MOSAICOS

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Carmen Arriero Villacorta
Isabel García García

Definición de mosaico
Mosaico utilizando un único polígono regular
Mosaico utilizando varios polígonos regulares

Mosaicos con todos los vértices iguales. Mosaicos uniformes
Actividad 1

Mosaicos con dos tipos distintos de vértices
Actividad 2
Actividad 3

Otros mosaicos
Actividad 4
Mosaico generado partir de un cuadrado

Actividad 5
Mosaico de la autopista
MOSAICO

Se podría decir que un mosaico es un dibujo que repite algún motivo de manera más o menos sistemática.

Los mosaicos objeto de este estudio van a estar compuestos por polígonos regulares:

  • Los polígonos que intervienen en el mosaico tendrán la misma longitud para el lado.

  • En los vértices del mosaico concurrirán un vértice de cada polígono que intervenga en el mosaico.

Utilizando un único polígono regular

Se observa que, para que un polígono regular pueda rellenar el plano sin dejar huecos ni producir solapamientos, el ángulo interior debe ser un divisor de 360º y menor que 180º.
Es decir, si se utiliza un único polígono regular, este tiene que ser o triángulo equilátero o cuadrado o hexágono regular cuyos ángulos interiores son 60º, 90º y 120º, respectivamente.

Utilizando varios polígonos regulares
Si para realizar un mosaico se utilizan k polígonos regulares de igual lado que concurran en un vértice, se deduce fácilmente que el número mínimo y máximo de polígonos a utilizar serán 3 y 6 respectivamente.
Bajo estas condiciones y teniendo en cuenta que el ángulo interior de un polígono regular de n lados es

se cumple:

Particularizando para los distintos valores de k , se obtienen las siguientes fórmulas:

Para k=6

 3,3,3,3,3,3 

Para k=5

 34, 6 

 33, 4

 3,3,4,3,4 

Para k=4

 3,3,6,6 

 3,6,3,6 

 3,4,4,6 

 3,4,6,4 

 3,3,4,12 

 3,4,3,12 

 4,4,4,4 

Para k=3

 3,7,42 

 3,9,18 

 3,8,24 

 3,10,15 

 3,12,12 

 4,5,20 

 4,6,12 

 4,8,8 

 5,5,10 

 6,6,6 

Como ni son números naturales, se encuentran 17 soluciones distintas que cumplen estas ecuaciones. Por tanto, se han encontrado 17 modelos en los que concurren varios polígonos regulares en un vértice.

Algunas de estas soluciones admiten dos formas distintas de ordenarlos, por lo que al final se consiguen 21 modelos de vértices posibles.

Mosaicos con todos los vértices iguales
       Mosaicos Uniformes

Al tratar de hacer mosaicos con la condición de que todos los vértices sean iguales, se consiguen únicamente 11 tipos de mosaicos que son los siguientes:

36

44

63

34 , 6

33 , 42

32 , 4 , 3 , 4

3 , 4 , 6 , 4

3 , 6 , 3 , 6

3 , 122

4 , 6 , 12

4 , 82

 

Actividad 1

Utilizando las macros de los polígonos regulares y la herramienta polígono regular construye los mosaicos de la tabla anterior. 

A continuación se muestra como ejemplo el 32, 4, 3, 4, observa que este mosaico tiene iguales todos sus vértices.

Mosaicos con dos tipos distintos de vértices

Se comprueba que se pueden construir 20 modelos distintos de mosaicos que tienen dos tipos de vértices.

Actividad 2

Reproduce este mosaico que utiliza dos vértices distintos 36 y 32, 4, 12 y guárdalo como MOSAICO2

Actividad 3

¿Sabrías decir cuántos vértices distintos hay en el siguiente mosaico?. Reprodúcelo con CABRI, haciendo previamente una macro de la parte del mosaico que tiene forma de dodecágono

 OTROS MOSAICOS

Mediante deformaciones de un polígono inicial que sí forme un mosaico se originan mosaicos con formas muy diversas. Este método está basado en el principio de conservación de las áreas entre el polígono y la figura finalmente construida que hará de tesela base en la construcción del mosaico.

Actividad 4

A partir de un cuadrado construye una tesela como muestra la figura. Observa que el área de la misma coincide con el área del cuadrado inicial, puedes comprobarlo con Cabri. Guarda la tesela como MOSAICO4

Realiza con la tesela construida y mediante simetrías centrales y giros un mosaico. Observa que cuatro figuras de estas forman otra figura de área cuatro veces el del cuadrado inicial y además esta nueva figura tesela el plano mediante traslaciones.

Visualización con Flash de la construcción de este mosaico

 

Actividad 5. Mosaico de la autopista

Este mosaico que decora algunos "muros de contención de las autopistas utiliza como tesela un polígono equivalente a un cuadrado. Reproduce este mosaico

 

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