Presentación
Justificación de la propuesta y descripción de la unidad didáctica
La inclusión de los fractales en el Curriculum de Matemáticas en
Secundaria
El lenguaje LOGO y el aprendizaje de la Geometría
Pero...¿qué son los fractales?
Los fractales en la naturaleza y en las ciencias
Justificación en la nueva ordenación de Secundaria
El contenido de esta comunicación forma parte, y hace referencia, a la Unidad Didáctica titulada "GEOMETRÍA FRACTAL ¿Qué son y cómo pueden los fractales ayudar a representar y a organizar el espacio?", que incluye el desarrollo completo del resto de coordenadas curriculares (contextualización, objetivos didácticos, metodología, contenidos, evaluación y recursos) y de una serie de actividades propuestas para las materias de Matemáticas e Informática de ESO y Bachillerato. Este material está siendo experimentado para alumnos de niveles equivalentes a Tercero de ESO y Primero de Bachillerato.
Justificación de la propuesta y descripción de la unidad didáctica
El propósito de esta unidad didáctica es suministrar una propuesta curricular sobre
la introducción a la geometría fractal, con el objeto de que aquellos profesores, que lo
consideren interesante, puedan incluir los fractales como contenidos de secundaria, bien
dentro del bloque "representación y organización del espacio" de Matemáticas, o bien como
contenidos propios del "Taller de Matemáticas".
En todo caso partimos de la idea de que los fractales suministran modelos que
contribuyen a percibir el espacio y las propiedades geométricas de objetos y procesos
naturales. Queremos también poner de relieve varios hechos: Primero la conexión que existe
entre este dominio del conocimiento y algunos de los objetivos educativos establecidos para
la etapa de Secundaria. Segundo, la importancia, y las posibilidades, de introducir por
primera vez unos conocimientos formulados de manera reciente (su desarrollo se ha
producido en los últimos quince años). Recordemos que, en el contexto de la geometría
descriptiva que se imparte ---o mejor que se impartía--- en los niveles equivalentes a
secundaria, no se han incorporado contenidos prácticamente posteriores a Euler. Y por
último conviene resaltar el potencial cognitivo de los modelos que suministra la geometría
fractal y que permiten dar estructura cognitiva a objetos y procesos naturales (su
representación y su forma) así como estudiar algunas de sus propiedades. Señalar además
que ello es posible en buena medida gracias al uso del ordenador y de herramientas como
LOGO, que posibilitan el cálculo y la interacción con potencia y rapidez, y que permiten al
alumno observar la variación de las formas así como formular y contrastar las propiedades.
Por último ofrecemos algunos de los fractales sencillos más significativos, algunas
propuestas curriculares a desarrollar, y algunos ejemplos de programas LOGO para
representar fractales no muy complicados y para estudiar sus propiedades y naturaleza.
En este sentido el nuevo curriculum propone partir de situaciones y experiencias del
alumno para llegar a los mismos contenidos tradicionales: Figuras y cuerpos geométricos,
semejanzas, movimientos,... Lo cual está bien, pero en ningún momento la propuesta
curricular integra contenidos nuevos que cumplan en sí mismo los principios del aprendizaje
significativo. Esta ausencia viene avalada explícitamente en una razón: El aparato disciplinar
(en este caso matemático: teoremas, demostraciones, enunciados, ...) hace inviable tal
propósito.
Esto que en general es cierto en dominios de reciente desarrollo tales como caos,
sistemas dinámicos, lógica borrosa, etc., no lo es en lo concerniente a la GEOMETRÍA
FRACTAL (salvo para los muy puristas que entienden que el acercamiento de los con
ceptos matemáticos al estudiante medio, o su divulgación, resta validez a éstos).
De esta forma nos podemos preguntar ¿qué esta más próximo al mundo de co
nocimientos y percepción de un alumno de Secundaria?: Lo plano (objetos planos o que
sugieren el plano), la línea recta, e incluso las formas cúbicas, esféricas, elípticas,... o el perfil
de una montaña, el perfil de un charco de agua, la ramificación de un árbol o de un arbusto.
¿En qué caso es mayor la "distancia conceptual"?: Entre un objeto plano y el
concepto de plano, o entre la percepción visual de las ramas de un árbol y el concepto de
recurrencia. En todo caso ¿es substancialmente mayor la distancia conceptual en este caso
que en aquel?.
Sobre el aspecto inducción-deducción también nos podemos plantear varias
cuestiones: Mientras que con la mayor parte de los objetos geométricos el proceso de
acercamiento de forma deductiva a un sistema matemático estructurado es lento y a me
nudo dificultoso, o entraña fuertes dificultades cognitivas, en el caso de los objetos fractales
el acercamiento se produce de forma instantánea, casi mediante un mecanismo analógico
simple, a veces mediante solo la percepción visual. Sin embargo no hay que engañarse, la
dificultad en este caso se suele producir en la parte deductiva. De esta forma es muy sencillo
para un alumno establecer que, por ejemplo, el perfil de un charco, el perfil de un lago, el de
una zona de costa, o el de un mapa pertenecen a la misma categoría de objetos. Formular
un procedimiento para medir la longitud del trozo de costa o del perfil, para medir el área
encerrada, o para analizar la continuidad del trazo no es una tarea sencilla, más bien
corresponde a niveles de aprendizaje de Matemáticas más especializados. De todas formas
esto también sucede en la justificación no empírica del cálculo del área limitada por ciertas
curvas regulares consideradas sencillas.
Por tanto la propuesta que hacemos es la de incluir, como contenidos de Secun daria, conceptos y procedimientos de GEOMETRÍA FRACTAL, tanto en el bloque "REPRESENTACIÓN Y ORGANIZACIÓN DEL ESPACIO" de Secundaria Obligatoria como en los correspondientes bloques de Geometría en las asignaturas de Matemáticas II de los Bachilleratos de Ciencias Naturales y de Tecnología, aparte de la opción que puede suponer incluirlos como una parte o como toda la materia del "Taller de Matemáticas".
El lenguaje LOGO y el aprendizaje de la Geometría
Para conocer LOGO es preciso saber en qué momento y en qué circunstancias se
crea. El lenguaje LOGO nace a finales de la década de los sesenta, en el MIT (Instituto
Tecnológico de Massachusetts). Es el primer lenguaje creado con fines exclusivamente
educativos. Hasta entonces los lenguajes de programación solo se utilizaban en el campo de
la formación como herramientas para programadores para resolver problemas y realizar
tareas en otros campos: Cálculos complejos, almacenamiento de información, etc. Y solo de
forma secundaria se utilizaban en educación, fundamentalmente para construir programas de
instrucción asistida por ordenador EAO (enseñanza asistida por ordenador o CAI, computer
asisted instruction), que consistían en volcar información existente en libros a programas.
Esto podría constituir una novedad en como soportar la información, incluso en como
procesarla, pero no en como enseñar o en los procesos de aprendizaje ---la metodología y
estrategias eran las mismas que se utilizaban con los libros.
La paternidad de LOGO se atribuye a Seimour Papert (ITM) que es quien dirige y
coordina los trabajos de investigación y los desarrollos informáticos que concluyen con la
primera elaboración de una versión de este lenguaje interpretado. Papert es un matemático,
colaborador de Piaget y seguidor de sus ideas, que ha trabajado con él en el Centro de
Epistemología Genética de Ginebra, sobre la psicología del aprendizaje y la construcción
del conocimiento matemático.
Las ideas de Papert se reflejan fundamentalmente en su obra "El desafío a la mente".
En él distingue, como lo hace Piaget con carácter general, dos tipos de conocimiento, o de
procesos de aprendizaje, para la geometría o para las ideas y conceptos geométricos (lo que
más modernamente se conoce como la percepción del espacio): Uno, el que se aprende en la
escuela, de forma pasiva, impuesta y escasamente vinculada por lo general a criterios de
utilidad aceptados por el niño, otro lo constituyen el conjunto de procedimientos, y de
ideas geométricas, que los niños utilizan y aprenden (porque les son útiles) para sus
desplazamientos o para describir una posición, para trasmitir ideas sobre donde está o como
se llega a determinado lugar u objeto. Sin duda más identificados con sus esquemas
corporales, y aceptados como más útiles. Estos procesos, que junto con otros, los niños
aprenden de forma espontánea, y vinculados a criterios de utilidad, motivación personal,
etc. son conocidos como procesos piagetianos de aprendizaje, y se producen acumulando
experiencias y procesándolas, estableciendo relaciones entre ellas,... De esta forma aprenden
a ir de un sitio para otro, a hablar, y la lógica elemental para manejarse con sus padres o
con otros niños.
En este sentido la preocupación de Paper es porqué ciertos aprendizajes tardan tanto
en producirse o no se producen nunca sin ayuda de una instrucción especial, o porqué la
dificultad tan generalizada en la adquisición de ciertos conocimientos geométricos o
matemáticos. La idea de Paper, como la de Piaget, es que la dificultad del aprendizaje no se
deriva exclusivamente de la dificultad intrínseca de los conceptos, o de la pobreza de
recursos intelectuales del niño, como de forma tradicional se afirma, sino también por la
carencia de recursos conceptuales (en los materiales, modelos, metáforas,...) que nuestra
civilización proporciona. Como sucede en otros paradigmas constructivistas, para Paper es
el alumno el que crea su propio conocimiento siempre que le suministremos los medios
adecuados. En este sentido la forma de superar la dificultad señalada, para él, estriba en
suministrar herramientas conceptuales que permitan saltar de un tipo de conocimiento a
otro, es decir de realizar la trasferencia. LOGO adquiere, de esta forma, sentido: Cumplir
en parte este objetivo.
El paradigma vigente en la época, el conductismo y otros modelos basados en el
aprendizaje por condicionamiento, ponen énfasis en la modificación de conductas, en la
adquisición de hábitos y destrezas vinculados a refuerzos. Por el contrario las corrientes
cognitivistas ponen el énfasis en considerar al sujeto como autor de su propio aprendizaje.
Este proceso se basa en la incorporación y acomodación de nuevos conocimientos
(informaciones) en los esquemas de conocimiento ya existentes. Este proceso comporta un
conflicto entre el nuevo material cognitivo y el ya existente (conflicto cognitivo). De resultas
el alumno puede incorporar el nuevo conocimiento, si el conflicto no rebasa un límite
aceptable, acomodándolo a la estructura ya existente, o puede rechazarlo si rebasa dicho
nivel. Estos límites son personales y distintos para cada sujeto. Constituyen, en palabras de
Vigonsky, el nivel de desarrollo efectivo (lo que el alumno es capaz de aprender por sí
mismo) y el nivel de desarrollo potencial (lo que el sujeto es capaz de aprender con ayuda),
entre los cuales se encuentra la zona de desarrollo próximo. Este es el terreno de acción de
las estrategias de enseñanza y de los recursos educativos. En este marco es donde LOGO
puede colaborar ayudar al aprendizaje de la geometría, permitiendo una gradación en el
proceso de incorporación de nuevos conceptos y conocimientos geométricos.
Todo lo anterior se reduce a buscar y encontrar elementos que vinculen constructos
conceptuales (del pensamiento formal) con elementos ya existentes vinculados a a esquemas
de conocimientos previos, por ejemplo el esquema corporal, los esquemas sensoriomotores,
produciendo una visión antropomórfica de los problemas.
El elemento central de LOGO para producir este tipo de vinculaciones es la
TORTUGA: El elemento de interlocución entre el niño y el ordenador. A través de ella se
produce una identificación del niño, dentro del área de trabajo del ordenador. Esta
componente activa y de identificación, según Paper, es favorecedora de ciertos aprendizajes
de Geometría: Girar 90º a la derecha es lo que yo tengo que hacer para pasar de mirar al
frente a mirar completamente a la derecha.
Según Paper, conceptos sencillos como ángulo, giro, cuadrado, triángulo, ciertas
propiedades de los polígonos regulares,... son asimilados más fácilmente de este modo. A
otro nivel, también otras ideas no tan simples como son las de transparencia (no depender
de un sistema de coordenadas) y la recursividad también son mejor adquiridas con este
recurso.
Otro elemento importante en LOGO son los MICROMUNDOS: Un micromundo es
un subconjunto de la realidad LOGO que trata o es concerniente sobre un conjunto de
conceptos relacionados entre sí y diferenciados del resto. Así hablamos, por ejemplo, de los
micromundos geometría del plano, geometría del espacio, la dinámica (dinámica de
Newton), el micromundo de la Música,... el micromundo de los fractales, etc.
Una idea poderosa es en LOGO una propiedad de los objetos LOGO, que el alumno
puede descubrir, y transferir a un objeto, o a una categoría de objetos, de otro ámbito
conceptual (geometría del plano, del espacio,...) como propiedad. Por ejemplo: El alumno
puede descubrir que un polígono cierra cuando el giro es el ángulo exterior y no cuando
valga el ángulo interior, qué relación existe entre este y aquél, cómo se obtiene el triángulo
exterior, y puede por último concluir un procedimiento para obtenerlo.
Por último LOGO favorece, o puede favorecer, la adquisición por parte del alumno
de ciertas estrategias de resolución de problemas: Análisis descendente (top down), o
ascendente (botton up), o estrategias de modularización (dividiendo un problema complejo
en otros más simples). Esta característica de LOGO se debe en buena parte a que trabaja en
modo directo y a que es altamente interactivo.
Otro aspecto que favorece es el del análisis de la tarea, y a la detección del error. En
este sentido LOGO es altamente autoinstructivo.
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular.
La expresión, así como el concepto, se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, del
Centro de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en Yorktown
Heights, Nueva York, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios
de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982). Aunque como veremos anteriormente Kocht,
Cantor y Peano entre otros, definen objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no
reconocidos como tales.
El concepto de fractal se puede abordar desde dos puntos de vista, como después
veremos, sin embargo se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico
compuesto de elementos también geométricos de tamaño y orientación variable, pero de
aspecto similar. Con la particularidad de que si un objeto fractal lo aumentamos, los ele
mentos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la
escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es
decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos
fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros,
por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil
decir cual es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. El que cada elemento de orden
mayor esté compuesto, a su vez, por elementos de orden menor, como sucede con las ramas
de un árbol es lo que da estructura recursiva a los fractales.
Para representar gráficamente un fractal basta por tanto encontrar la relación o la ley
de recursividad entre las formas que se repiten. Es decir encontrar el objeto elemental y la
ley de formación y establecer el algoritmo gráfico. es por esto que lenguajes como LOGO se
avienen tan bien para representar fractales. Con la ventaja ademas de la transparencia, la
capacidad que LOGO tiene para considerar las coordenadas relativas a cada posición que
tiene la tortuga.
En los menos de tres lustros que han transcurrido desde que Mandelbrot formuló la
definición de fractal, es asombroso la cantidad y la rapidez con que científicos han ela
borado modelos para describir y para comprender como la naturaleza crea sus formas, y
como el crecimiento en la naturaleza está vinculado a modelos fractales. Tal parece que la
naturaleza sintiera predilección por la estética fractal. Si se lo explicamos bien un niño puede
encontrar formas fractales en múltiples estructuras vegetales: hojas, troncos, ramas, raíces.
en el perfil de montañas, rocas y piedras, ... Por su parte los científicos han identificado
fractales en la forma de las galaxias, las costas marítima, las montañas y perfiles rocosos, los
perfiles de los bosques, las fronteras, ....y en procesos físicos y químicos: La cristalización,
las fracturas de materiales, los movimientos de partículas, las descargas eléctricas, la
electrólisis. En nuestro organismo: El sistema circulatorio, la ramificación de venas,
arterias, nervios, la estructura de los pulmones,... Y en otro ámbito se pueden considerar
formas fractales las nubes, los relámpagos, los árboles, ...
Es importante señalar que aunque los fractales no permiten explicar ni dar modelos
para describir todas las formas naturales, por primera vez nos encontramos frente a un
planteamiento que permite describir y dar respuesta a formas geométricas tan distintas como
las que tienen los objetos descritos. Además el planteamiento es muy atractivo por dos
razones: La primera por su sencillez, y por su capacidad para ser computerizado en forma
relativamente sencilla como es con procedimientos LOGO, y la segunda por dar modelos
para representar y describir algorítmicamente una gran variedad de formas naturales.
Lo primero que hay que decir en este apartado es que el estudio de los fractales no
es algo privativo, o exclusivo, de las Matemáticas. El estudio y origen de los distintos
fenómenos que se explican mediante modelos fractales corresponde determinarlo a las
disciplinas científicas donde se planteen. En todo caso sí queremos señalar el potencial
interdisciplinar de estos objetos, como elementos que pueden constituir el eje sobre el cual
distintas disciplinas pueden trabajar coordinadamente.
Los fractales desde su primera formulación tuvieron una vocación práctica de servir
como modelos para explicar la naturaleza. Fue el propio Benoit Mandelbrot quién tuvo el
mérito de intuir la potencia de los fractales para construir modelos que explicasen la
realidad, y esto lo hizo desde su primera formulación y desde sus primeros trabajos que, con
un notable afán práctico y divulgador, están dedicados al problema de medir la costa de
Gran Bretaña. En este sentido es indispensable leer las obras de Mandelbrot (1975) y
(1977), así como la de Feder (1988).
Otra cuestión que hay que decir es que por su novedad este dominio de las ma
temáticas está lleno de intuiciones muy acertadas, pero también de ambigüedades, y de un
carácter difuso que hasta cierto punto repugna a los matemáticos muy puristas, y por el que
es acusado de excesivo empirismo, e incluso de ausencia de rigor formal. Sin embargo hay
que recordar que algo parecido ha sucedido con importantes cuerpos teóricos de las
matemáticas, por no decir casi todos, así sucedió en su momento con los métodos de cálculo
de Newton y Leibniz, por ejemplo.
¿Qué criterios se pueden seguir para decir que un objeto real tiene estructura de
fractal?. Está claro que un criterio puede ser el de la simple percepción visual o intuición. A
la vista de algo esta claro que alguien exclamará ¡esto es un fractal!. Esto ya es un criterio
bueno y que nos vale para trabajar con nuestros alumnos. A continuación podemos
investigar algo más, el alumno nos puede decir que lo mismo que se ve a gran escala se ve a
pequeña escala. lo cual nos da ya idea de recursión o de auto similitud. O que se parece aun
árbol, lo cual nos da ya idea de arborescencia. Este lenguaje que es vago e impreciso no
está muy lejos, aunque parezca extraño, del significado científico que se atribuye a un
objeto real o natural cuando se dice que es un fractal. Así por ejemplo ¿qué se quiere decir
cuando se dice que una zona de costa es un fractal?. Desde luego no quiere decirse que haya
una curva y una fórmula matemática que se ajuste de forma precisa al perfil del litoral. Lo
que quiere decirse es que pueden definirse un modelo matemático fractal, que se ajusta con
unas cotas máxima y mínima de error, cotas que se pueden determinar de forma precisa, al
perfil de la costa. Así veremos no solo que se han ajustado curvas fractales a ciertas zonas
de costa, Gran Bretaña, Noruega, y a fronteras como la de España y Portugal, sino que
además como veremos coinciden con una variante estocástica de las curvas de Koch y que
también se ha determinado su dimensión fractal.
La cuestión que se plantea a continuación es si un objeto con estas características,
un trozo de costa, la red arterial,... son realmente fractales, o dicho de otra forma si existen
realmente fractales en la naturaleza. Esta pregunta, que es legitimo hacerla, e incluso
responderla negativamente, es decir negando la existencia de los fractales en la naturaleza,
es la misma que se hace cuando se pregunta si existen superficies planas o lineas rectas en la
naturaleza, o si existen esferas. Sería como suponer que en la naturaleza no existen esferas
por que la Tierra, u otros planetas, no se ajustan con precisión a lo que es una esfera ideal tal
como se define en Matemáticas.
En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer de dos formas, o más bien en relación con dos circunstancias. Una de ellas es en una situación de frontera, y aquí incluimos todos los casos en que entran en contacto dos medios humanos, naturales, físicos, químicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera entre países, riberas de los ríos, litoral, nubes, ... Y la otra situación es la de árbol. Es decir aquellos casos en que se produce una ramificación con auto similitud: árboles, arbustos, y plantas, tejidos arteriales, cuencas fluviales con sistemas de río, afluentes, ramblas, barrancos, riachuelos, etc. redes capilares, redes pulmonares, ...
En resumen, creemos de interés incluir los fractales en la geometría de secundaria,
no solo por las razones de tipo curricular que citábamos al principio, como es la con
tribución a los objetivos establecidos para este ciclo educativo, sino además por razones de
actualización científica, de esta forma sería la primera vez que se incluyeran contenidos
matemáticos sustantivos, no instrumentales como pueda ser el caso de la teoría de
conjuntos, cuya formulación haya sido posterior al siglo XVIII.
Existen además las razones puramente derivadas de la estética, o de la curiosidad,
que producen la observación y el estudio analítico de estas curvas, y que estimula la for
mulación de modelos matemáticos o geométricos, que permitan comprender fenómenos
científicos o tecnológicos de cierta profundidad.
La introducción del ordenador, y en particular de LOGO, con su inmensa capacidad
de iteración rápida e interactiva, con la ayuda de algoritmos y procedimientos relativamente
sencillos, es el instrumento ideal para el trabajo con este tipo de objetos matemáticos. Con
su capacidad de interacción con el usuario, el ordenador permite un ajuste rápido entre las
intuiciones establecidas en términos de procedimientos espaciales y la formulación definitiva
de estos procedimientos como algoritmos, mediante contrastes sucesivos con variaciones en
los programas y en las ejecuciones. Hasta ahora la variación de las condiciones en los
modelos solo podían ser seguidos mediante experimentos o simulaciones mentales
reservados a aquellos alumnos más competentes para la retención de datos y para llevar a
cabo representaciones mentales.
A esta capacidad para la iteración, o más propiamente, para la recursividad, puesta
de manifiesto por los ordenadores y en particular por LOGO hay que añadir la capacidad
gráfica de los entornos Windows (o de otros entornos gráficos) que permiten con su poder
de resolución y rapidez de ejecución, seguir los procesos iterativos, y contrastar la variación
en las representaciones con las variaciones en los parámetros. Aumentando con todo ello la
intuición espacial y la confianza y satisfacción por los modelos y algoritmos creados.
A) SECUNDARIA OBLIGATORIA.
Principios para la selección y organización de contenidos . Principios 2º. y 3º
Objetivos generales de Matemáticas: 7. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan
en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la
belleza que generan.
Contenidos del Bloque 3. Representación y organización en el espacio
Conceptos:
1. Elementos y relaciones básicos para la descripción y organización del plano y el espacio.
2. Figuras y cuerpos geométricos : Elementos característicos y relaciones entre ellos.
Procedimientos:
2. Construcción y utilización de modelos geométricos, esquemas, mapas y planos.
4. Búsqueda de propiedades, regularidades y relaciones en cuerpos, figuras y configuraciones geomé
tricas.
Actitudes:
2. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.
3. Sensibilidad ante las cualidades estéticas de las configuraciones geométricas.
B) BACHILLERATOS.- Modalidades de Ciencias de la Naturaleza y Salud. y de Tecnología.
Objetivos como adquisición de las capacidades de
2. Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos en la interpretación de las
ciencias, en la actividad tecnológica y en las actividades cotidianas.
4. Utilizar, con autonomía y eficacia, (...) los procedimientos propios de las matemáticas (...) para
explorar situaciones y fenómenos nuevos.
Matemáticas II
Contenidos
3. Geometría
Estudio de algunas formas geométricas (rectas, curvas, planos y superficies), relacionando las ecuaciones
con sus características geométricas.
Introducción al conocimiento de algunas curvas y superficies comunes.
El trabajo incluye además: Propuesta de integración en los distintos niveles y ciclos de Secundaria, contextualización, objetivos didácticos, metodología, contenidos, recursos y evaluación.
ISBN: 84-362-3403-O
Depósito Legal: M-28754-1996