri,com/

Derive: http://www.derive-europe.com/

Cal3dprof: http://www.calc3d.com

Academy Mathematics Department de Exeter http://math.exeter.edu/rparris/

Funciones para windows http://www.lagares.org

Stadis http://personal5.iddeo.es/ztt/ppal.htm

 

Libros y artículos

 

El currículo de matemáticas en los inicios del siglo XXI. VV.AA. GRAÓ. Barcelona. 2000

El lenguaje de las matemáticas en sus aplicaciones. VV.AA. MEC. Madrid 2002

Informe “2020 Visions, Transforming Education and Training Through Advanced Technologies”, publicado por las secretarías de Comercio y Educación de los Estados Unidos en 2002.  http://www.ta.doc.gov/reports/TechPolicy/2020Visions.pdf

La actividad matemática en el aula. VV.AA. GRAÓ. Barcelona. 2004.

La Enseñanza de las Matemáticas a Debate: Referentes Europeos. VV.AA. MEC. Madrid 2001

La experiencia de descubrir en Geometría Miguel de Guzmán. Ed Nivola 2002.

La gestión de la clase de matemáticas. VV.AA. Revista UNO nº 16. Abril 1998.

Marcos teóricos de PISA 2003. MEC. INECSE. Madrid 2004

Matemáticas e Internet. Velázquez, F. (coord.) Ed GRAÓ. Barcelona 2000.

Matemáticas para el siglo XXI. VV.AA. Universitat Jaume I. Valencia 2006.

Metodología y aplicaciones de las matemáticas en la ESO. VV.AA. MEC . Madrid 2004

Principios y estándares para la Educación Matemática del NCTM. (National Council of Teachers of Mathematics). SAEM Thales. Granada 2003

¿Qué son las matemáticas?. R. Courant y H. Robbins. FCE México 2002

 

Artículos de A. Pérez Sanz sobre el tema:

 

Lenguajes gráficos en Matemáticas. Revista de Didáctica de las Matemáticas, UNO. Ed. GRAÓ Educación. nº 4. Abril 1995.

Internet y Matemáticas. Revista SUMA, nº 29. Noviembre 1998. Ed. FESPM. ISSN: 1130-488X

Matemáticas en Internet. Cuadernos de Pedagogía. Nº 288. Febrero 2000

Recursos en Internet. SUMA nº 33. Febrero 2000

Matemáticas refrescantes. Heraldo de Aragón. Julio 2000

Matemáticas e Internet. Comunicación y Pedagogía. Nº 169. Septiembre 2000

Audiovisual y Matemáticas. Ciudad Escolar y Universitaria. Diciembre 2000

Recursos en Internet: Matemáticas... ¿menos serias?. SUMA nº 35. Noviembre 2000

Las Matemáticas y su enseñanza. Educación y Bibliotecas. Nº 118. Diciembre 2000

Recursos en Internet: Cabri e Internet. SUMA nº 36. Febrero 2001

Recursos en Internet: El Proyecto Descartes. Visualizar las matemáticas. SUMA nº 38. Noviembre 2001

Recursos en Internet: Matemáticas en la Red. SUMA nº 39. Febrero 2002

Recursos en Internet: Los alumnos e Internet. SUMA nº 40. Junio 2002

Geometría visual en Internet. SUMA nº 41. Noviembre 2002

Teoría de números en Internet. SUMA nº 42. Marzo 2003.