Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
“El príncipe de los matemáticos”
Antonio
Pérez Sanz
IES
Salvador Dalí. Madrid
No es exagerado este título póstumo, Príncipe de los Matemáticos, acuñado en una moneda, con que el rey Jorge V de Hannover honró a
Gauss tras su muerte. Según E.T Bell, y es una opinión compartida por la
mayoría de los historiadores de la ciencia, Gauss junto a Arquímedes y Newton
ocuparía el podium de los grandes genios de las matemáticas a lo largo de la
Historia
No se puede entender el avance y la revolución de las
matemáticas del siglo XIX sin la mítica figura de Gauss. Su figura ilumina de
forma completa la primera mitad del siglo. Sus aportaciones se producen en
todos los campos de las matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis,
Geometría – como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en
Física –Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial...
Este gran matemático alemán llevó las Matemáticas del
siglo XIX a cumbres insospechadas unas décadas antes y elevó la Aritmética
Superior a la cima de las Matemáticas, citando sus propias palabras, “las
matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las
matemáticas”
La apacible vida de un genio
precoz
El 4 de mayo de 1777 el viejo párroco de la iglesia de
Wendengraben, en Brunswick,
Alemania, procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus
nuevos feligreses: Johann Friedrich Carl; se trata de un niño varón, nacido
cuatro días antes, el último día del mes de abril, el hijo de un humilde
matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze, ambos de 33 años.
Con el paso de los años, este niño abandonará su primer
nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Freidrich Gauss, así es
como firmará sus obras.
Su padre, Geghard Dietrich, desempeñó a lo largo de su
vida los oficios manuales más diversos: jardinero, como su padre, matarife,
albañil, mantenedor de los canales de riego de la ciudad, maestro constructor
de fuentes y hasta cajero de una sociedad de seguros y pompas fúnebres.
Dorothea, su madre, nació en Velpke, una aldea próxima a Brunswick. Su padre
era cantero y murió de tuberculosis a la edad de treinta años, dejando a la
familia en una situación precaria. Dorothea tuvo que emigrar a Brunswick, junto
a su hermano Friedrich, cuando contaba 26 años para trabajar de criada. Esta
fue su ocupación hasta que en 1776 contrajo matrimonio con el versátil Geghard,
que había enviudado unos años antes.
En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los
salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss va a dar muestras
tempranas de su genio precoz. Él mismo, ya anciano, acostumbraba a alardear de
haber aprendido a contar antes que a escribir y de haber aprendido a leer por
sí mismo, deletreando las letras de los nombres de los parientes y amigos de la
familia. Y a él le debemos el relato de la anécdota que le coloca como el más
precoz de los matemáticos. Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un
sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar
los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la
suma está mal hecha y dando el resultado correcto. El repaso posterior de Gerhard dio la razón
al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar.
“Ligget se!” (¡Aquí está!)
A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para
convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la
Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con
otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento
pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época.
A los
nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su
centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros
números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un
número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget
se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta.
Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus
compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la
suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que
la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de
la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101
Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado
se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050
“Ligget se!”
Büttner
tenía un ayudante, un joven estudiante de 17 años, Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escritura de los
más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia, Bartels era una
amante de las matemáticas, y un buen matemático, que acabó obteniendo una
cátedra en la universidad de Kazan en la que dio clases de 1808 a 1820 teniendo
como alumno a Lobachevski. A pesar
de la diferencia de edad, Gauss tenía 10 años, juntos se iniciaron en los
caminos de las matemáticas. En los libros de Bartels, Gauss se familiarizó con
el binomio de Newton para exponentes no enteros y con las series infinitas e
inició los primeros pasos por el análisis.
Con 11
años de edad Gauss dejará la Katherinen Volkschule para ingresar en el Gymnasium Catharineum, a pesar de las
reticencias de su padre a que continúe sus estudios. Allí estudia latín y
griego y al cabo de dos años accede al grado superior de la enseñanza
secundaria. Su fama se empieza a extender por los círculos cultivados de
Brunswick y llegará a oídos del duque Karl
Wilhelm Ferdinand (1735-1806). Así, en 1791, apadrinado por E.A.W. Zimmerman (1743-1815), profesor
de Collegium Carolinum y consejero provincial del duque, éste le recibe en
audiencia. Gauss es un adolescente de 14 años que deja impresionado al anciano
duque con su habilidad de cálculo. El duque le proporcionará los fondos para
que pueda proseguir su formación y le regalará las tablas de logaritmos
elaboradas por Johann Carl Schulze.
El 18 de febrero de 1792, antes de cumplir los 15 años
hace su inscripción en el Collegium
Carolinum de Brunswick. En este colegio da clases de matemáticas y ciencias
naturales E. A W. Von Zimmermann (1743-1815)
su valedor ante el duque.
Gauss permanecerá en él hasta 1795, estudiando lenguas
clásicas, literatura, filosofía y, por supuesto, matemáticas superiores, siendo
un alumno brillante en todas ellas. Entre sus lecturas de matemáticas de esta
época están los Principia Mathematica de
Newton, el Ars Conjectandi de Jackob
Bernoulli y algunas de las memorias de Euler. En el Collegium Carolinum Gauss
iniciará alguna de sus futuras investigaciones matemáticas, según sus propias
confesiones posteriores, como la distribución de los números primos o los
fundamentos de la geometría.
Cuando
en el otoño de 1795 se traslada a la Universidad
Georgia Augusta de Göttingen,
con una beca del Duque. Gauss aún no ha decidido su futuro académico dudando
entre los estudios de Filología clásica y las Matemáticas. Las lecciones de
matemáticas, no muy buenas según la opinión de Gauss; las impartía el anciano
profesor Gotthelf Abraham Kästner
que tenía entonces 76 años.
En esta época conoce a Wolfgang (Farkas) Bolyai, que se incorporó a la universidad un año
después que él. Gauss, unos años más tarde llegó a afirmar:
“Bolyai fue el único
que supo interpretar mis criterios metafísicos sobre las Matemáticas”. Y también que Bolyai fue el “espíritu más
complicado que jamás conocí”
Bolyai es más explícito al hablar de su amistad:
“Nos unía la pasión
por las Matemáticas y nuestra conciencia moral, y así paseábamos durante largas
horas en silencio, cada uno ocupado en sus propios pensamientos”
Construcción con regla y
compás del polígono regular de 17 lados
Desde su
llegada a Göttingen el joven Gauss siguió desarrollando de forma autónoma sus
investigaciones sobre números que había iniciado en el Collegium. Sin duda más
fruto de estas investigaciones que de las enseñanzas de Kästner, cuando Gauss
estaba en su casa de Brunswick, se va a producir un descubrimiento que será
clave, no sólo en la carrera de Gauss, sino en el futuro de las matemáticas: el
heptadecágono, el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y
compás.
Él
mismo, muchos años más tarde, recordará el momento, en una carta que dirige a Gerling fechada el 6 de enero de 1819:
“Fue el día 29 de marzo de 1796,
durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor
participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana
del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la
mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e
inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación
numérica.”
El día
siguiente, el 30 de marzo, justo un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss se
decantará definitivamente por las matemáticas y hará su primera anotación en su
diario de notas, un pequeño cuaderno de 19 páginas, que acompañará a Gauss
hasta 1814, el diario científico más importante de la historia de las
matemáticas, en el que irá anotando, a veces de forma críptica, los resultados
matemáticos que le vienen a la cabeza, en total 144 anotaciones. Por este
diario desfilará un alto porcentaje de los descubrimientos matemáticos del
siglo XIX.. En este libro no fueron recogidos todos los descubrimientos de
Gauss en el período prolífico de 1796 a 1814. Pero muchos de los anotados
bastarían para establecer la prioridad de Gauss en campos, donde algunos de sus
contemporáneos se niegan a creer que Gauss les precediera.
Muchos hallazgos que quedaron enterrados durante décadas
en este diario habrían encumbrado a media docena de grandes matemáticos de
haber sido publicados. Algunos jamás se hicieron públicos durante la vida de
Gauss, y nunca pretendió la prioridad cuando otros autores se le anticiparon.
Sus anotaciones constituían descubrimientos esenciales de la Matemática del
siglo XIX. Un documento que por desgracia para la ciencia no verá la luz hasta
casi 50 años después de la muerte de Gauss
“Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem
geometrica in septemdecim partes, etc. Mart. 30 Brunsv.”
Con tan
sólo 18 años, el joven Gauss había hecho un descubrimiento que por sí solo le
habría hecho pasar a la historia de las matemáticas. Un descubrimiento que
constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más amplia que dará
origen tres años más tarde a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que Gauss va
madurando durante su estancia en la universidad de Gottingën.
Al terminar sus estudios Gauss deja de percibir la
subvención del duque y regresa a la casa de sus padres en Brunswick. Por
fortuna la situación no duró mucho tiempo. A principios de 1799 el duque le
renueva su apoyo económico con la misma cuantía que cuando estaba estudiando.
Esto le va a permitir continuar sin preocupaciones monetarias con sus
investigaciones matemáticas, en concreto ultimar la obra que recogía todas sus
conclusiones sobre los números, las Disquisitiones Arithmeticae. Ahora nos
explicamos el encendido prefacio de Gauss manifestando su sincera
agradecimiento al duque Karl Wilhelm Ferdinand. Gauss siempre fue una persona
agradecida al duque, al fin y al cabo la persona que había hecho posible
recibir una formación alejada de sus posibilidades familiares.
El Teorema Fundamental del Álgebra
[i]
Pero los estímulos
del duque no acabaron aquí, el mismo sufragará los gastos para que Gauss obtenga
el doctorado en filosofía en la universidad de Helmstedt. Gauss leerá
su tesis “in absentia” y 
dispensado del examen oral.
El título de su tesis: Demonstratio nova theoremattis
omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores
reales primi vel secundi gradus posse, (Nueva demostración del teorema
que dice que toda función algebraica racional puede descomponerse en factores
de primer o segundo grado con coeficientes reales).
El
título contiene un ligero error que hará aún más grande al joven Gauss. No es
una nueva demostración, es la primera demostración completa de la historia del
Teorema fundamental del álgebra. El sueño del gran Euler. El presidente del
tribunal es el mejor matemático germano de la época, Johann Friedrich Pfaff.
Que este
teorema cautivó a Gauss lo demuestra el hecho de que realizara tres
demostraciones más del mismo. La segunda en 1815, basada en las ideas de Euler,
rehuye los planteamientos geométricos y es el primer intento serio de una
demostración exclusivamente algebraica. En la de 1816 ya utiliza expresamente
los números complejos y de paso realiza una crítica a los intentos de otros
matemáticos basados en métodos analíticos. La última demostración realizada en
1849 con motivo del cincuentenario de su tesis, es muy similar a la primera,
pero en ella Gauss extiende el campo de variación de los coeficientes a los
números complejos.
1801. Un año glorioso
El primer año del siglo XIX va a ser testigo del ascenso
del joven Gauss, que cuenta con 24 años, a las más altas cimas de la matemática
europea con el reconocimiento de toda la comunidad científica. Sus dos cartas
de presentación: la publicación de las Disquisitiones Arithmeticae y el cálculo
de la órbita de Ceres.
Disquisitiones arithmeticae
Gauss inicia sus investigaciones sobre teoría de números
durante su estancia en el Collegium Carolinum, en 1795. Pero acomete la
elaboración de las Disquisitiones a lo largo de su estancia en la Universidad
de Göttingen entre 1795 y 1798. Lo sabemos gracias a su diario científico en el
que ya en 1796 aparecen dos de sus resultados más brillantes: la descomposición
de todo número entero en tres triangulares y la construcción del heptadecágono
regular. Ambos recogidos en las Disquisitiones.
A finales de 1798 Gauss entregará el manuscrito a un
editor de Leipzig, pero dificultades económicas retrasarán la publicación hasta
el verano de 1801.
Con las Disquisitiones,
Gauss da una nueva orientación a la Teoría de Números, dejando de ser ésta una
acumulación de resultados anecdóticos aislados para convertirse en una rama de
las matemáticas tan importante como el análisis o la geometría.
En el prefacio, Gauss explica el contenido de esta obra,
advirtiendo que tratará sobre los números enteros, excluyendo a menudo los
fraccionarios y siempre a los irracionales, los sordos como se les conocía
hasta entonces. Su discurso tratará no de los temas de numerar y calcular, de
los que se dedica la Aritmética elemental, sino de los aspectos propios de los
números enteros de los que se ocupa la Aritmética Superior. En él afirma que en
esa época desconocía muchos de los resultados contemporáneos: “desconocía todas
las que habían sido elaboradas por los más modernos en este campo y estaba
privado de todos los recursos mediante los cuales habría podido ayudarme un
poco en estas cuestiones”.
Las
Disquisitiones están organizadas en siete secciones:
1.
Números
congruentes en general
2.
Congruencias
de primer grado
3.
Residuos
de potencias
4.
Congruencias
de segundo grado
5.
Formas
y ecuaciones indeterminadas de segundo grado
6.
Aplicaciones
de las nociones anteriores
7.
Ecuaciones
de las secciones de un círculo.
Un gran descubrimiento,
una conquista revolucionaria de notación aritmética: las congruencias
[ii]
Dados dos
números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible
por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m , y
simbolizamos esto escribiendo a º b (mód m )
Así,
100 º 2 (mód 7), 35 º 2(mód
11).
La ventaja de esta notación es que recuerda la forma en
que escribimos las ecuaciones algebraicas, trata la divisibilidad aritmética
con una breve notación y permite "sumar, restar, multiplicar…
congruencias", con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para
obtener otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruencias: ax
+ b 
c (mód m)
Como colofón a las dos primeras secciones Gauss aplica
estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la
cantidad de números primos con A y menores que él.
Se trata de la célebre función j (A) introducida por Euler. Dando una fórmula general para
su cálculo: Si A = a m b n c p... siendo a, b,
c, ... primos,
j (A) = 
Y termina con la demostración del teorema fundamental de
las congruencias polinómicas
Una
congruencia de grado m, Ax m + Bx m-1 + ... +Mx + N 0 (mod p)
Cuyo módulo p es primo que no divide a A, no puede
resolverse de más de m maneras diferentes o no puede tener más de m raíces no
congruentes con relación a p.
En la
sección 3ª y 4º aborda los residuos cuadráticos y de potencias superiores.
Dados r y m números enteros donde r no es divisible por m, si existe un número
x tal que x 2 º
r (mód m), decimos que
r es un residuo cuadrático de m, en caso contrario decimos que r es un
no-residuo cuadrático de m.
Por ejemplo: 13 es residuo cuadrático de 17, pues la
ecuación x 2 º
13 (mód 17) tiene
soluciones x = 8, 25, 42
Demuestra
Art. 49 y 50 el Pequeño Teorema de
Fermat:
Si p es un número primo que no
divide a a, a p -1 – 1 es siempre divisible por p.
Y el de Wilson:
El producto de todos
los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es
siempre divisible por dicho número
En la sección 4ª Gauss nos proporciona la primera
demostración de la ley de reciprocidad
cuadrática, a la que denomina Theorema
aureum. Art. 131 y siguientes:
Si p es
primo de la forma 4n + 1, +p será un residuo o un no-residuo de todo primo que
tomado positivamente sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma
4n + 3, -p tiene la misma propiedad.
En un
lenguaje más asequible: Existe una reciprocidad entre el par de congruencias x 2
º q (mód p ), x 2 º p (mód q ) en la que tanto p como q son primos;
ambas congruencias son posibles o ambas son imposibles, a no ser que tanto p
como q den el resto 3 cuando se dividen por cuatro, en cuyo caso una de las
congruencias es posible y la otra no.
Gauss contaba con esta demostración desde 1796, a los 19 años. Euler y Legendre lo habían intentado sin éxito como muy bien comenta el
propio Gauss en el art. 151.
Sólo por
esta demostración Gauss ya debería ser considerado como uno de los matemáticos
más potentes de la época. Pero habría más, dentro de la misma obra.
Las
secciones 6ª y 7ª tratan de las formas cuadráticas y sus aplicaciones.
Un número entero M puede representarse mediante la
expresión ax2 + 2bxy + cy2
= M, donde a, b, c, x e y son números enteros.
A la expresión F = ax2 + 2bxy + cy2 Euler la denominó forma cuadrática.
Euler ya había utilizado las formas cuadráticas para
abordar problemas de números enteros. El problema directo consiste en
determinar todos los enteros M que se pueden representar por una forma dada. El
inverso, y más interesante, consiste en dados M y a, b y c, encontrar los
valores de x e y que representan a M.
Para Gauss
es objetivo del estudio de formas es demostrar teoremas de teoría de números. Y
a lo largo de la sección nos irá proporcionando unas cuantas joyas, algunas de
ellas de incalculable valor. Una de ellas le hizo escribir el 16 de julio de
1796, en su diario, una de sus pocas manifestaciones de júbilo
EURHKA: Num = D + D + D
La
alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de
los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había
estrellado con él.
Esta vez
Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de
los innumerables enigmas de Fermat:
Todo número entero positivo se
puede escribir como suma de tres números triangulares
La demostración de este resultado aparece en el art. 293 y
es una consecuencia del estudio que Gauss realiza de las formas ternarias.
Sección 7ª. De las ecuaciones que definen las secciones
del círculo
¿Qué tienen que ver las funciones que dependen del
círculo, tan en boga a finales del siglo XVIII, como afirma el propio Gauss en
el artículo de introducción de esta sección, con la aritmética superior, con la
teoría de números?
El joven Gauss no se resiste a la tentación de incluir una
sección que contenga su primer resultado estrella, aquel que en bifurcación
vital del Collegium le inclinó a decantar su vida por el camino de las
matemáticas en detrimento de las lenguas clásicas: la construcción con regla y
compás del polígono regular de 17 lados. Aunque en apariencia este resultado
tenga más que ver con la geometría o con el análisis que con la aritmética de
números enteros.
Gauss va a dejar para su último artículo, el 366, un
resultado que permite decidir los polígonos regulares construibles con regla y
compás:
[Para poder seccionar
geométricamente el círculo en N partes iguales]... se requiere que N no
contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni
tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez. De
esta forma, se encuentran los 38 valores de N menores que 300:
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10,
12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102,
120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.
En aquel verano de 1801 Gauss había entrado con todos los
honores en el parnaso de los genios matemáticos. A partir de este momento, y
como vaticinara Bolyai a su madre en Brunswick, hacía sólo unos pocos años,
Gauss se había convertido en el matemático más grande de Europa.
En el invierno también sería uno de los astrónomos más
populares del viejo continente.
La órbita de Ceres
Desde que en 1781 Herschel
descubriera el planeta Urano, una fiebre por descubrir el esquivo planeta que
los astrónomos Titius y Bode habían
situado entre Marte y Júpiter.
El siglo XIX no puede empezar con mejores augurios en esta
desesperada búsqueda. Exactamente la noche del primer día de enero de 1801, Giuseppe Piazzi, un clérigo de Palermo
y astrónomo aficionado observa por primera vez lo que él piensa, como Herschel
unos años antes, que es un nuevo cometa, un objeto de magnitud 8. Durante
cuarenta y dos días, hasta la noche del 11 de febrero realiza el seguimiento
del nuevo objeto en su viaje por el fondo de estrellas. Pero una inoportuna
gripe le mantiene alejado del telescopio las noches siguientes. Cuando se
reincorpora a la observación el astro ha dejado de ser visible durante la
noche. Sencillamente ha desaparecido ocultado por el Sol. El corto periodo de
observaciones no le permite fijar la órbita del “cometa” y predecir dónde
volvería a aparecer en el cielo nocturno. Sus datos abarcaban sólo un arco de 9
grados de la órbita.
Cuando los datos de sus observaciones se divulgan un hecho
parece claro, la distancia heliocéntrica del objeto lo sitúa entre Marte y
Júpiter. En el mes de junio de ese mismo año el astrónomo alemán Franz von Zach utilizando los datos de
Piazzi realiza un estudio previo de la órbita, sin ningún éxito.
Como el supuesto “cometa” no aparece por ninguna parte del
firmamento, Zach envía los datos a un joven matemático de 24 años afincado en
Gottingen, cuya fama se empieza extender por toda Alemania para que realice su
propia estimación de la órbita. Se trata de Johann Friedrich Carl Gauss.
La posición del astro que se deducen de los cálculos de
Gauss es muy diferente de todas las demás. Las predicciones de Zach y de otros
astrónomos profesionales resultaron erróneas. No así las del joven Gauss, que
puso en el intento además de su enorme capacidad de cálculo una de las
herramientas matemáticas más fructífera para el cálculo de órbitas planetarias
como se demostrará a lo largo del siglo: la ley de mínimos cuadrados,
descubierta por Gauss unos seis años antes y que mantuvo sin publicar hasta
1809.
En
diciembre, Zach decide por fin probar con las predicciones de Gauss y muy cerca
de donde los cálculos teóricos de éste situaban el deseado objeto aparece un
pequeño punto brillante; es la noche del 7 de diciembre.
Las
observaciones se prolongan todas las noches de diciembre, al menos todas en las
que las condiciones meteorológicas lo permiten y por fin, el 1 de enero de
1802, Orbels en Bremen puede afirmar
con toda certeza que el objeto observado encaja a la perfección con los datos
de las observaciones de Piazzi de hace un año y con la órbita prevista
teóricamente por Gauss. El pretendido cometa de Piazzi era en realidad un nuevo
planeta que será observado por los astrónomos más prestigiosos a lo largo de
los próximos meses en toda Europa: el 3 de febrero Maskelyne confirma su avistamiento en Greenwich, y unos días más
tarde el propio Bode en Berlín y Méchain en París. Pero en el lugar del
planeta perdido entre Marte y Júpiter no había uno, sino un rosario de pequeños
planetas, los asteroides.
Gracias
a Ceres, al final del primer año del
nuevo siglo, Gauss es además de uno de los matemáticos más notables, el
astrónomo más popular de Europa.
En marzo
de 1802 Olbers descubre Pallas y
plantea a Gauss la fijación de su órbita. El método de los mínimos cuadrados
vuelve a manifestar su potencia... Orbels le propone la dirección del nuevo
observatorio de Gottingën, aún por construir. En noviembre el joven Gauss, que
cuenta con 25 años es nombrado miembro de la Real Sociedad de Ciencias de
Gottingën. Tres meses más tarde rechazará una oferta para instalarse en San
Petersburgo como miembro de la Academia de Ciencias.
La década triunfal. 1800-1810
La
primera década del siglo XIX es la década triunfal del joven matemático. En
1805 se casa con Johanna Ostoff con
la que tendrá tres hijos: Joseph, Minna
y Louis. Al año siguiente, poco después del nacimiento de su primer hijo,
participará con el coronel francés Epailly en la triangulación de Brunswick, lo
que dará origen a su interés por la geodesia.
En 1807 es nombrado profesor en Gottingën y director de su
observatorio astronómico que por los avatares políticos, la ocupación
napoleónica de gran parte de los estados germánicos, no se terminará hasta
1816.
Durante
estos años prepara la que será la obra cumbre de la astronomía teórica durante
más de medio siglo, la Theoria motus corporum coelestium in
sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del movimiento de los
cuerpos celestes que giran alrededor del Sol siguiendo secciones cónicas),
publicada en 1809, una obra en dos volúmenes, el primero trata de las
ecuaciones diferenciales, las secciones cónicas y las órbitas elípticas, en el
segundo Gauss explica su método de mínimos cuadrados para la determinación de
la órbita de un planeta.
Aunque
conocido y aplicado por Gauss desde 1796, la publicación de Legendre de un
método similar en 1806 alimentó una agria polémica entre ambos sobre la
paternidad del mismo.
Gauss es
el padre de la moderna teoría de errores.
Descubrió
que la función de distribución de los errores es 
, la célebre campana de Gauss.
En la
memoria presentada a la Real Sociedad de Gottingen el 15 de febrero de 1821,
titulada Método de Mínimos Cuadrados. Teoría de la combinación de las observaciones,
Gauss desarrolla de forma completa y general sus ideas ya esbozadas en 1809 en
Theoría motus corporum coelestium...
Pero
1809 también será un año negro para Gauss; en octubre muere esposa al mes de
dar a luz a su tercer hijo Louis, que morirá a los tres meses.
Un año
más tarde y tras rechazar una oferta de Humbolt
para ocupar una plaza en la universidad de Berlín, Gauss contrae nuevo
matrimonio con Minna Waldeck, amiga
de Johanna, con la que tendrá dos hijos varones Eugen y Wilhelm y una
hija Therèse.
1810 -1830. Astronomía,
Geodesia y Matemáticas.
Desde
1810 hasta 1830 la mente de Gauss se ocupa de sus tareas como director del
astronómico que se inaugurará en 1816 y que le obligará a realizar uno de los
pocos viajes conocidos de Gauss para adquirir material científico para el
mismo, pero no abandona sus investigaciones matemáticas.
Investiga sobre series infinitas y
sobre la serie hipergeométrica, sobre aproximación de integrales y sobre
estimadores estadísticos.
Serie hipergeométrica
En 1816
confiará en carta a su ex -alumno Schumacher
(profesor de Astronomía en Copenhague) sus ideas sobre la geometría no euclídea
que llevaba desarrollando desde hacía 20 años.
En 1818
el ministro Arnswaldt encarga a Gauss la triangulación y medición de Hannover.
Es una práctica muy habitual sobre todo tras la medición del meridiano
realizada por los franceses e impuesta por las necesidades militares – toda
Europa está en guerra - de una cartografía precisa.
Durante
casi 8 años, hasta 1825, Gauss dedicará sus esfuerzos a una práctica rutinaria
y agotadora, al alcance de cualquier calculista mediano: efectúa mediciones
durante el día y realiza los cálculos durante la noche, que le apartarán de
actividades mucho más productivas en el ámbito de las matemáticas. Podemos
afirmar que durante casi 20 años el genial Gauss perdió gran parte de su tiempo
en tediosos cálculos astronómicos y geodésicos. Pero fruto de esta tarea
nacerán más de 70 escritos sobre Geodesia,
la aplicación del método de mínimos cuadrados a medidas terrestres, el
invento del heliotropo, un mecanismo ingenioso gracias al cual pueden ser
transmitidas instantáneamente señales por medio de la luz del sol reflejada, y
su interés por la geometría de superficies.
La
triangulación de Hannover se reinició en 1828, duró hasta 1844, y en ella
participó su hijo Joseph, oficial del ejército.
Geometría diferencial:
1827. Disquisitiones circa generales superficies curvas
Esta obra, fruto de
las ideas sobre la geometría de superficies nacidas de sus observaciones
geodésicas constituye la contribución definitiva de Gauss a la geometría
diferencial.
Gauss concibe la
superficie “no como el límite de un sólido, sino como un sólido flexible e
inextensible, una de cuyas dimensiones está obligada a desvanecer”.
Pero su gran
aportación va a ser no estudiar la superficie desde un punto de vista global
sino desde un punto de vista local, en el entorno de un punto. Esto le va
permitir despreciar las potencias de grado superior a dos en el cálculo de las
distancias.
En esta obra está
Gauss aborda tres grandes problemas: la medida
de la curvatura, la representación
conforme y la aplicabilidad de
superficies.
Gauss define la curvatura total de una porción de
superficie encerrada dentro de una curva C de la siguiente manera:
La normal a una superficie en un punto dado es la recta que pasa por
el punto y que es perpendicular al plano tangente a la superficie en el punto.
En cada punto de C existe una normal a la superficie. Si trazamos todas las normales en los puntos
de C tendremos un haz de rectas.
En una esfera de
radio unidad trazamos las paralelas a las rectas normales a C que pasen por el
centro de la esfera.
Este haz de rectas
corta a la superficie esférica determinando una curva C´. El área encerrada de
la superficie esférica encerrada por esta curva C´ se denomina curvatura total
de la porción de superficie limitada por C.
La curvatura total
en un punto interior de C es el límite de la razón entre el área de C´ y el
área de C cuando la superficie C tiende al punto.
Cada
normal en un punto de una superficie genera un haz de planos que lo tienen como
eje. Cada uno de esos planos corta a la superficie en curvas planas dentro de
ellos. Cada una de esas curvas en el punto de apoyo de la normal tiene una
curvatura dada. Entonces dado un punto de una superficie habrá un conjunto de
curvaturas planas. Se sabe que hay una máxima y una mínima. La curvatura
gaussiana que es el producto de la curvatura máxima por la curvatura mínima,
las curvaturas principales introducidas por Euler.
En su estudio de
superficies Gauss utiliza de forma magistral la representación paramétrica
introducida por Euler, realizando una visión intrínseca de la superficie como
una variedad bidimensional, las coordenadas (x, y, z) de un punto vienen dadas
por tres ecuaciones dependiendo de dos parámetros: x = x(u, v); y = y(u,
v); z=z(u,v)
Demuestra que si dos superficies son isométricas
(aplicable la una sobre la otra) la curvatura total en dos puntos
correspondientes es la misma (theorema
egregium).
Una conclusión inmediata es que para mover sin distorsión
una parte de una superficie sobre otra parte de la misma superficie es
necesario que la superficie tenga curvatura constante. Así una parte de una
esfera puede ser desplazada sin distorsión sobre otra, pero esto no ocurrirá
con un paraboloide.
Trata también el problema de
determinar las geodésicas (el equivalente a las rectas en el plano) de una
superficie.
En un artículo publicado en 1827
demuestra que la curvatura total de un triángulo cuyos lados son geodésicas y
los ángulos a1,
a2 y a3 viene dada por 
, donde K es la curvatura variable en los puntos del
triángulo.
En esta obra se pone
definitivamente de manifiesto una observación interesante: la superficie puede
ser un espacio en sí misma y las líneas rectas son las geodésicas siendo su
geometría, una geometría no euclídea.
Los números complejos
Desde 1799 Gauss dominaba la idea de una representación bidimensional
de los complejos, de hecho los utilizó en su tesis doctoral aunque no de forma
explícita. Y en 1811, tiene completamente acabado no sólo la representación de
los complejos como puntos de un plano bidimensional, sino también la idea de
integración de funciones complejas, el teorema integral o el desarrollo en
serie de potencias de funciones analíticas. Buena prueba de ello es la carta
que dirige a Bessel este año,
comentando un ensayo de éste sobre la integral logarítmica 
,
en la que podemos leer:
¿Qué debemos entender por 
para x= a + b i?
Evidentemente si se quiere partir
de conceptos claros es necesario admitir que x, partiendo del valor para el
cual la integral debe ser cero, mediante incrementos infinitesimales (cada uno
de la forma a + bi) pasa a x = a + bi y entonces se suman todos los 
Así el sentido de la integral queda
completamente establecido. Pero el paso se puede dar de infinitas maneras: así
como la totalidad de las magnitudes reales se pueden imaginar en forma de una
recta infinita, también la totalidad de todas las magnitudes reales e
imaginarias se puede en imaginar mediante un plano infinito, cada uno de cuyos
puntos de abscisa a y ordenada b representará la magnitud a + bi. El paso
continuo de un valor de x a otro a + bi se representa entonces mediante una
línea, posiblemente de infinitas maneras.
Afirmo ahora que la integral 
para
dos caminos distintos siempre conserva un mismo valor si dentro de la parte del
plano comprendida entre las dos líneas representantes del cambio, 
no se hace infinita.
Este maravilloso teorema, cuya
demostración no es difícil la daré en otro momento. El teorema está vinculado
con otras verdades magníficas relacionadas con el desarrollo en series”
Gauss,
como 150 años antes hiciera Fermat con su famoso último teorema, nos amenaza
con la publicación de una demostración, que él ya parece tener, de un resultado
que será demostrado por Cauchy en 1825 y que hoy se conoce como teorema de
la integral compleja de Cauchy.
Habrá
que esperar hasta 1831, para que Gauss, en una extensión de la teoría de los
restos bicuadráticos a los números complejos, haga su presentación definitiva y
su representación geométrica ante la sociedad matemática, propiciando gracias a
su reconocida autoridad su aceptación definitiva. En esta obra introduce la
noción de enteros complejos sobre los que generalizará resultados obtenidos
para enteros reales.
Gauss y la geometría no euclídea.
La
preocupación de Gauss por el problema de las paralelas, el quinto postulado de
Euclides, data de 1796, de su estancia en Gottingën. Su profesor Kastnër
disponía de una biblioteca de varios miles de volúmenes sobre este tema y
seguro que contagió su inquietud a dos jóvenes inquietos como Gauss y Bolyai.
A partir
de 1813 hasta 1831 elabora su geometría no euclídea. En 1813 escribe a
Schumacher: “En la teoría de las líneas paralelas, nosotros, no nos encontramos
más allá de Euclides. Esta es la parte de la matemática, que más tarde o más
temprano debe adquirir una fisonomía absolutamente distinta”. Gauss
encuentra
numerosos resultados pero no se atreve a publicarlos. En 1829 en carta a Bessel
le comunica: “Pasará tiempo antes de que yo elabore para conocimiento público
mis extensas investigaciones, y quizás esto no llegue a ocurrir durante mi
vida, pues temo el griterío de los beocios
(das geschrei der böotier), si alguna vez me propusiera exponer mi
criterio”
No es de
extrañar que cuando Gauss recibe en 1831 el anexo de Johann Bolyai, hijo de su
viejo compañero, La ciencia absoluta del espacio, exponiendo sus ideas sobre
una geometría no euclídea, Gauss responda a Wolgang: “Si empiezo diciendo que
no puedo alabar semejante trabajo te sentirás desconcertado, pero no puedo
hacer otra cosa, porque alabarlo sería alabarme a mí mismo, pues todo el
contenido del escrito, el camino seguido por tu hijo y los resultados a los que
ha llegado coinciden casi completamente con mis meditaciones, parte de las
cuales han tenido lugar desde hace 30 o 35 años”
Sin
embargo Gauss consideró públicamente a Janos Bolyai y a Lobachevski, cuando
conoció los escritos de éste en 1841, como genios de primera magnitud; de hecho
y a propuesta de Gauss Lobachevski fue nombrado miembro de la Academia de
Gottingën en 1842.
Hoy
nadie discute que la paternidad de la primera geometría no euclídea es una
gloria compartida por Gauss, Bolyai y Lobachevski.
El magnetismo terrestre
1831
será un año clave en la vida de Gauss. Si un año antes su hijo Eugen emigra a
Estados Unidos al parecer por desavenencias familiares, este año muere Minna la
segunda esposa de Gauss. Desde entonces será su hija Therèse la que se
encargará de los asuntos domésticos.
Pero a
finales de ese año llega a Gottingën Wilhelm
Weber, para ocupar la plaza de profesor de Física. A partir de este momento
un decaído Gauss va a encontrar otra vez en la ciencia la solución de sus males
familiares.
En estrecha colaboración con Weber Gauss
desarrollará una intensa labor en el estudio del magnetismo terrestre. Acoge
con entusiasmo la propuesta de Alexander
von Humbodlt de crear una red de observatorios magnéticos que cubran toda
la superficie terrestre.
En la
década de los 30 publica varias obras sobre el tema: Intensitas vis magneticae
terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832), que trata teorías
actuales sobre magnetismo terrestre, anticipando las ideas de Poisson, la
medida absoluta de la fuerza magnética y una definición empírica del magnetismo
terrestre, Allgemeine Theorie Erdmagnetismus
(1839), en la que demuestra que solo puede haber dos polos y sienta las bases
para determinar la intensidad de la componente horizontal de la fuerza
magnética junto con el ángulo de inclinación. Se ayuda de la ecuación de
Laplace y especifica la ubicación del polo sur magnético.
Ambos
construyen el primer telégrafo electromagnético que conseguía transmitir hasta
nueve letras por minuto a una distancia de 500 pies, la que se paraba el
Observatorio Astronómico de la Facultad de Física.
Junto a
Weber es autor del primer atlas geomagnético terrestre y de más de 40 obras
sobre mediciones magnéticas de la Sociedad de Magnetismo, fundada por ellos, y
de nuevas herramientas para medir el campo magnético.
Sin
embargo, un hecho va a truncar esta fructífera colaboración, Weber, junto a
otros 6 profesores, es despedido de su cargo por negarse a jurar fidelidad al
nuevo rey Ernesto Augusto von Cumberland, que había derogado la constitución de
1833. Gauss, de carácter conservador, no movería un dedo a pesar de su
influencia para detener el despido, a pesar de que entre los 7 de Gottingën
estaban su propio yerno y su inseparable colaborador.
Tras la
marcha definitiva de Weber de Gottingën la producción científica de Gauss
disminuye de forma rotunda. Trabaja en sus observaciones astronómicas, en
dióptrica, en la teoría del potencial, en geodesia pero todas son obras
menores.
Los últimos años
En 1849,
con motivo del cincuentenario de su doctorado impartirá su famosa conferencia
en la que presentará su cuarta
demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, una variación de la
presentada en su tesis, incorporando ya de manera abierta los coeficientes
complejos. Jacobi y Dirichlet serán testigos excepcionales.
El reconocimiento de Gauss es general en Alemania y en toda Europa.
Continuará
con sus observaciones astronómicas hasta 1851, contando entre sus alumnos en
estos años a Dedekind y Cantor. Y en junio de 1854, será el
presidente del tribunal de la prueba para la habilitación de Riemann como profesor de matemáticas.
En ella, Riemann a petición del tribunal leerá su famosa exposición, Sobre las hipótesis en que se
fundamenta la geometría, que sin
duda impactó al anciano Gauss por lo que suponía de reconocimiento de las
geometrías no euclídeas.
Curioso
ante el progreso tecnológico visitará unos días más tarde las obras del
ferrocarril Hannover – Gottingen, excursión en la que casi pierde la vida al
sufrir un grave accidente el coche de caballos en que viajaba. De cualquier
manera, el corazón del anciano Gauss, aquejado de hidropesía, está dando sus
últimos latidos. Y dejará de latir de forma irremediable en la madrugada del 23
de febrero de 1855 mientras dormía plácidamente.
Tenía 77
años, 10 meses y 22 días y sobre sus hombros la obra matemática más grandiosa
en la historia de Humanidad. Sin duda, como muy bien reflejaba la inscripción
de la moneda acuñada en su honor por el
rey Jorge V de Hannover, Gauss era “el
Príncipe de los Matemáticos”
Como
decía su amigo Sartorius von Waltershausen, "Gauss fue sencillo y sin afectación
desde su juventud hasta el día de su muerte. Un pequeño estudio, una mesita de
trabajo con un tapete verde, un pupitre pintado de blanco, un estrecho sofá, y,
después de cumplir los 70 años, un sillón, una lámpara con pantalla, una alcoba
fresca, alimentos sencillos, una bata y un gorro de terciopelo eran todas sus
necesidades".
Bibliografía
Internet
Los
Grandes Matemáticos. Gauss. E. T. Bell. Edición en Internet:
http://www.geocities.com/grandesmatematicos/index.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html
http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/english.html
http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html
http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/applets/tfa/
http://mathworld.wolfram.com/Congruence.html
Libros:
C. B.
Boyer: Historia de la matemática.
Alianza Universidad. Madrid. 1986.
W. K.
Bühler: Gauss A biographical Study. Springer-Verlag.
G
C. F Gauss: Méthode
des moindres carrés. Traduits en francais par J. Bertrand. Mallet-Bachelier.
C.F. Gauss: Werke.
C. F Gauss: Disquisicions
aritmètiques. Traducción
de la profesora Pascual Xufrí G., editato por la sociedad Catalana de
Matemáticas. Barcelona. 1996.
A. García
Azcárate, Legendre. La honestidad de un
científico. Ed. Nivola. Madrid 2002
T Hall, Carl Friedrich Gauss : A Biography (1970).
V. Pardo
Rego, Lagrange. La elegancia matemática.
Ed. Nivola. Madrid 2003
G M Rassias (ed.), The
mathematical heritage of C F Gauss (
Reich, K. Gauss.
1777/1977. Inter Nationes. Bonn-Bad Gedessberg. 1977
Vídeos
Gauss. De lo real a lo imaginario. Serie Universo Matemático. Guión: Antonio
Pérez Sanz. RTVE. 2000
