NÚMEROS

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Problemas sobre números, curiosidades numéricas, etc.

 1.  NINGÚN Nº PRIMO. En la decena: 531, 532, ..., 540, no hay ningún número primo. ¿Podría Vd. encontrar una decena menor en la que tampoco haya ningún número primo?

 2.  FRACCIONES EXTRAÑAS. ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95, 26/65, 16/64?

 3.  TODOS LOS PRIMOS. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos, pero hay una cantidad finita de ellos. Multipliquémoslos todos entre sí. No, no se ponga a multiplicar; imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd. Llamemos al resultado P.
        a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P?
        b) La segunda cifra (la de las decenas), ¿es par o impar?

 4.  ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa, del 2 al 10 sólo hay un divisor mío, tengo cuatro cifras, pero algunos me ven como si fuera un 9. ¿Qué número soy?

 5.  DIVISIONES EXACTAS. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo: 234234. Divide este número entre 7; después el cociente entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial, ¿verdad? ¿Por qué?

 6.  LA BASE DESCONOCIDA. Mi  hijo ha aprendido a contar según una base no decimal, de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. ¿Cuál es esta base?

 7.  MENOR NÚMERO. ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5?

 8.  PACIENCIA Y PROGRESIÓN. Las nueve cifras de los tres números  abc  def  ghi  son distintas. El segundo es el doble del primero, y el tercero es triple del primero. Encontrar los tres números.

 9.  PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3.024. ¿Cuáles son estos números?

10.  EL MENOR CON X DIVISORES. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y, con 8 divisores?

11.    LA CIFRA BORROSA. Al hacer el siguiente producto:

15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2
         y tomar nota del resultado:  1 3 0 7 X 7 4 3 6 8 0 0 0  una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es. ¿Podría Vd. averiguarla, sin necesidad de repetir la operación?

12.    ACERCA DE LOS PRIMOS. Encontrar 10 números consecutivos que no sean primos.

13.    EL GRAN DESFILE. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y los 30 enfilados; es decir; de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las líneas. ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 64 formas diferentes?

14.    CON 4 TRESES. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /,  , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10.
         Se puede usar la notación anglosajona 0'3=.3=3/10. También se admite: 0,3 período=0,3333...=3/9.

15.    CON 4 CINCOS. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /,  , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10.
         Se puede usar la notación anglosajona 0'5=.5=5/10. También se admite: 0,5 período=0,5555...=5/9.

16.    ESCRITURA DEL CIEN (1). Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ).

17.    EL MAYOR PRODUCTO. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escribe dos números de tres cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay que usarlas todas.

18.    SUMA POR PRODUCTO. Encontrar dos números tales que el producto de la suma por el producto sea igual a 29.400.

19.    BUSCANDO UN DIVISOR. Buscar un divisor distinto de él mismo y de la unidad del número 11.111.111.111.111.111 (hay 17 unos).

20.    MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. ¿Cuál es el mayor  múltiplo de 11 formado por las nueve cifras significativas sin que se repita ninguna? ¿Y el menor?

21.  EL NUMERO 1.089. Tomamos un número de tres cifras, de modo que no sean las tres iguales; por ejemplo 637. A continuación formamos otro número, ordenando las cifras de mayor a menor. Resulta 763. Formamos otro, ordenándolas de menor a mayor. Resulta 367. Restamos 763 - 367 = 396. A este último número le damos la vuelta, 693, y sumamos los dos últimos: 693 + 396 = 1.089.
         Repetimos con 475 ----> 754 - 457 = 297, 297 + 792 = 1.089.
         ¿Qué misterio es éste? ¿Será verdad que partiendo de cualquier número resulta siempre 1.089? ¿Por qué?

22.  EL NÚMERO MÁGICO 495. Escoge un número cualquiera de tres cifras, no todas iguales; por ejemplo, 373. Construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. Ahora las ordenas de menor a mayor: 337. Resta: 733-337=396. Repite la operación unas cuantas veces con este resultado y los sucesivos. ¿Qué observas? ¿Qué pasa con un número de dos o cuatro cifras al hacer un proceso semejante? ¿Cuál es la razón?

23.  EL MÁGICO NUMERO 68. Consiga una hoja de papel, recorte de ella un cuadrado de aproximadamente 20 centímetros de lado. Doble el papel al medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Ahora marque bien cada pliegue hacia adelante y hacia atrás, para que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección. Numere los cuadrados de 1 a 16 como se muestra en la ilustración:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

         Doble el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamaño de uno de los cuadrados pequeños. Su modo de doblarlo puede ser tan complicado como quiera; puede incluso meter pliegues dentro de pliegues.
         Teme unas tijeras y corte los cuatro bordes del paquete final para que le queden 16 cuadrados separados. Algunos de los cuadrados tendrán un número arriba, otros un número abajo. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, desparrámelos sobre la mesa. Sume todos los números que hayan quedado boca arriba y escriba el resultado. El número que Vd. ha escrito, ¿será el 68? ¡Qué extraña coincidencia! ¿Verdad?

24.  SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. Ocurrió el 18 de noviembre de 1994 en una clase de Matemáticas de 1º de BUP de un instituto de Salamanca.
      Profesor de matemáticas: Simplifica la fracción 26666/66665.
      Alumno: Quito un 6 del numerador y otro del denominador y queda 2666/6665.
      Profesor: Está bien. Pero puedes hacer algo mejor.
      Alumno: Es cierto; todavía puedo simplificar tres veces el 6 y quedará: 26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65 = 2/5.
      Profesor: ¡Bravo! ¡Te pongo un diez! ¡Puedes sentarte!
      Profesor: (Dirigiéndose a toda la clase) El método de simplificación empleado por vuestro compañero es poco ortodoxo y sin embargo los resultados son exactos. Encontrar una fracción de la misma forma  que pueda simplificarse de la misma manera y que sea equivalente a 1/2. Otra equivalente a 1/4. Otra equivalente a 1/5. ¿Qué relación cumplen a, b y c en las fracciones que pueden simplificarse de la forma indicada?

25.  CURIOSA PROPIEDAD (1). 173=4.913. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3, volvemos a tener el 17. Lo mismo ocurre con el 18. 183=5.832. 5+8+3+2=18. No muy lejos de ellos hay otros dos números, consecutivos, cada uno de los cuales goza de la misma propiedad. ¿Cuáles son?

26.  CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito, excepto el 0, aparece una y sólo una vez. Por ejemplo: 2=13458/6729, 4=15768/3942. Encuentre fracciones similares que den por resultado 3, 5, 6, 7, 8 y 9.

27.  CURIOSA PROPIEDAD (2). 12²=144, 21²=441. 13²=169, 31²=961. Encontrar otro número de dos cifras que cumpla la misma propiedad.

28.  DELANTE Y DETRÁS. En el resultado del producto 41096 x 83 = 3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8 detrás y el producto es correcto. Encontrar otros productos que produzcan el mismo efecto, con el multiplicador de dos dígitos y el multiplicando con las cifras que se quiera.

29.    CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5.
         8 - 3 = 5
        78 - 23 = 55
        778 - 223 = 555
        7778 -  2223 = 5555
        ...................
        82 - 32 = 55
        782 - 232 = 55 555
        7782 - 2232 = 555 555
        77782 - 22232 = 55 555 555
        ..........................

30.    NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS.
         12 = 1
         112  = 121
         1112  = 12321
         11112  = 1234321
         111112  = 123454321
         1111112  = 12345654321
         11111112  = 1234567654321
         111111112  = 123456787654321
         1111111112  = 12345678987654321
         92  = 81
         992  = 9801
         9992  = 998001
         99992  = 99980001
         999992  = 9999800001
         9999992  = 999998000001
         99999992  = 99999980000001
         999999992  = 9999999800000001
         9999999992  = 999999998000000001

31.    ESCRITURA DEL CIEN (2). Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ).

32.    EL NÚMERO 25.
         1.    El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con dos ceros más a su derecha.
         2.    El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25.
         3.    El producto de cualquier número por 25 se puede obtener dividiendo entre 4 el citado número con dos ceros más a su derecha.
       Ejemplo:  357419 x 25 = 8935475.  Lo hemos obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475.

33.    EL NÚMERO 142.857.143.
         1.    El producto de cualquier número de 9 cifras por 1.000.000.001 da como resultado el citado número de 9 cifras duplicado.
         2.    El cociente de 1.000.000.001 entre 7 da como resultado el número 142.857.143.
         3.    El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142.857.143 se puede obtener dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7.
        Ejemplo.                       987.542.937
                                           x  142.857.143
                              ------------------------------
                                     . . . . . . . . . . . . . . .
                                  . . . . . . . . . . . . . . .
                               . . . . . . . . . . . . . . .
                            . . . . . . . . . . . . . . .
                         . . . . . . . . . . . . . . .
                      . . . . . . . . . . . . . . .
                   . . . . . . . . . . . . . . .
                . . . . . . . . . . . . . . .
             . . . . . . . . . . . . . . .
         -------------------------------------------
         1 4 1 0 7 7 5 6 2 5 6 9 6 4 8 9 9 1
         Lo hemos obtenido así:  987.542.937.987.542.937 : 7 = 141.077.562.569.648.991

34.    MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204.

         Realiza por este método los siguientes productos: a) 789 x 1358.  b) 5432 x 9876.  c) 1234 x 56789.

35.    ERROR MECANOGRÁFICO. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas, donde debía escribir  5423, escribió 5423, que es muy distinto. ¿Podría Vd. encontrar otras cuatro cifras, para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado).

36.  AÑO DE NACIMIENTO. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. Obtendréis así un resultado divisible por 9. ¿Por qué?

37.    MÚLTIPLO DE 9. ¿Qué condición ha de cumplir un número para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea múltiplo de 9?

38.  FECHAS INDETERMINADAS. En España, fechas como 6 de diciembre de 1977 suelen abreviarse 6-12-77; pero en otros países, como EE.UU., se da primero el mes y luego el día, escribiéndose 12-6-77. Si desconociésemos cuál de ambos sistemas se ha utilizado, ¿cuántas fechas quedarían indeterminadas en la notación abreviada?

39.  OBREROS DE SIEMPRE. Dos albañiles se reparten en dos partes, no exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de buen cubero, un montón de 100 ladrillos. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo los coloca en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montón al primero le quedan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han sobrado 4. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno?

40.  VENTA DE PELOTAS. Por la venta de una partida de pelotas un señor obtiene 60.377 ptas. El precio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. ¿Cuántas pelotas vendió?

41.  EL NÚMERO MÁGICO 481. Escoge un número cualquiera de dos cifras, por ejemplo, 26. Construye el número siguiente: 26 + 26x20 = 546. Ahora, el número 546 le multiplicamos por el dicho 481: 546x481 = ... ¿Qué se obtiene?
      Otro ejemplo: 47 + 47x20 = 987. Ahora: 987x481 = ... ¿Qué se obtiene?

42.  CUADRADO PERFECTO. Hallar una base de numeración distinta de 10 en la que 121 sea cuadrado perfecto.

43.  EL MENOR TRIPLETE. Hallar el menor triplete de números enteros tales que el mayor sea múltiplo del menor y que sus tres cuadrados estén en progresión aritmética.

44.  QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Halla el número n sabiendo que n5 es un número de 7 cifras acabado en 7.

45.  A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. ¿En qué cifra termina 783578?

46.  TRES AGUJAS EN UN PAJAR. El número primo 37 es un divisor de 999. ¿Puede Vd. encontrar tres números más que tengan todas sus cifras iguales y sean múltiplos de 37?

47.  CABRAS Y OVEJAS. Un campesino tenía un rebaño de animales formado por cabras y ovejas. El número de ovejas multiplicado por el número de cabras da un producto que reflejado en el espejo, muestra el número de animales del rebaño. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el rebaño?

48.  A²+2=B3. Hallar un cuadrado que se convierta en un cubo al sumarle 2.

49.  EL CORRAL DE PALOMO. El carpintero que construyó el corral para las ovejas de Palomo descubrió que podía ahorrarse dos postes si el campo a cercar fuera cuadrado en lugar de rectangular.
         De cualquiera de las dos maneras servirá para el mismo número de ovejas, pero si es cuadrado habrá un poste donde atar a cada oveja.
         ¿Cuántas ovejas había en el famoso rebaño?
         Se supone que en ambas forman los postes estaban separados por iguales distancias, que las áreas del corral cuadrado y del rectangular eran iguales, y que el rebaño estaba formado por menos de tres docenas de ovejas.

50.  EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?

51.  EL NÚMERO MÁGICO 153. En el evangelio, según San Juan, (cap. 21, versículo 11), se lee que: «Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red, la cual cuando Simón Pedro, la levantó y la trajo a tierra estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos la red no se rompió». Por esto el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico, buscándose distintas propiedades del mismo. Por ejemplo:
         Es un número triangular: 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153.
         1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153.
         13+ 33 + 53 = 153.
         Si se parte de un número natural cualquiera que sea múltiplo de 3 y se suman los cubos de sus cifras. Al resultado, que será también un múltiplo de 3, se aplica la misma operación. Continuando de esta manera se llegará al número 153. Ejemplos:
         252 - 141 - 66 - 432 - 99 - 1458 - 702 - 351 - 153.
         1998 - 1971 - 1074 - 408 - 576 - 684 - 792 - 108 - 513 - 153.
         Por eso se dice que el número 153 es un agujero negro (respecto de la suma de los cubos de sus cifras) en el sentido de que al llegar a él ya no se puede salir más.

52.  MAYOR CUADRADO. ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede escribir con las diez cifras tomadas una vez cada una?

53.  ¿SERÁ CUADRADO? ¿Puede ser cuadrado un número formado con las nueve cifras significativas en un orden cualquiera?

54.  LA CIFRA PERDIDA. El producto de 53.928.719.937 por 376.648 es 20312144*06831176. ¿Puede hallar Vd. la cifra que falta sin efectuar la multiplicación?

55.  LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA. La señora García tiene ahora una plantación cuadrada de repollos más grande que la que tenía el año pasado, y que por lo tanto tendrá 211 repollos más. ¿Cuántos matemáticos y agricultores lograrán determinar el número de repollos que tendrá este año la señora García?

56.  REGALO MILLONARIO. Imaginemos que un millonario se ofrece a regalarle a Vd. las monedas de una peseta que sea capaz de llevarse, a condición de contarlas una por una y sin detenerse. Podrá Vd. llevarse todas las que haya contado hasta que se pare. Supongamos que cuenta una moneda por segundo. ¿Cuántas cree Vd. que podrá llevarse en realidad?

57.  MONETARIO. En la República de Bizarria existe un curioso sistema monetario. Tienen allí solamente dos valores de monedas, de 7 centavos y de 10 centavos. La pregunta que hacemos también es extraña pero admite una solución simple. ¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede abonar exactamente con tales monedas?

58.  SE LLEGA SIEMPRE AL 1. Toma un número natural cualquiera. Si es impar multiplícalo por 3 y añádele 1. Si es par, toma la mitad. Repitiendo la operación sucesivamente se llega siempre al número 1. Así:
         12 - 6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
         100 - 50 - 25 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
         Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta números muy grandes, pero no se tiene una demostración de que el hecho sea general.

59.  SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. ¿Qué número de dos cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades?

60.  SIEMPRE EXACTO: Encontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que 10), el primero terminado en 1 y el mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su última cifra el resultado de siempre exacto. Ejemplo: 31/1 sí, 32/2 sí, 33/3 sí, 34/4 no, 35/5 sí, 36/6 sí, 37/7 no, 38/8 no, y 39/9 no.

61.  FECHAS CAPICÚAS. El día 18 de septiembre de 1981, en una emisora de radio, el presentador cayó en la cuenta de que tal fecha (18-9-81) era capicúa. Esto le dio lugar a lanzar en antena la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las dos fechas capicúas más cercanas entre sí del siglo XX? ¿Podrá Vd. adivinarlas?

62. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. ¿Qué tres números enteros consecutivos y positivos, multiplicados entre sí, dan un total igual a quince veces el segundo de ellos?

63.  VAYA BOLETO. El otro día compré un boleto de lotería capicúa. Si sumaba sus cinco cifras daba el mismo resultado que si las multiplicaba. La primera cifra de la izquierda era la edad de mi hermana pequeña, las dos siguientes la edad de la mediana, y las dos últimas la edad de la mayor, que le lleva más de un año a la mediana. ¿Cuál era la numeración del boleto?

64.  MCD y mcm. Hallar dos números enteros positivos, x e y, tales que el producto de su MCD y su mcm sea el producto xy.

65.  EL TELÉFONO DE MI COLEGA. Le pedí a mi colega Sátur su número de teléfono. Como es profesor de matemáticas me contestó diciendo: «El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres primeras cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros cuatro dígitos». ¿Podría Vd. llamar por teléfono a mi colega Sátur?

66.  FACILEMA. ¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras?

67.  PAR = DIEZ. Si el par es diez, ¿cuál es la decena?

68.  CURIOSA RAÍZ CUADRADA. Calcula la raíz cuadrada del número 123.456.789. Observa el resultado y el resto.

69.  NUMEROS PRIMOS. Demostrar que hay infinitos números primos.

70.  PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (1). Una propiedad muy conocida del número 12.345.679 es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1, esto es el número 111.111.111. Por lo tanto al multiplicarlo por 18 (que es 9x2), por 27 (que es 9x3), por 36, etc., se obtienen también productos notables, a saber:
         12.345.679 x  9 = 111.111.111
         12.345.679 x 18 = 222.222.222
         12.345.679 x 27 = 333.333.333
         12.345.679 x 36 = 444.444.444
         12.345.679 x 45 = 555.555.555
         12.345.679 x 54 = 666.666.666
         12.345.679 x 63 = 777.777.777
         12.345.679 x 72 = 888.888.888
         12.345.679 x 81 = 999.999.999

71.  PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (2). De no conocer el multiplicando, podríamos haber intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 11111..., bajando después de cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la división fuese exacta.
         Investiguemos, de este modo, cuál es el número que multiplicado por 7, da un producto escrito sólo con las cifras 1:
         111.111 : 7 = 15873. Por consiguiente, resultará:
         15.873 x  7 = 111.111
         15.873 x 14 = 222.222
         15.873 x 21 = 333.333
         15.873 x 28 = 444.444
         15.873 x 35 = 555.555
         15.873 x 42 = 666.666
         15.873 x 49 = 777.777
         15.873 x 56 = 888.888
         15.873 x 63 = 999.999

72.  PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3). ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo las cifras 1?

73.  LOS 4 SON PRIMOS. ADDD, AACA, BCDB y BDAC son cuatro números primos. ¿Cuáles son?

74.  TRES CIFRAS Y EL 30. Es fácil escribir el 30 con tres seises: (30=6x6-6) ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones.

75.  LA CONJETURA CAPICÚA. Para obtener un número capicúa a partir de otro número se invierte el orden de sus cifras y se suman el número dado y el invertido. Este proceso se continúa las veces que sean necesarias hasta obtener un capicúa. Por ejemplo:
         Partiendo del 78.
         78 + 87 = 165.
         165 + 561 = 726.
         726 + 627 = 1353.
         1353 + 3531 = 4884 CAPICÚA.
         La conjetura capicúa dice que, aplicando el proceso anterior a un número natural cualquiera, se obtiene un número capicúa en un número finito de pasos.
         Partiendo del número 89 es necesario dar 24 pasos para conseguir el número 8.813.200.023.188. ¿Existirá algún número que sea excepción de la conjetura? El matemático ruso Boris A. Kordemsky ensayó en computadoras con el número 196, sometiéndolo a miles y miles de pasos, y no ha conseguido todavía ningún número capicúa.
         Siguiendo los pasos anteriores halla los capicúas correspondientes a 84, 75 y 86.

76.  TIRO CON ARCO (1). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-17-16]

77.  TIRO CON ARCO (2). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-42-44-46]

78.  TRES CIFRAS Y EL 24. Es fácil escribir el 24 con tres ochos: (24=8+8+8). ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones.

79.  SOLDADOS COMBATIVOS (1). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 13 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla?

80.  SOLDADOS COMBATIVOS (2). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 113 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla?

81.  EL NÚMERO 987.654.321. Con el número 987.654.321 se obtienen productos con todas sus cifras, más el 0, permutadas:
         987.654.321 x 2 = 1.975.308.642
         987.654.321 x 3 = 2...................3
         987.654.321 x 4 = 3...................4
         987.654.321 x 5 = 4...................5
         987.654.321 x 6 = 5...................6
         987.654.321 x 7 = 6...................7
         987.654.321 x 8 = 7...................8

82.  DEL TEOREMA DE FERMAT. La revista Time del 7 de marzo de 1938 daba cuenta de que un tal Samuel Isaac Krieger afirmaba haber descubierto un contraejemplo para el teorema magno de Fermat, que sigue en nuestros días pendiente de confirmación. Krieger hizo saber que su ejemplo era de la forma 1324n + 791n = 1961n, siendo n un cierto entero positivo mayor que 2, que Krieger se negaba a revelar. Un periodista del New York Times, decía Time, pudo demostrar fácilmente que Krieger estaba equivocado. ¿De qué manera?.

83.  A LA CAZA DEL 53. Con 5 cincos, 3 treses y los signos matemáticos +, -, x, : y () formar expresiones matemáticas que sean igual a 53.

84.  DIANA (1). En una diana están los números 1, 2, 3, 5, 10, 20, 25 y 50. ¿Cómo se pueden conseguir 96 puntos con tres dobles?

85.  DIANA (2). En una diana están los números 3, 5, 11, 13 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 50 puntos con el menor número de impactos?

86.  DIANA (3). En una diana están los números 8, 9, 16, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con el menor número de impactos?

87.  DIANA (4). En una diana están los números 7, 9, 11, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con seis impactos?

88.  AABB=(CD)². Hallar un cuadrado de la forma N = aabb.

89.  ABCD = (CD)². Hallar un número de cuatro cifras que sea el cuadrado del número formado por sus dos últimas cifras.

90.  A²+B²+C²=D². Hallar tres cuadrados cuya suma sea otro cuadrado.

91.  A3+B3+C3=D3. Hallar tres cubos cuya suma sea un cubo.

92.  A²+(A+1)²=B4. Hallar dos números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea una potencia de 4.

93.  PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes productos tienen la particularidad de que en cada uno de ellos entran cada una de las nueve primeras cifras significativas sólo una vez. [Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las cifras de una calculadora]
         483 x 12 = 5796
         138 x 42 = 5796
         297 x 18 = 5346
         198 x 27 = 5346
         ¿Podría encontrar Vd. alguno más?

94.  CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes cuadrados tienen todas sus cifras diferentes:
         132 = 169
         362 = 1296
         2862 = 81796
         3222 = 103684
         10272 = 1054729
         69012 = 47623801
         101242 = 102495376
         320432 = 1026753849
         ¿Podría encontrar Vd. alguno más?

95.  PRODUCTOS POR EL NÚMERO 8.
         1 x 8 + 1 = 9
         12 x 8 + 2 = 98
         123 x 8 + 3 = 987
         1234 x 8 + 4 = 9876
         12345 x 8 + 5 = 98765
         123456 x 8 + 6 = 987654
         1234567 x 8 + 7 = 9876543
         12345678 x 8 + 8 = 98765432
         123456789 x 8 + 9 = 987654321

96.  PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.
         1 x 9 +  2 = 1
         12 x 9 +  3 = 11
         123 x 9 +  4 = 111
         1234 x 9 +  5 = 1111
         12345 x 9 +  6 = 11111
         123456 x 9 +  7 = 111111
         1234567 x 9 +  8 = 1111111
         12345678 x 9 +  9 = 11111111
         123456789 x 9 + 10 = 111111111

97.  OTROS PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.
         0 x 9 +  8 = 8
         9 x 9 +  7 = 88
         98 x 9 +  6 = 888
         987 x 9 +  5 = 8888
         9876 x 9 +  4 = 88888
         98765 x 9 +  3 = 888888
         987654 x 9 +  2 = 8888888
         9876543 x 9 +  1 = 88888888
         98765432 x 9 +  0 = 888888888
         987654321 x 9 -  1 = 8888888888

98.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). Encontrar un número de diez cifras diferentes que, multiplicado por 2, dé otro número de diez cifras diferentes.

99.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 3485x2 = 6970x1 = 6970, es el resultado menor que se puede obtener separando los diez dígitos en dos grupos para hacer dos productos que den el mismo resultado. Dividir los diez dígitos en dos grupos de cinco, y disponerlos para formar dos multiplicaciones que den el mismo producto y el más alto posible.
       Nota. Los segundos factores pueden tener dos cifras.

100.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 78 x 345 = 26.910. Hay muchos conjuntos de números de dos, tres y cinco cifras respectivamente que tienen la particularidad mostrada en el ejemplo utilizando las diez cifras. Pero hay un conjunto, y sólo uno, en la que los números cuentan con la particularidad adicional de que el segundo es múltiplo del primero. ¿Cuáles son los tres números que buscamos?

101.  CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. Los siguientes pares de cuadrados perfectos y sus raíces están formados por las mismas cifras escritas en orden inverso:
           122 = 144,  212 = 441
           132 = 169,  312 = 961
           1222 = 14884,  2212 = 48841
           ¿Podría encontrar Vd. algunos más?
 

102.  DOBLE SUMA. En la figura adjunta aparecen los números del 1 al 9, distribuidos de un modo curioso: así como están forman una suma perfecta (583+146=729) y si Vd. gira la hoja noventa grados en sentido horario, forman otra suma perfecta (715+248=963). Encuentre otra disposición de los números que cumpla la misma condición.

103.  CINCO CONSECUTIVOS. Encuentre Vd. cinco números naturales consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres.

104.  ORDENANDO NÚMEROS. Ordenar los números del 1 al 9 de modo que el nombre de cada número tenga una y solamente una letra en común con el nombre del anterior.

105.  LA PROPORCIÓN MALIGNA. En el ejemplo se muestra una solución a la proporción a/b=c/d con las siguientes restricciones:
           - El número a ha de ser de una cifra, el b de dos cifras, el c de tres y el d de cuatro.
           - Entre los cuatro números no se puede repetir ninguna cifra. Es decir, aparecerán las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 una vez y sólo una vez.
        Ejemplo: 1/26=345/8.970.
          ¿Habrá muchas más?

106.  BILLETES CAPICÚAS. En la taquilla del tren hay un rollo de 100.000 billetes numerados del 00000 al 99999.
           a) ¿Cuántos capicúas tendrá el rollo?
           b) ¿Cuáles serán los que están más cerca entre sí?
           c) ¿Cuáles serán los que están más separados entre sí?
           d) ¿Cuál será la cantidad mínima de billetes ordenados que pueden albergar tres capicúas?
           e) ¿Cuál es la cantidad mínima de billetes que tenemos que comprar para estar seguros de que compramos tres capicúas?

107.  CINCO CIFRAS SEGUIDAS. Poner en lugar de los * cinco cifras consecutivas (aunque no hace falta ponerlas en orden) para que se verifique la igualdad: * * x * = * *

108.  SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Se han acomodado los números del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 con las siguientes condiciones:

1
9
2
3
8
4
5
7
6
           - El número de tres cifras de la segunda fila (384) es el doble que el de la primera (192).
           - El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192).
           ¿Será Vd. capaz de encontrar otras disposiciones con esas mismas condiciones?
           Para animarle le doy otra: 219-438-657.

109.  EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. Según mi amigo, es el único que no repite ninguna cifra, no contiene el cero, es par y además las dos primeras cifras constituyen un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, y así sucesivamente hasta el total que es múltiplo de 7. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo?
         Observación: En Valencia los teléfonos tienen 7 cifras y comienzan por 3.

110.  EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. Es de 10 cifras, la primera es múltiplo de 1, las dos primeras cifras forman un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, las cuatro primeras un múltiplo de 4, etc. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo americano?

111.  SUMAS EN TRIÁNGULO. Disponer los números naturales del 1 al 9 formando un triángulo y sumarlos. El número resultante de la suma ha de ser capicúa.
           Una posible solución sería:

8
9 6 4
1 7 5 3 2
-----------------
2 7 9 7 2
           ¿Podrá Vd. encontrar más?

112. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). 159 x 48 = 7632. Encontrar otras parejas de números que, al multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos una y sólo una vez.

113. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). 16 583 742 x 9 = 149 253 678. Encontrar otros productos en los que todos los dígitos aparezcan una y sólo una vez a cada lado del signo igual.

114. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). Con los nueve dígitos, sin repetirlos, formar tres números de tres dígitos, de manera que el producto de los tres dé un resultado formado también por los nueve dígitos, sin repetirse. Hay varias soluciones posibles, pero pedimos que encuentre dos: la que da el resultado máximo y la que da el resultado mínimo.

115. LOS UNOS Y LOS DOSES. Restando de 11 el 2 se obtiene 9 que es un cuadrado. Restando de 1111 el 22 se obtiene 1089 que también es un cuadrado perfecto. Lo curioso es que siempre que formemos un número con una cantidad par de unos y otro con la mitad de doses, al restar del primero el segundo obtenemos un cuadrado perfecto. ¿Cree Vd. que esta afirmación es cierta?

116. EL MENOR NÚMERO (2). ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8?

117. COLOCANDO SIGNOS. Coloque entre cada dos cifras el signo de la operación aritmética que sea necesario. Está permitido utilizar paréntesis.

(1  +  2)  :  3  =  1
1     2     3     4  =  1
1     2     3     4     5  =  1
1     2     3     4     5     6  =  1
1     2     3     4     5     6     7  =  1
1     2     3     4     5     6     7     8  =  1
1     2     3     4     5     6     7     8     9  =  1

118.    ...