ÁLGEBRA - ARITMÉTICA - 1

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        ÁLGEBRA. Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
        Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C.. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes.

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

        El idioma del álgebra es la ecuación.
        Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
        También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de ellos:

EL COMERCIANTE. Escribimos el enunciado directamente en la tabla:
.

EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero
x
El primer año se gastó 100 libras
x - 100
Aumentó el resto con un tercio de éste 
(x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3
Al año siguiente volvió a gastar 100 libras 
(4x-400)/3 - 100 = (4x-700)/3
y aumentó la suma restante en un tercio de ella 
(4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9
El tercer año gastó de nuevo 100 libras 
(16x-2800)/9 - 100 = (16x-3700)/9
Después de que hubo agregado su tercera parte 
(16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x-14800)/27
El capital llegó al doble del inicial 
(64x-14800)/27 = 2x
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación:  64x - 14800 = 54x,   10x = 14800,    x=1480.

    La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil.
      Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá.

       Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc.
       No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.

1.    LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:
 

EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida,
x
cuya sexta parte constituyó su infancia. 
x/6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla. 
x/12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, 
5
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra.
x/2
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. 
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

2.    EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?
 

EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Si yo te tomara un saco
x - 1
mi carga
y + 1
sería el doble que la tuya.
y + 1 = 2 (x - 1)
Y si te doy un saco, 
y - 1
tu carga
x + 1
se igualaría a la mía
y - 1 = x + 1

3.    LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
 

EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Los cuatro hermanos tienen 45 duros.
x + y + z + t = 45
Si al dinero del primero se le agregan 2 duros
 x + 2
al del segundo se restan 2 duros
y - 2
el del tercero se duplica
2z
y el del cuarto se divide por, dos, 
t/2
a todos les quedará la misma cantidad de duros.
x+2 = y-2 = 2z = t/2

4.    EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?

5.    COMERCIANTES DE VINOS. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana, el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 francos como cambio. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero?

6.    EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos, por los que pagó 60 ptas. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que el precio le resultó 12 ptas. más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?

7.    LOS DIEZ ANIMALES. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?

8.    LOROS Y PERIQUITOS. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?

9.    COCHES Y MOTOS. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?

10.    MONDANDO PATATAS. Dos personas mondaron 400 patatas; una de ellas mondaba tres patatas por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una?

11.    EL PRECIO DE LOS LIMONES. Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. ¿Cuánto vale la docena de limones?

12.    LA MÁQUINA DE PETACOS. Unos amigos, antes de echar una moneda en una máquina de petacos, han calculado que, para hacer partida, tienen que conseguir 392.750 puntos cada uno. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que, para obtener la deseada partida, los restantes amigos deben de conseguir 471.300 puntos cada uno. ¿Cuántos eran, inicialmente, los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?

13.    TINTEROS Y CUADERNOS. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas. Luis ha pagado 46 ptas. por 3 tinteros y 4 cuadernos. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno?

14.    LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera?

15.    VENTA DE HUEVOS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?

16.    LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?

17.    LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de judías, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?

18.    PASTELES PARA LOS INVITADOS. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. En lugar de cortar ningún .pastel a trozos, decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos?

19.    LOS PASTELES. Ana y Carlos están merendando pasteles. Ana tiene el triple que Carlos. Carlos no estaba muy conforme. A regañadientes, Ana, dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total?

20.    MÁS PASTELES. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno?

21.    VENGA PASTELES. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. Quedaron 8 pasteles para Ana. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?

22.    PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 ptas. más que cuatro grandes y siete pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande?

23.    SOLDADOS DEL REGIMIENTO. En un regimiento hay 4.000 soldados. Se licencian un cierto número de ellos. De los que quedan sabemos que el 63,636363...% tiene carnet de conducir y que el 92,2297297297...% no usa gafas. ¿Cuántos soldados se licenciaron?

24.    ENCUESTA SOBRE EL VINO. Se hace una encuesta para saber si es rentable comercializar vino en polvo y vino en cubitos con los siguientes resultados: El 72,727272...% de las personas encuestadas no compraría vino en polvo y, el 74,594594...% de las personas encuestadas, no compraría vino en cubitos. ¿Cuál es el número mínimo de personas a las que se pasó la encuesta?

25.    LA REVENTA. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla, se gana un 5% sobre el recargo que pagó. ¿De acuerdo?

26.    ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de encarecerla o después de abaratarla?

27.    ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Una mercancía se abarató un 10% y luego se encareció en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de abaratarla o después de encarecerla?

28.    GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. Un tratante de arte americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba", se dijo. ¿Estaba en lo cierto?

29.    HÁMSTERES Y PERIQUITOS. El dueño de una pajarería compró cierto número de hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos. Pagó los hámsteres a 200 pesetas cada uno, y 100 por cada periquito. Para su venta al público, recargó el precio de compra en un 10 por ciento. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender, descubrió que había recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos inicialmente. Su posible beneficio viene, pues, dado por el valor colectivo de los siete animales restante. ¿Cuál es el posible beneficio?

30.    PASTELES SOBRE LA MESA. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. Ana se comió la mitad y uno más. Blas se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Con esto se acabaron los pasteles. ¿Cuántos había sobre la mesa?

31.    PASTELES COMO PAGO. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante 26 días. Estipularon que por cada día que trabajara, recibiría 3 pasteles, pero por cada día que holgazaneara no sólo no recibiría ninguno, sino que tendría que darle uno a la empresa. El empleado terminó ganando 62 pasteles. ¿Cuántos días trabajó?

32.    OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. A unas oposiciones al Ayuntamiento de Salamanca, se presentaron 37 candidatos. Todos los residentes en Salamanca capital consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados.
         ¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital?

33.    EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 cm. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80 ptas. cada uno. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños, dio en utilizar bramantes de doble longitud y, en consecuencia, vendía sus manojos de espárragos a 160 ptas. cada uno.
         ¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos?

34.    MIDIENDO UN CABLE. Al tratar de medir un cable que tenía en casa, observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿Cuántos metros medía?

35.    VESTIDOS A GOGÓ. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. Alicia posee 42, pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia?

36.    LOS DOS BEBEDORES. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio de dos horas, al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en 2 horas y 48 minutos; pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese continuado bebiendo, habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. ¿En cuánto tiempo se lo hubiera bebido cada uno?

37.    JUEGO EN FAMILIA. Mis amigos Juan y Pablo, con nuestros hijos Julio, José y Luis, disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada tiro). Cada padre se anotó 45 puntos más que su hijo. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron?

38.    EL VASO DE VINO. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte; vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. ¿Cuánto vino puro le queda por beber, considerando la capacidad del vaso?

39.    LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. Si en cada estaca se posa una chova, hay una chova que se queda sin estaca. Pero si en cada estaca se posan dos chovas en una de las estacas no habrá chova. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas?

40.    LIBROS DESHOJADOS. Un escritor ha compuesto dos libros que suman, entre los dos, 356 páginas. El formato del primero es de 20x15 cm., y el del segundo de 17x12. Si extendiesen las hojas de los dos libros, cubrirían 4'2264 m². ¿Cuántas páginas tiene cada libro?

41.    LA CUADRILLA DE SEGADORES. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno tenía doble superficie que el otro. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado grande; y la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde fueron terminadas las dos siegas, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla?

42.    EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. En una tribu del Amazonas, donde todavía subsiste el trueque, se tienen las siguientes equivalencias de cambio:
          a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza.
          b) Una lanza se cambia por tres cuchillos.
          c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos.
          ¿A cuántos collares equivale una lanza?

43.    NEGOCIANDO POLLOS. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral por ganado, sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y una vaca. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas.
       Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. Entonces tendremos tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno.
       Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. Más aún, creo que si duplicáramos el número de vacas que hemos elegido, tendríamos en total 19 vacas y caballos, y tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje.
         ¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa?

44.    PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Un hombre tomó una posada por 30 días, por precio de un denario cada día. Este huésped no tenía otro dinero, sino 5 piezas de plata que todas ellas valían 30 denarios. Y con estas piezas cada día pagaba la posada, y no le quedaba debiendo nada a la patrona, ni ella a él. ¿Cuántos denarios valía cada pieza? ¿Cómo se pagaba con ella?

45.    EL REPARTO DE LA HERENCIA. Un padre, al morir, dejó establecido que el hijo mayor recibiría 100.000 ptas. más la quinta parte del resto. El siguiente 200.000 ptas. más la quinta parte del nuevo resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 100.000 más que el anterior y la quinta parte del resto. Al final todos recibieron igual cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno?

46.    SE QUEDÓ SIN DISCOS. Antonio repartió entre sus amigos los discos que tenía. A uno le regaló un disco y 1/7 de los restantes, a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes, a un tercero, tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente, hasta que repartió todos sus discos. Curiosamente todos los amigos recibieron la misma cantidad de discos. ¿Cuántos discos tenía y entre cuántos amigos los repartió?

47.    TRANSPORTE DE UN TESORO. Cuatro muchachos se encontraron un enorme tesoro de monedas de oro. De primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales, pero los tres mayores vieron que podían con más, y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían tomado. Todavía los dos mayores se vieron capaces de aumentar su carga con un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron. Pero al cargarlo de nuevo, el mayor se atrevió aún a añadir una quinta parte más de lo que llevaba. En total se llevaron entre los cuatro 138 kg. de oro. ¿Cuánto cargó cada uno?

48.    NEGOCIANTE METÓDICO. Un negociante separa al principio de cada año 100 dólares para los gastos del año y aumenta todos los años su capital en 1/3. Al cabo de 3 años se encuentra duplicado su capital. ¿Cuál era el capital al empezar el primero de estos años?

49.    EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. Tras recoger 770 castañas, tres niñas las repartieron de modo que las cantidades recibidas guardaran la misma proporción que sus edades. Cada vez que María se quedaba con 4 castañas, Lola tomaba 3, y por cada 6 que recibía María, Susana tomaba 7. ¿Cuántas castañas recibió cada niña?

50.    LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?

51.    LOS LADRONES Y LOS CUADROS. El jefe de unos bandidos decía a sus hombres: "Hemos robado unas piezas de tela. Si cada uno de nosotros toma seis, quedarán cinco piezas. Pero si cada uno de nosotros quiere siete, nos faltarían ocho"
         ¿Cuántos eran los ladrones? (Resolverlo sin utilizar el álgebra)

52.    LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. En una banda de ladrones cada uno tenía un grado diferente. Una noche después de haber robado una partida de cámaras fotográficas, el jefe les dijo: "El de menor grado se quedará con una cámara, el del grado inmediatamente superior se quedará con dos, el de tercer grado con tres y así sucesivamnente".
          Los ladrones se rebelaron contra esta injusticia y el más audaz de ellos dijo: "Tomaremos cinco cámaras cada uno". Y así se hizo. ¿Cuántas cámaras fotográficas habían robado?

53.    LOS LADRONES Y LAS TELAS. Unos ladrones robaron varios rollos de tela. Si repartían 6 para cada uno les sobraban 5. Si repartían 7 para cada uno les faltaban 8. ¿Cuántos ladrones y cuántos rollos de tela había?

54.    MAESTROS Y ESCOLARES. En una comunidad existen 1.000 alumnos que son atendidos por 19 personas entre maestros y maestras.
          Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra, reduciéndose así las de los maestros. ¿A cuántos niños atiende ahora cada maestro?

55.    EL GRANJERO Y LOS POLLOS. Un granjero le dice a su mujer: «No sé qué hacer. Si vendo 75 pollos, las reservas de pienso que tenemos nos durarán 20 días más de lo previsto, lo que nos permitirá terminar la campaña sin más abastecimientos, que ahora están difíciles. Pero como los pollos se pagan bien, tal vez convenga comprar 100 pollos, con lo que nuestras reservas de pienso nos durarán 15 días menos».
          Dejando al granjero que resuelva el dilema con su mujer, ¿cuántos pollos tiene el granjero?

56.    ORIGINAL TESTAMENTO. Un mercader estando enfermo hizo testamento, dejando ciertos hijos, y cierta cantidad de hacienda, ordenando que al hijo primero le diesen la sexta parte de la hacienda, y 300 ducados más, y al segundo la sexta parte del restante, y 600 ducados más, y al tercero la sexta parte del restante y 900 ducados más, y con este orden en los demás, dando siempre a cada uno la sexta parte del restante, y 300 ducados más al uno que al otro. Muerto el padre, partieron la hacienda, y hallaron que tanto vino al uno como al otro. Pídese cuántos hijos dejó el padre, cuánta hacienda, y cuanto vino por cada uno.

57.    LAS PERLAS DEL RAJÁ. Un rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla más 1/7 de las restantes, la 2ª dos perlas más 1/7 de las restantes, la 3ª tres perlas más 1/7 de las restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. ¿Cuántas hijas y perlas había?

58.    EL MERCADER DE DIAMANTES. Un mercader tiene 56 diamantes, de los cuales unos son gruesos y otros menudos. Este mercader repartió los diamantes entre dos vendedores, dándole 40 diamantes a uno y 16 al otro, repartiéndolos de tal forma que, al mismo precio, el que llevó 16 diamantes los vendió por 40 doblones, y el que llevó 40 diamantes los vendió por 16 doblones. ¿Cómo se ordenó esta venta?

59.    VENTA DE GANSOS. Un campesino fue al mercado a vender gansos. Vendió al primer cliente la mitad de los gansos más medio ganso. Al segundo cliente la tercera parte del resto más un tercio de ganso. Al tercer cliente un cuarto de los que le quedaban más tres cuartos de ganso. Al cuarto cliente un quinto de los que le quedaban más un quinto de ganso. Volvió a casa con 19 gansos que le sobraron. ¿Cuántos gansos llevó al mercado el campesino? Hay que tener en cuenta que ningún ganso fue dividido.

60.    LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse algunas naranjas. Al salir tropezó con un guardián que, compadecido por su necesidad, le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que llevaba y otra media naranja. Con el segundo guardián consiguió por lástima de sus ruegos, que también le dejase pasar, pero dándole también la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. Y lo mismo exactamente le sucedió con un tercer guardián. Después de esto el ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. ¿Cuántas naranjas había cogido al principio?

61.    LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. Un pastor tiene 2 panes y otro 1 pan. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 3 panes y los tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 3 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores?

62.    LOS 8 PANES Y LAS 8 MONEDAS. Un pastor tiene 5 panes y otro 3 panes. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 8 panes y los tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 8 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores?

63.    LOS 5 PANES Y LAS 5 MONEDAS. Un pastor tiene 3 panes y otro 2 panes. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 5 panes y los tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 5 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores?

64.    NEGOCIO PARA LOS TRES. Antonio tiene 18 millones de pesetas, Benito 12 millones y Carlos 6 millones. Reúnen su dinero para invertirlo en un negocio. Con el negocio al final del año, ganan 12 millones de pesetas. ¿Cómo se los repartirán?

65.    CURIOSO TESTAMENTO. Un hombre, cuya mujer está a punto de dar a luz, muere, disponiendo en su testamento lo siguiente: "Si la criatura que va a nacer es niño, éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si es niña, ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre." Las posesiones del padre eran únicamente 14 hermosas vacas. Para complicar las cosas, sucedió que nacieron mellizos, niño y niña. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres?

66.    ARAÑAS Y ESCARABAJOS. Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?

67.    VACAS, CERDOS Y OVEJAS (1). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Cada vaca le costó 10 dólares, cada cerdo, 3, y cada oveja, medio dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero?

68.    VACAS, CERDOS Y OVEJAS (2). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Cada vaca le costó 5 dólares, cada cerdo, 2, y cada oveja, medio dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero?

69.    VACAS, CERDOS Y OVEJAS (3). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Cada vaca le costó 4 dólares, cada cerdo, 2, y cada oveja, un tercio de dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero?

70.    NEGOCIO PARA TRES. Tres feriantes tienen cada uno un cierto número de reales. El primero compra vino a los otros dos, pagándoles tantos reales como ellos tienen. Después, el segundo compra garbanzos a los otros dos, pagando a cada uno tantos reales como ellos tienen. Por último, el tercero compra aceite a los otros dos, pagándole a cada uno tantos reales como ellos tienen. Terminados estos negocios se vuelven a su casa con 48 reales cada uno. ¿Con cuántos reales habían llegado a la feria?

71.    LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. Una gran empresa comercial proyectaba en una ocasión abrir una sucursal en cierta ciudad y puso anuncios solicitando tres empleados. El gerente de personal eligió entre todos los que se presentaron a tres jóvenes que parecían prometer, y les dijo: "Sus sueldos han de ser, al empezar, de 1.000 dólares anuales, pagaderos por semestres. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que sigan, se les aumentará el sueldo; pero, díganme que prefieren, ¿un aumento de 150 dólares anuales o uno de 50 dólares cada semestre?" Los dos primeros aceptaron sin ninguna duda la primera alternativa, pero el tercero, después de pensarlo un momento, eligió la segunda. Inmediatamente lo pusieron al frente de los otros dos. ¿Por qué? ¿Fue acaso que al gerente de personal le gustó su modestia y su aparente deseo de ahorrarle dinero a la compañía?

72.    CURIOSA PARTIDA (1). Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con 200 ptas. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego?

73.    CURIOSA PARTIDA (2). Siete jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros seis. Jugaron siete partidas y cada vez perdió un jugador distinto; es decir, perdieron todos ellos. Al acabar todos tenían el mismo dinero: 12 pesetas. y 80 céntimos. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno el juego?

74.    EN EL HIPÓDROMO. Una tarde en el hipódromo de la Zarzuela me ocurrió algo curioso. En la 1ª carrera apuesto por un caballo y la cantidad que tenía se ve doblada. Animado por ello, apuesto en la 2ª carrera 600 ptas. por un caballo y las pierdo. En la 3ª carrera vuelvo a doblar mi haber. El la 4ª vuelvo a perder 600 ptas. La 5ª me permite doblar la cantidad que me quedaba. En la 6ª pierdo las 600 ptas. que me quedaban. ¿Sabe Vd. con cuánto dinero comencé?

75.    VACACIONES CON LLUVIA. Durante mis vacaciones llovió 9 días, y hubo 10 mañanas y 9 tardes soleadas. Cuando llovió por la mañana, la tarde fue soleada. ¿Cuántos días duraron mis vacaciones?