SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DERIVE.




Para resolver sistemas de ecuaciones con Derive, podemos usar el menú Resolver y dentro de ella la opción Sistema de ecuaciones

En la ventana que aparece, le indicamos el número de ecuaciones y pulsamos . Aparece entonces, la ventana de resolución de un sistema con una fila para cada ecuación. Tras introducir las ecuaciones, pasamos al cuadro Variables, en el que, automáticamente, se seleccionan las incógnitas. 

Aquí podemos elegir entre los botones y Simplificar
 
 
EJEMPLO 1 
Resolvemos el sistema:  
 Indicando Si tras introducir el sistema, aparece en la ventana de Álgebra la expresión: 

Pulsando el botón Simplificar se obtiene la solución: 

 

Este resultado podía haberse obtenido directamente si en la ventana de resolución del sistema, hubiéramos pulsado el botón Simplificar en lugar de pulsar sobre Si, pero en este caso no se habría visto el sistema en la ventana de Álgebra. 
 
 
EJEMPLO 2. 
Actuando de la misma manera, introducimos en el cuadro Resolución de un sistema el siguiente:  
 
En la ventana de Álgebra tendremos: 

 
Pulsando de nuevo el botón Simplificar, se obtiene: 
 

Esto se debe a que este sistema es incompatible, por lo que no aparece solución. Por el contrario, el primer ejemplo era compatible determinado y su única solución aparece entre los corchetes. 
 
 
EJEMPLO 3. 
El siguiente ejemplo corresponde a un sistema compatible indeterminado:  
En este caso, si actuamos de la misma forma, obtenemos: 

 
Que nos dice que el sistema se resolverá en las variables x e y, obteniéndose la solución en función de z. 
Pulsando Simplificar, aparece: 

 

En la ventana de Álgebra, marcamos la línea: 

 
Pulsamos Editar expresión y F3 y modificamos la expresión añadiéndole la incógnita z. Después de pulsar y Simplificar aparece la solución del sistema tomando como parámetro la primera incógnita: 

 

Si la primera incógnita tiene solución única, tomará como parámetro la siguiente, como se muestra con el siguiente sistema: 

 
 
 
EJEMPLO 4. 
El comando Solve a veces da problemas. Con el sistema , obtenemos: 
 
Pero el sistema no es incompatible. 

Si editamos la expresión como hicimos en el ejemplo 3 e introducimos la incógnita z, obtenemos la solución de este sistema compatible indeterminado. 

 

Otra forma de resolver sistemas de ecuaciones es el método de Gauss-Jordan. Para ello Derive dispone de las funciones ROW_REDUCE y PIVOT
 
 
EJEMPLO 5. 
Resolvemos el sistema:  
Para introducir la matriz ampliada del sistema, en la ventana de Álgebra, marcamos Editar/Matriz; en la ventana Tamaño de la matriz, especificamos la dimensión de la matriz y pulsamos . En la nueva ventana introducimos los elementos de la matriz y marcando , aparece: 
 
En Editar expresión escribimos ROW_REDUCE y pulsamos F3. Marcando y Simplificar obtenemos: 

 

La función PIVOT transforma la matriz ampliada en una matriz triangular superior, es decir, aplica el método de Gauss.  

Esta función no está disponible de forma predeterminada al iniciar Derive, sino que hay que leerla del fichero Vector.mth que se encuentra en la carpeta Dfw\Mth. Para ello, elegimos Archivo/ Leer/ Mth y tras seleccionar el fichero Vector.mth, pulsamos el botón Abrir

En la ventana de Álgebra aparecen todas las funciones de este archivo, entre las que se encuentra nuestra función PIVOT. Si nos molestan, podemos eliminarlas mediante Edición / Borrar, puesto que ya están en la memoria y no es necesario que permanezcan escritas en la ventana de Álgebra. 
 
 
EJEMPLO 6. 
Resolvemos el ejemplo anterior con la función PIVOT 
Tras marcar la matriz ampliada del sistema en la ventana de Álgebra, pulsamos Editar expresión y escribimos 

PIVOT(
pulsamos F3 para introducir la matriz y terminamos con ,1,1). Tras pulsar y Simplificar, aparece: 

 

Como se observa, a partir del elemento a1 1 de la matriz, aplicando el método de Gauss, se han hecho ceros en el resto de la primera columna. 

Actuamos ahora de la misma manera sobre la matriz resultante, para conseguir ceros en la segunda columna. Aquí, los últimos argumentos de la función PIVOT son 2, 2     puesto que el pivote es ahora el elemento a2 2  

 
A partir de esta matriz, la solución del sistema es clara. 

Para practicar más, resuelve con ROW_REDUCE y PIVOT los sistemas anteriores resueltos con SOLVE. 
 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON PARÁMETROS.  

 
EJEMPLO 7.  
Resolvemos el sistema con un parámetro: 
Como:  
tenemos tres posibilidades: 
  • Si a=2, sistema incompatible.
  • Si a=-1, sistema compatible indeterminado con 1 grado de libertad.
  • Si a¹ 2 y a¹ -1, sistema compatible determinado con solución:
  
Las simplificaciones ha sido posibles porque estamos en el caso a¹ 2 y a¹ -1. 
 
Veamos que las funciones SOLVE y ROW_REDUCE tienen problemas al resolver este sistema. 

Mediante SOLVE, obtenemos: 

 

Luego ha considerado como única posibilidad el caso compatible determinado, suponiendo directamente que a¹ 2 y a¹ -1, y por eso ha simplificado las soluciones. 

Mediante ROW_REDUCE, tenemos: 

 
De nuevo, sólo resuelve el caso compatible determinado. 

Para darnos cuenta de que el sistema tiene otras dos posibilidades tenemos que emplear la función PIVOT. 

Para factorizar el resultado marcamos Simplificar/ Factorizar/ Sí, y resulta: 

 

Aquí sí nos damos cuenta de las otras posibles soluciones del sistema para a = -1 y a = 2. 
 
     
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